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应用。 数学。 机械。 英语。 教育。36（5)， 599-608(2015）DOI10.1007/s10483-015-1937-7
上海大学和斯普林格-维拉格柏林海德堡2015 年
带波速变化的径向非均匀介质中圆腔散射lowast;
Zailin YANG, Baoping HEI, Yao WANG
College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University,
Harbin 150001, China
摘要：基于复变函数理论和均匀化原理，研究了带圆腔的径向无限不均匀介质的谐波动力学应力。由于对称性，假定波速仅在径向有幂律变化，剪切模量为常数。将具有可变系数的 Helmholtz方程等价地转化为标准的Helmholtz方程，并采用一般的保角变换方法(GCTM)。提出了位移和应力场。数值结果表明，介质的波数和不均匀性参数对圆腔周围的动应力集中有显著影响。 当介质的非均匀参数接近于零时，动应力集中因子(DSCF)变得奇异。
关键词：径向不均匀介质，可变系数的Helmholtz方程，复变函数法，一般保角变换法(GCTM)，动应力集中。
中国图书馆分类O24
2010数学学科分类65R20
1 引言
非均匀介质的弹性动力学问题是波动场中的一个重要问题。在复杂数学推导的基础上，出现了大量的工作，介质仅沿一维方向连续变化的不均匀性，即根据指数或幂律的深度相关变化、轴向对称变化和径向变化。非均匀介质的轴对称问题由于其在电磁学、声学和弹性力学等领域的广泛应用，近年来受到越来越多的关注。同时，轴对称问题是非均匀空心圆柱、圆形功能梯度材料（FGM）圆盘、非均匀涂层圆管、带圆孔的无限大板等的典型情况。
利用范氏和伍德氏研究了电磁场中非均匀介质的轴对称问题[1]采用时域有限元法。麦克斯韦在参考文献中构造了静止完整系统具有轴向对称介电常数及其解[2]。 此外，对于声传播，多项式方法[3–4]采用已知径向变化规律，讨论了非均匀弹性体中的导波，其材料性质沿厚度方向变化。 巴伦[5] 研究了管状波导对弹性特性（刚度系数和质量密度）在径向连续变化的各向异性空心圆柱体中弹性波传播的影响。当密度和剪切模量沿x方向以相同的形式发生显著变化时，Fang等人[6]研究了半无限功能梯度材料中圆形空腔周围反平面SH波引起的动应力集中。同样的方法被扩展到研究功能梯度材料或压电材料中圆柱形夹杂的散射问题[7–8]。此外，边界元法（BEM）是研究功能梯度压电介质中SH波作用下孔和裂纹周围反平面动力分析的有效数值方法[9]，这是Monalis[10]首次提出的，用于研究非均匀介质中圆形空腔对弹性波的散射问题弹性介质。
径向非均匀介质的类似问题是处理弹性力学问题的一部分。Greif和Chou[11]研究了厚壁圆筒或板在内表面或外表面承受轴对称时变压力时的瞬态响应。Rvachev等人[12]评估了弹性的轴对称问题，用R函数求解非均匀圆柱的理论，以求得非均匀有限体的近似解。王和龚[13]得到了满足非齐次边界条件的弹性动力学轴对称问题基本方程的理论解。文献[14]提出了将绝对刚性球压入由均匀基底和非均匀表层构成的非均匀半空间的轴对称接触问题。Tarn和Chang[15]研究了径向不均匀圆柱正交各向异性材料弹性圆杆的扭转。当剪切模量和波速在径向和规则方向上不同时，Bostruml;om等人[16]考虑了在点源或平面波作用下径向非均匀各向异性介质中水平极化剪切波的传播。
介质性质沿径向变化的非均匀圆柱周围轴对称问题的径向应力分布近年来受到了广泛的关注。对于指数或幂律杨氏模量和常泊松比，文献[17]分析了径向非均匀圆的平面轴对称问题。当杨氏模量沿径向呈幂律变化且泊松比为常数时，Sburlati[18]给出了各向同性均质板中由功能梯度材料制成的不均匀环形周围的应力集中系数。假设材料特性（包括力学和电学特性）沿厚度方向变化，Han和Liu[19]提出了一种分析功能梯度压电材料圆柱中波的色散和特征面的解析数值方法。考虑到弹性和粘弹性参数的幂律变化，Acharya等人[20]研究了非均匀、各向同性和粘弹性介质中的径向位移和相关应力分量。
近年来，梯度函数径向变化材料圆孔周围应力集中分析的研究兴趣显著增加。对于具有圆形空腔的功能梯度材料板，Zhang等人[21]提供了精确的热应力解对于径向任意变化的材料性能和应用温度方向AfsarGo[22]仅用有限元方法研究了材料性能沿径向呈指数变化的圆形功能梯度材料圆盘中的热弹性场。Kubair和Bhanu-Chandar[23]研究了功能梯度板中圆孔引起的材料性质不均匀性对应力集中系数的影响。Moham-madi等人[24]讨论了孔周围承受均匀双轴拉伸和纯剪切的应力集中系数。存在一个约束条件，即杨氏模量和激情比都是例外函数。在径向任意弹性性质变化的情况下，Yang等人[25-26]采用分段均匀层法研究了任意载荷下圆孔周围的二维（动态）应力分布。
本文给出了径向非均匀介质中圆孔周围动应力集中的解析解。在这里，介质的不均匀性通过沿径向变化的波数来反映，波数沿径向呈幂律变化，剪切模量为常数。基于均匀化原理，采用广义保角变换法（GCTM）将变系数Helmholtz方程转化为标准Helmholtz方程。动态位移场和应力场是在复坐标系下用复函数法确定的[27]。数值结果讨论了波数和介质非均匀性参数对圆孔周围动应力分布的影响。
2 不均匀性的描述
半径为a的圆形腔的无限不均匀介质如图所示。 1. 假定极坐标系的原点位于腔的中心。弹性介质不均匀，各向同性。 介质的不均匀性在径向不断变化，在远离圆腔的距离上接近均匀值，剪切模量是恒定的。 在径向不均匀介质中，时间谐波弹性波随入射角alpha;传播。 根据幂律，假定变速波速为
其中c0 是参考波速度，beta;是介质的非均匀参数，代表径向非均匀介质中速度的空间变化。
图 1 圆腔径向非均匀弹性介质模型
3 控制方程
通过假设谐波响应和忽略体力，弹性波问题的控制方程是一个可变系数的Helmholtz方程
其中x=(x，y)是位置矢量，nabla;2是拉普拉斯算子，k=omega;/c，c=（mu;/rho;）1/2，k是波数，omega;是位移phi;的圆频率，c是剪切波速，rho;和mu;是非均匀介质的质量密度和剪切模量。写在圆柱形坐标系(r，theta;，z)中，其中z轴是圆柱形腔的轴，采取形式
在本工作中，我们重点讨论了一个具有z轴速度轴对称条件的二维亥姆霍兹方程。在k和c
的关系的基础上，（1）可以表示如下：
在这里k0 =omega;/c0 是参考波数。因此，（3）可以写成
通过引入复变量系统z=reitheta;，（5）变为
为了使Helmholtz方程与变系数均匀化，引入了保角变换关系，
将（7）代入（6）会产生控制方程
请注意，上述方程对应于映射平面中的标准Helmholtz方程。
4 位移场和边界条件
4.1
位移场的形式
根据（8），在非均匀无限介质中，由圆腔产生的散射场的一般解可以写如下：
在复坐标系(z，zmacr;)中，散射波的形式可以表示为
其中An 是待定系数,H1(n) 是Hankel函数的第n阶中的第一类hankel函数
由于问题的轴对称性，我们考虑的情况是alpha;=0。在复杂坐标系中(zeta;, zeta;macr;)，入射波的形式可以由下式表示
phi;0是入射波的振幅。
我们注意到（11）作为入射波的表达式，满足变换后的Helmholtz方程式（例如，(8)）。phi;i的幅度在非均匀介质中，等于参考振幅phi;0由于共形变换，相角与参考均匀介质不同，反映了介质的不均匀性。
非均匀无限介质中的整个波场是入射波和散射波的叠加，可以写成
4.2 应力成分的表达
在圆柱坐标系(r，theta;，z)中，应力分量与位移之间的本构关系如图所示
在复杂坐标系(z，zmacr;)中，相应的应力分量可以表示为
同样，在复平面zeta;中，（14）和（15）可以写成
通过将（11）代入（14）和（15），入射波的应力分量是
将（9）代入（16）和（17）会导致散射波的应力分量
4.3 边界条件
在不失去通用性的情况下，研究了圆腔无牵引的情况。边界条件是径向剪应力等于零，即
将（18）和（20）代入（22）产生
其中
将（23）的两边与eminus;imtheta; 相乘在区间（-pi;，pi;）上积分，我们发现An 定义的无穷大代数方程集如下：
其中
5 动应力集中因子(DSCF)
本文将DSCF定义为应力tau;theta;z （由总位移场引起）与应力tau;0 （由入射波引起）的比值。 对于弹性波，DSCF为
其中
将（19）和（21）代入（28）产生最终表达式如下：
6 数值结果及讨论
为了突出本方法对径向非均匀介质中圆孔周围动应力集中的能力，通过截断无限代数方程组进行了数值计算。 显然，数值结果的精度取决于n的选择。 在这里，我们将无限矩阵截断为n=9，精度可达10-18。同时，采用了以下无量纲变量：参考波数是k0a,以及介质的不均匀性参数是beta;a。
径向非均匀介质中圆形空腔周围DSCF的分布如图所示。对于不同的介质不均匀性参数beta;a=0.1、0.2、0.3和0.4.结果表明，当介质的非均匀参数趋于零，环应力分布相对于x轴对称时，DSCF的最大值在theta;=pi;。随着介质非均匀性参数的增加，DSCF的最大值接近theta;=plusmn;pi;/2，但无量纲波数k0a=2的情况除外。有趣的是随着介质beta;a不均匀性参数的增加，DSCF出现波动在照明区域。
图2介质不均匀参数的圆腔周围DSCF的 图3介质不均匀参数的圆腔周围DSCF的分布
分布(beta;a=0.1) (beta;a=0.2)
图4介质不均匀参数的圆腔周围DSCF的 图5介质不均匀性参数的圆腔周围DSCF的分
分布(beta;a=0.3) 布(beta;a=0.4)
图6显示了DSCF在径向不均匀介质中的分布，介质beta;a=0.5，它对应于均匀参考介质的情况。 数值结果与PaO和Mow的结果一致[28] 很完美。
就像图中提到的。 在介质beta;a不均匀性参数的径向非均匀介质中，DSCF在圆腔周围的分布=0.6、0.7和说明0.8。 正如预期的那样，环向应力分布相对于x轴是对称的。DSCF随参考波数k0a的增大而增大在2pi;/3lt;theta;lt;4pi;/3位置的DSCF程度比在2pi;/3lt;theta;lt;4pi;/3位置的DSCF程度更明显minus;pi;/2 lt; theta; lt; pi;/2。值得注意的是，DSCF的波动伴随着光照区域介质beta;a的不均匀性参数增大
图6介质不均匀参数的圆腔周围DSCF的 图 7介质不均匀性参数的圆腔周围DSCF的分布(beta;a=0.5) 布(beta;a=0.6)
图8介质不均匀性参数(beta;a=0.7)的圆 图 9介质不均匀性参数的圆腔周围DSCF的分
腔周围DSCF的分布) 布(beta;a=0.8)
图10显示了在theta;=pi;/2时，DSCFs与介质不均匀性参数的关系。当介质的非均匀性参数达到最大值时，DSCF的分布达到最大值beta;a=0.65。有趣的是，DSCF的波动在不同的时间顺序出现k0a随beta;a的增加而增加。注意，参考波数越大，越明显波动很小。
类似地，图11显示了DSCFs与theta;=pi;/2处无量纲波数的关系。当介质的非均匀性参数在一定范围内变化时，DSCF波动明显0lt;beta;alt;0.5。相反，DSCF在0.5lt;beta;alt;0.8时波动很小。它是有趣的是，对于介质的不均匀性参数beta;a=0.8，波动趋势与beta;a=0.5的情况类似，beta;a=0.5对应于均匀参考中等。
图 10 介质的DSCFs与非均匀参数（theta;=pi;/2） 图 11DSCFs与无量纲波数（theta;=/2）
7 结论
本文以复变函数理论为基础，利用GCTM方法对受弹性波作用的径向非均匀介质中圆腔周围的动应力集中进行了评价。假定介质仅在径向上具有不均匀性的功率变化，剪切模量为常数。根据均匀化原理，将具有可变系数的Helmholtz方程简化为标准的Helmholtz方程。得到了散射场的一般解，讨论了圆腔引起的动应力
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