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第三章 梁的受弯分析和设计
3.1 概 述
钢筋混凝土构件的分析与设计所依据的基本假定，已在第一章第1.8节中作了介绍，并在第1.9节中讲述了如何将这些假定应用于轴向荷载的简单情况。读者此刻应重温第1.8及1.9节。本章在讲述梁的分析与设计方法中将使用同样的假定和相同的概念。本章将介绍梁受弯的分析与设计，包括混凝土截面尺寸的确定，配筋的选用和布置。梁设计中的其他重要问题，包括受剪配筋、钢筋的粘结和锚固，以及适用性的重要问题等，将在第四、五、六章中介绍。
3.2 均质梁的弯曲
钢筋混凝土梁是非均匀的，它由两种完全不同的材料构成。分析钢筋混凝土梁采用的方法。不同于全部由钢、木成任何其他结构材料构成的梁所应用的设计和研究方法。但是所涉及的基本原理本质上是相同的。简要说，这些原理如下。
任何截面上存在的内力，均可分解为垂直于截面和截面相切的分力。垂直于截面的这些分力就是弯曲应力（在中和轴的一侧为拉力，另一侧为压力）。它们的作用就是抵抗截面的弯矩。切向分力即所谓剪应力，是抵抗横向力或剪力。
有关弯曲及弯剪的基本假定如下：
1.受载荷前横截面为平面，受载后仍保持平面。这说明在梁内中和轴以上和一下的单位应变与至中和轴的距离成正比。
2.任一点的弯曲应力f取决于该点的应变，一般可由材料的应力-应变图给出。如果梁是用均质材料做成，其受拉和受压的应力-应变图如图3.1（a）时，将遵守下列假定。若最外纤维处的最大应变小于所受应变，而给定的材料在此范围内的应力和应变成正比，则中和轴两侧的压应力和拉应力都与至中和轴的距离成正比，如图3.1（b）所示。但是，若最外纤维的最大应变大于所受应变，则上述假定不成立，得到的应力情况为图3.1（c），即梁在靠近外边缘的应变大于原应变的部位，应力和应变不再成比例。这一部位内任何高度处的应力大小，例如图3.1（c）中的应力取决于这一高度的应变，一般可由材料的应力-应变图给出。换句话说，对于梁中给定的一个应变，则在此点的应力将于应力-应变图中相同应变所对应的应力相同。
3.剪应力沿截面高度的分布取决于截面的形状和材料的应力-应变图。这些剪应力在中和轴处最大，而在最外纤维处等于零。通过任何一点的水平和竖向平面上的剪应力相等。
4.由于剪应力（水平的和竖向的）及弯曲应力的共同作用，梁内任何点均有斜向的受拉和受压应力，其最大值互成90度角。任何点的斜向最大应力或主应力的大小由下式给出
（3.1）
式中 f—法向纤维应力的大小；
V—切向剪应力的大小。
斜向应力与水平方向成一个角度alpha;，且
5.由于水平和竖向的剪应力相等，以及中和轴平面上的弯曲应力等于零，在该平面上任何一点的斜向拉应力和压应力都与水平方向成45度角，且两者的大小都等于该点的剪应力。
6.当最外纤维的应力小于比例时，梁的性能是弹性的，如图3.1（b）。这种情况下遵守下列假定：
A.中和轴通过横截面的重心。
B.垂直于截面的弯曲应力的大小随至中和轴的距离成正比增加，在最外边缘纤维处达最大值。横截面上任一给定点的应力由下式表示
（3.2）
式中 f—离中和轴的距离y处的弯曲应力；
M—作用于截面上的外弯矩；
I—横截面对中和轴的惯性矩。
最大弯曲应力发生在最外纤维处，且等于
（3.3）
式中 c—从中和轴到最外纤维的距离；
S—，横截面的截面模量
C.横截面上任意点的剪应力（纵向的与横向的相等），由下式给出
（3.4）
式中 V—截面上的总剪力；
Q—横截面上通过所求点且平行于中和轴的直线，与梁的最近表面（上面或下面）之间的面积，对中和轴的静矩；
I—横截面对中和轴的惯性矩；
b—给定点处梁的宽度
D.矩形梁沿竖向截面上的剪应力大小按抛物线形变化，在梁的最外纤维处数值为零，在中和轴处最大，因为在中和轴处式（3.4）中的及，最大剪应力等于。
本章的下面部分只讨论弯曲应力及其对钢筋混凝土梁的效应。剪应力及其效应则单独在第四章讨论。
3.3钢筋混凝土梁的性能
素混凝土梁用作受弯构件是不能胜任的，因为它的弯曲抗拉强度（见第2.9节）与抗压强度相比只是很小一部分。所以，这种梁早在受压侧混凝土的强度得到充分利用之前，在很小的荷载作用下受拉一侧即先被破坏。因此，钢筋应布置在受拉侧尽可能靠近最外受拉纤维处，但要符合钢筋的适当防火和防腐性的要求。在这样的钢筋混凝土梁中，弯矩引起的拉力主要由钢筋来承受，而混凝土通常只承受相应的压力。这两种材料的共同作用，只有防止两者的相对滑移才能保证。采用与混凝土界面上有较高粘结强度（见第2.13节）的变形钢筋就可能可以做到，必要时在钢筋两端作专门的锚固。图3.2所示为这种梁的简单例子，横截面的尺度以惯用的符号表示。为简便起见下面的讨论将针对矩形截面梁，尽管在很多混凝土结构中其他形状的截面也是非常普通的。
当作用在这样的梁上的荷载从零逐渐增加到使梁破坏时，可清楚地分出几个不同性能的阶段。在低荷载时，只要混凝土的最大拉应力小于弯曲抗拉强度，整个混凝土都有效地承受应力，中和轴的一侧受压而另一侧受拉。此外，与其相邻混凝土有相同变形的钢筋也承受应力。在这一阶段混凝土中的所有应力都不大，且与应变成正比。沿截面高度混凝土和钢筋中的应变和应力分布，如图3.2（c）所示。
当荷载进一步增加，很快就达到混凝土的抗拉强度，在这一阶段出现受拉裂缝。这些裂缝迅速向上发展达到或者接近中和轴平面，而中和轴平面也随着继续开裂而往上移动。这些受拉裂缝的一般形状及分布如图3.2（d）所示。经合理设计的梁中，这些裂缝的宽度很小（发丝裂缝），从防腐蚀和外观的观点来说是不起作用的。但是，它们的存在将严重影响梁在荷载下的性能。显然，在裂缝截面上，如图3.2（d）中位于有裂缝的横截面a-a上。混凝土不能传递任何拉应力。于是，如同受拉构件（见第1.9b节）一样，要求钢筋抵抗全部拉力。在中等的荷载作用下，若混凝土应力不超过大约时，应力及应变一直近似成正比（见图1.15）。处于或接近于裂缝截面上的应变和应力分布如图3.2（e）所示。当荷载继续增加，应力和应变相应提高，但不再成正比。随后的应力和应变间的非线性关系，由混凝土的应力-应变曲线给出。因此，如同匀质梁（见图3.1）一样，梁受压侧的混凝土应力分布于应力-应变曲线的形态相同。图3.2（f）表示接近极限荷载时的应变和应力分布。
最后，达到梁的承载力。发生的破坏可能是我、二种形式中的一种。若采用中等数量的配筋，当荷载达到某一定值时，钢筋将达到其屈服强度。在这一应力下，钢筋突然屈服，并大量伸长（见图2.13），混凝土中的受拉裂缝明显加宽并向上发展，同时梁明显地挠曲，发生这样的情况后，混凝土剩余受压区的应变增加至一定程度，混凝土被压碎，即次生的受压破坏。此时的荷载只比钢筋屈服时的荷载稍大一些。因此，实际上钢筋到达屈服点决定了中等配筋梁的承载力。这种屈服破坏是逐渐地，有明显的危险预兆，如裂缝的扩展和延伸，以及挠度的明显增加。
另一方面，若采用大量的钢筋，或者正常用量的很高强度的钢筋，混凝土的受压强度可能在钢筋开始屈服之前就已耗尽。当混凝土的应变增大至损害了混凝土的整体性时，混凝土被压碎而破坏。发生这种破坏的精确准则尚不清楚，但通过观测得到，矩形梁受压破坏时的混凝土应变值达到约0.003至0.004。因混凝土破碎的受压破坏是突然发生的，几乎是瞬发性的，没有预兆。为此，一个好的做法是这样来决定梁的尺寸：如果梁超载，破坏应开始于钢筋的屈服，而不是混凝土的压碎。上述对不同阶段的应力和承载力的分析将在以下几节中予以讨论。
A.弹性应力和未开裂截面
混凝土中的拉应力只要低于弯曲抗拉强度，便不会出现受拉裂缝。图3.2（c）所示的应变和应力分布基本与弹性匀质梁（图3.1b）相同。唯一的差别是存在另一种材料—钢筋。如第1.9a节中所述，对弹性范围内的任何给定应变值，钢筋中的应力为混凝土应力的n倍[式（1.6）]。在同一节中说明，计算中可以用只有混凝土一种材料的截面来取代实际的钢筋和混凝土组合截面。在这个“换算截面”中钢筋的实际面积用位于钢筋所处高度上，等于等效混凝土面积来代替。图3.2（b）中梁的换算的、未开裂的截面如图3.3所示。求得换算截面后，就可应用弹性匀质梁的通常分析方法，即截面特性（中和轴位置、惯性矩、截面模量）按通常的办法计算，具体地，应力按式（3.2）~（3.4）计算。
B.弹性应力和开裂截面
当拉应力 超过弯曲抗拉强度时，裂缝形成，如图3.2（d）所示。若混凝土的压应力小于约，且钢筋应力尚未达到屈服强度，。两种材料仍处于或者非常接近于弹性状态。结构在正常使用条件和荷载作用下，一般处于这种状态。因为在这些荷载作用下的应力一般出于上述数量级。为简化起见（即使有误差也很小），这一阶段的计算假定受拉裂缝已经发展到中和轴，且弯曲前的平截面在弯曲的构件中仍为平面。关于应变及应力的分布情况如图3.2（e）所示。为计算应力，以及有需要时计算应变，仍然可采用换算截面的方法。只需要开绿道一个事实，即所有受拉的混凝土假定已经开裂，因而实际上已不存在。如图3.5（a）所示，换算截面包括中和轴一侧的受压混凝土，和另一侧的n倍钢筋面积。在这一阶段，中和轴的高度习惯上表达为有效高度d的一部分kd。（混凝土一旦开裂，处于钢筋以下的任何材料将不起作用，这就是为什么取d作为梁的有效高度的原因）。为确定中和轴的位置使受拉面积对中和轴取矩、与受压面积对该轴距相等，给出
（3.5）
解此二次方程得kd，即可求得前述换算截面的惯性矩及其他特性。或者，也可以根据基本原理直接考虑作用在横截面上的力进行求解，如图3.5（b）所示，混凝土的应力呈线性分布，在最外边缘处为最大值，全部钢筋面积都承受应力f。相应的，总压力C及总拉力T为
和 （3.6）
这两个力在数值上要求相等，可用于作为确定中和轴高度的条件。
按平衡要求，由C和T两个力组成的力偶在数值上应等于外弯矩M。因此，对C取矩得
（3.7）
式中jd为C及T之间的内力臂。由式（3.7）钢筋应力为
（3.8）
相反，对T取矩得
（3.9）
由此，混凝土应力为
（3.10）
为了确定中和轴高度kd和内力臂jd，应用上式，可以方便地列出直接求解k和j的公式，首先确定配筋率
（3.11）
然后将带入式（3.5），解得k为
（3.12）
由图3.5（b）可见，或
（3.13）
对于一般的配筋率及钢与混凝土的弹性模量比，弹性开裂截面分析的k和j值可在附录A的表A.7中查出。
C.弯曲承载力
在结构工程实践中，对结构使用时在设计荷载作用下所产生的应力及变形进行计算是所关心的。钢筋混凝土梁的计算，可采用上述两种材料均为弹性性能的方法。结构工程师能够以满意的精确度预计出结构或结构构件的极限承载力，这点即使不是更加重要，也有着同样的重要性。使结构或结构构件的承载力比结构使用期内预期的最大荷载值高处一定数量，就能保证具有适当的安全贮备。在过去为了能达到这一目的常采用如上述或由此导出的基于弹性分析的方法。但很清楚，当处于或接近极限荷载时，应力与应变不再成正比。关于轴心受压，已在第1.9节中详细讨论过。而关于受弯，已经指出过，当荷载相当大、在接近极限时，应力和应变的分布则如图3.2（f）所示，而不再是图3.2（e）的弹性分布。计算极限承载力的更加现实的分析方法已经研究出来，它是以材料性能的实际非弹性，而不是以假定的弹性为基础，并建立在极广泛的试验研究结果的基础上。目前这几乎成为结构设计实践中唯一的方法。
若处于或接近于极限荷载时，混凝土的压应力分布（图3.2f）具有非常确定的、不变的形状—抛物线形、梯形或其他形状，那么就有可能推导出完全合理的弯曲承载力理论。正如已知的由三角形应力分布（图3.1b及图3.2c和e）直接地和合理地推导出弹性弯曲理论一样。实际上，观察图2.3、2.4、2.6，以及已提出的许多混凝土应力-应变曲线，可以看出，应力分布的几何形状是十分不同的，它取决于许多因素，例如圆柱强度、加载的速度和持续时间等。由于这些及其他的原因，至今还没有提出一套完全合理的钢筋混凝土弯曲理论。因此，现行的分析方法，部分是以已知的力学理论为基础，必要时辅以广泛的试验数据。设图3.6代表梁行将破坏时的内应力及应变的分布。要求一个计算弯矩M（名义极限弯矩）的方法，在此弯矩下梁或者因钢筋受拉屈服，或者因最外层受压纤维混凝土雅俗一而破坏。对于第一种破坏形态，其准则为钢筋应力等于屈服强度 。前面已指出混凝土受压破坏的准确标准尚不清楚，但是矩形梁即将破坏前测得的应变为0.003到0.004，如果假定混凝土在最大应变达到时将近压碎，一般是稍偏保守。把它与各种各样形状和荷载条件的梁和柱的大量试验结果进行比较，能够得到有足够精确度和预计安全的极限承载力。除了钢筋应力达到时屈服，和混凝土应变达到0.003时将被压碎这两个准则外，并不一定需要去了解图3.6中混凝土应力分布的准确形状，对给定的中和轴高度c，所需知道的是：（1）混凝土的总合压力C（2）其竖向位置，即它与最外
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