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软材料的光力学
摘要：某些分子在接收到特定频率的光子时会改变形状，但在这里我们研究了没有特殊光学效应普通电介质中的光致变形。所有介电体在各种频率的光作用下都会变形。我们得到一个无量纲数来评估光致变形。对于一个特征尺寸和光的波长相当，由介电弹性体制成的结构，该结构可以约束光，而光使结构变形。我们结合光的电动力学和弹性体的非线性连续介质力学研究这种相互作用。我们发现，光力随着变形非线性变化，而且会引起光力突弹失稳。这些理论观点可能有助于创建软质，形状复杂，和小的特点机械器件。
- 引言
1862年，麦克斯韦预测光照在任何被照明的物体上都会产生力的作用。1900年，该理论得到实验论证，但光的力量很微弱，其实际应用直到近几十年激光的广泛应用才得到发展。现在激光被应用于移动固体粒子，改变液体的界面，弯曲细长杆件，拉升细胞。光力装置已成为快速发展的研究领域。
本文研究了软材料的光力学。光力很小，但也不是很弱。我们得到一个无量纲数来评估当光力足够大到使软材料产生大变形的情形。我们又得出一套计算光致大变形的广泛方法。我们的工作简化成两种情形：软材料的光学性质随变形不发生变化，和机械运动要比光学振动慢得多。因此，我们用麦克斯韦应力在时域上的平均来计算变形。在另一方面，因为设备的特征尺寸和光的波长相当，所以我们不把麦克斯韦应力在空间上面平均。我们把这种方法应用在一张薄的两边受到激光照射的介电弹性体上面。我们得到光力随着变形非线性变化并会产生突弹跳变失稳。
材料包含吸收特定频率的光子发生变形的分子也被大量研究。这些光敏感的分子在低强度光照下产生大变形。本文中，我们关注的是没有特殊光学效应的介电弹性体。正如我们要在第二部分展示的普通的介电弹性体只要足够软、光强足够大就可以产生大变形。软的介电弹性体是材料领域的一大主要组成部分。这种多样性将使材料的选择满足各种应用需求，如大变形，制备工艺简便，成本低，生物相容性好。麦克斯韦应力被用来计算在硬介质光力，和估测软材料的变形。光力是光与结构之间的双向相互作用。对于软电介质的结构，结构改变光，光致结构变形。在这里，我们建立软材料的光力学来解释光和结构之间的双向耦合。我们结合光的电动力学与非线性弹性力学。
光力已经被广泛地研究，但还没有用于制造软电介质的设备。然而，潜力是巨大的。近十年的软质材料研究导致了一个广阔的视野：柔性确保材料响应于刺激产生变形，变形产生相应功能。变形连接许多刺激许多功能。因此，介电弹性体受到电压作用变形产生力的作用，水凝胶在酸度变化在溶液中变形使得透镜的焦距变化，一种弹性体密封件的膨胀阻住液压断裂的油，凝胶和弹性体的变形产生离子音乐和离子皮肤。软质材料可以编制特征尺寸小到几微米和模量低至100Pa的结构。可以想象，光力将促进软材料，复杂形状，和小的特征尺寸的制备。我们希望这里描述的理论观点将有助于这项技术的创造。
- 光力的大小量级
光是一种时间依赖的电磁波。麦克斯韦利用电磁场计算真空中的光力。他的结果适用于常介电数和导磁率的媒介。没有自由电荷和电流的电磁场满足麦克斯韦方程组：。在这个方程组中，e是电场，d是电位移，h是磁场，b是磁感应强度。这些物理量满足和，这里是介电常量，是磁导率。在两个介质的表面，边界条件为：，这里n是与界面垂直的单位向量，下标表示两个媒介。通过麦克斯韦方程组得到麦克斯韦应力
（1）
麦克斯韦应力是二阶张量。
麦克斯韦应力可以用来计算的电磁作用于物体上的力。例如，考虑双板导体用真空间隙隔开。
这两个板之间的电压引起的真空电场，其方向指向两平面。方程（1）预测麦克斯韦应力的三个组成部分。一个力是垂直方向的拉力，其他2个力是水平方向的压力。在垂直方向的麦克斯韦拉应力导致的双板相互吸引。这个有吸引力的静电引力平衡了一对拉板分开的机械力。水平分量在麦克斯韦的压力也常用于机电系统。例如，当介电片是部分放在两个板之间，横向麦斯威尔应力将薄板进入双板区。
方程（1）指出麦克斯韦应力大小和以及它们的平方根相关。介质中的光速，是能量通量。因此麦克斯韦应力的量级为P/(ca)2,这里P是能量，a是光束宽度。对于普通激光，P=0.1W，a=1mu;m，c=3times;108m/s，我们估测麦克斯韦应力p/(ca2)～300Pa.相比之下，硬质材料比如硅的弹性模量是～1011Pa，而凝胶弹性模量为～100Pa。因此激光产生的麦克斯韦应力只能使硬物质产生小的应变，而软材料产生大应变。
我们通过形成无量纲数比较的光力和其他力大小。例如，将一个细胞的拉伸到大变形，麦斯威尔应力P/(ca2)需要与细胞的弹性模量相比较，这种情形可形成了一个无量纲数P/(ca2G)。类似的情形引入无量纲数与其他类型的力相比较，包括力由于热波动，粘性流动，表面张力，弹性弯曲，和弹性拉伸（表1）。数字越大，光力的效果将越明显。
这些无量纲数的估计与现有的实验观察相一致（图1）。例如，光力可以克服弹性和造成变形的两种方式：弯曲硬材料和拉伸软材料。在弯曲的硬材料，如硅细长杆，选择功率P=0.1W，a=310nm,L=30mu;m,弹性模量Gasymp;80GPa，我们得到（L/a）4P/(ca2G)asymp;4.在拉伸细胞，选择P=0.7W，a=10mu;m，弹性模量Gasymp;10Pa，我们得到P/(ca2G)asymp;2.两种情形都得出光力足够造成变形，和实验观察相一致。这两个无量纲参数不同点在于因子（L/a）4，L和a分别是梁的长度和宽度。这个因子很大，例如L/aasymp;100，即使是弹性模量很大，也能确保光力使梁弯曲。硬质材料的大弹性模量限制形状的大幅变化为一个单一类型：弯曲的细长杆。相比之下，柔软的材料可以实现大变形的许多类型，并可能有潜力生成许多种设备。本文其余部分重点放在软材料的光力学。
- 光力的两种方式，光-结构的相互作用
我们建立软材料的光力学来解释双向，光-结构相互作用。我们的工作有两点简化。首先，软介电弹性体的介电常数和磁导率对变形不敏感。软介电弹性体是三维网状聚合物。聚合物链交联键的数目是远远小于构成链的单体。交联点将液体转化成固体，但对介电常数和磁导率的影响忽略不计。即，当交联介质变形和聚合物链还没有达到完全拉伸的长度，介电弹性体的电磁特性与相应的液体介质基本相同。其结果是，我们假设的介电常数和磁导率与变形无关，就像液体的性质。这假设使我们能够计算软材料的光学力量使用麦克斯韦应力。
其次，光学频率远大于机械频率。机械振动的频率为，其中a是特征尺寸，G是弹性模量，rho;是密度。给定相应的值，，机械振动的频率106赫兹，比光的频率低得多，1014赫兹。也就是说，每个周期的机械振荡对应
大量的电磁振荡周期。因此，每个状态的变形是由麦克斯韦应力平均到一个周期的电磁震荡。另一方面，因为器件的尺寸与光的波长相当，一般，我们不对麦克斯韦应力在空间上平均。
在这种简化下，我们结合非线性力学和光的电动力学建立软材料的光力学。弹性体的非线性力学已经很完善。一个物质体是由一个许多小的部分组成。每一块都是以其位置X命名的当身体处于未变形状态。X部分在某个时刻t的空间位置为x。那么方程x=x(X,t)描述的是变形过程。变形梯度，名义应力和真实应力的关系为。对于一个体积微元，质量为，力为。在面微元，面力为。平衡方程为，。
光的电动力学也已经很完善了。物体在变形状态，电场是时间的正弦函数，，是光的频率，复数域是电场的向量。对于其他领域相量同样定义，。我们假设的材料是电介质，没有自由电荷或电流密度。在这一假设下，麦克斯韦方程组为。麦克斯韦应力通过其时域上的平均改变变形，。该表达式积分得到
（2）
这里分别是的共轭。
我们把真实应力记作弹性变形和麦克斯韦应力的和
（3）
这里是赫姆霍兹自由能。对于一个不可压缩的材料，，方程（3）变成
（4）
要解释光与光之间的双向相互作用结构，这样的边界值问题是解决增量步骤。从变形的状态，我们将小幅度的机械和光学载荷，确定光场通过求解一个特征值问题在一个固定配置，并确定增量的位移字段通过求解边界值问题。然后，我们使用增量的位移更新的配置身体，并增加了少量的负荷。我们重复该程序的许多步骤，以获得最终的变形状态。光场是欧拉，而弹性场是拉格朗日。这种混合规范提出了一个有趣的挑战一般数值方法，这是我们不追求的。相反，我们专注于一个特殊的情况下光力现象描述在应用中潜在的意义。
4.一张软介电弹性体在两束激光下作用
我们将理论应用于一个相对激光之间薄的介电层（图3）。薄膜的折射率为n，外部介质的折射率为。在未变形的状态，尺寸为；变形状态下，尺寸为。表面张力的影响是可以忽略不计。
两束激光具有相同的频率和强度，在相反方向传播的平面波。用表示左边的电磁场，表示右边的激光场。我们进一步假设，相对于介质中平面对称。因此，两束激光产生的光力方向相反，大小相同，并保持纸张的固定平面空间。给定坐标，膜的中间部位；激光场的方程为
这里，是外界的介电常数，是介电体和外界的导磁率，是电场的幅值，是光的波数，是激光的频率，是真空中的光速。在光学频率，大多数材料的磁导率接近真空中的磁导率；例如，水的渗透性0.999992。在这里，我们假设两个电介质磁导率和外介质与真空中相同。
介电体的厚度与激光波长相当，，但平面尺寸要比大得多，例如，以膜的厚度为1为例，横向尺寸大概为100。因此，我们只考虑均匀变形主应变。
在介电体的内部和外部，电场，磁场，方程（2）得出只有主麦克斯韦应力非零
(5)
介电体被认为是不可压缩的，，所以方程（4）变成
（6）
（7）
我们采用neo-Hookean模型表征介电体的弹性性质
（8）
这里G是介电体的切变模量
目前，我们认为该片薄膜是不受任何外部机械力。在方向上平衡，合力为零，。在方向力的平衡要求介质中的应力等于麦克斯韦应力应力，。将这些边界条件带入方程（6），（7），结合方程（8），我们得到
（9）
（10）
这里
（11）
方程（11）将光力写作等效机械应力作用于介质上（图3c）。在介质与外界媒介一旦光场给出，方程（5）给出麦克斯韦应力。（9）-（11）得出伸长比。
5.全反射
考虑这种特殊情况下，两束激光在薄膜表面发生全反射。这种全反射可以通过在介电体两边贴上导电薄膜实现。在这种情况下，在介电体内部不存在光场，只有在外边的麦克斯韦应力使薄膜变形。在右手方向的电场是入射波和反射波的叠加
（12）
（13）
因此，方程（2）给出，即辐射压力。同样，在左手方向也存在辐射压力。辐射压力和介电体的厚度以及激光的偏振方向无关。这些结论已被实验计算证实。
6.薄膜与外界的光学性能一致
下一个考虑的情况下，片材和外部介质光学匹配，。如果我们只在右侧照射激光，方程（2）给出，使净光势力消失。然而，如果我们应用两束相对的激光，光场是两激光的叠加，给定，方程（2）和（11）给出的等价应力。随着纸张的厚度变化，在拉伸与压缩中变化，当时消失。将等效应力应用于方程（9）（10），我们得到的变形状态（图4）。当片材的厚度是激光的半波长的整数倍，光力消失。保持同样的变形，激光的振幅需要无限大（图4（a））。我们绘制相应的厚度伸长比和面内伸长比的对应关系，其中的曲线跳跃时，光的力量消失（图。4（b）和4（c））。
伸长比取决于变形前介质厚度，（图4（d））。介质与外界光匹配，所以介电体外界的光力消失，，但面内的光力分量不会消失，。当，等等，所有的光力的组成部分消失，介电弹性体不变形。当，面内的光力合力为0，，介电弹性体不变形。
光的力与变形的非线性变化，和容易引起光力失稳。这种不稳定已经在硬质材料的细长杆件光力系统中被观察到，但还没在软材料里面报道过。要说明的这种基本行为，考虑一片放置在两个相对的激光之间的片，顶部和底部被夹住，然后由一个机械力拉伸（图5）（图））。在水平方向上的卡箍约束，，薄膜是不可压缩的，。因此，方程（7）得出
（14）
我们绘制了一张薄膜在激光固定幅值之间的力-拉伸关系（图5（b））。随着增大，电介质厚度减小，光力减小，然后上升，然后再下降。因此，力-拉伸曲线达到峰值，下降，和然后又继续。此曲线对应于突弹跳变失稳。当力量逐渐增加时，该片最初逐渐拉长。到达峰值时曲线下降，薄膜突然大幅度伸展。此外，当力量逐步增加，然后逐渐减少，该薄膜会伸展收缩，产生滞后。我们绘制图5（b）用一张未变形的厚度为。如果使用较厚的膜，力–拉伸曲线有多个波峰和波谷，因为变形的厚度将经过几个周期的正弦光的力。我们也尝试各种其他类型的机械约束和负载，并发现突跳失稳发生在许多配置上。
7.薄膜和外界媒介光学不匹配
现在，我们考虑薄膜和外界媒介光学不匹配的情形，。每一束入射光都会产生透射光和反射光。净光场就可以分析得到
（15）
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