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一维粘塑性问题
4.1简介
在这一章中粘塑性的基本概念是由一维情形下而考虑的。这一话题会在第八章里继续讨论在一般情形下的问题。
粘塑性理论允许模型在塑性变形过程中的影响。其实初始屈服后材料的塑性流动和由此产生的应力和应变是与时间有关的。这种效应在某种程度上总是出现在所有的材料中，但根据被考虑的物理情况他们可能重要也可能不重要。
一维粘塑性基本理论的发展和一大批的数值解过程被描述。所有的粘塑性基本功能可以根据一维粘塑性行为被证明。最后解决方案过程是编码在FORTRAN来形成一个工作表，粘塑性材料反应的基本特点可以由数值例子的解决办法来证明。
4.2基本理论
关于粘塑性材料的表现的概念在图4.1中通过一维流变模型最好的介绍了。摩擦滑块的发展压力为sigma;p.如果sigma;大于Y摩擦滑块就会滑动。这里的sigma;是总的施加压力，Y是一些极限屈服值。剩余压力
sigma;d=sigma;-sigma;P是由粘滞阻尼器产生的。当然，瞬时弹性响应是由线性弹簧所提供的。阻尼器的存在允许压力瞬间超过塑性理论的预测值，这个方法倾向于在这个均衡水平稳态条件下在这个系统中实现。
模型中的总应变是由弹性粘塑性的组件的总和，为
线性弹簧中的压力和总的施加压力等同并且与弹性应变相关，为
这里E为线性弹簧的弹性模量。
摩擦滑块的压力水平取决于是否阈值或已经达到的屈服应力Y，粘塑性的变形的发生是由一个单轴屈服应力sigma;Y决定的。持续的粘塑性流的压力水平取决于材料的应变强化特征。限制讨论线性应变强化反应如2.5节中所讨论的，在任何阶段的粘塑性屈服的压力水平由以下公式给出
这里的Hrsquo;是去除弹性应变分量后，应力—应变曲线的斜率，是粘塑性应变。因此，摩擦滑块的应力为
粘性阻尼力sigma;d与粘塑性应变有关，为
在这里mu;为粘度系数t表示时间。我们注意到
在粘塑性屈服应变之前，给定sigma;d=0从（4.5）并且得到结果。现在依然是在弹性关系和黏弹塑性条件下建立本构关系模型。
在粘弹性屈服之前，并且从（4.1）和（4.2）中我们知道弹性应力应变关系为
把（4.4）和（4.5）代入（4.6）得到
从（4.1）中替换掉并且使用（4.2)的结果代入到
这是一个一阶常微分方程定义改变粘塑性的条件下应力和应变之间的关系。在这个阶段，我们引入一个流动参数gamma;,这样
代入到（4.9）中并且重新整理，得到
这里的代表对时间t的导数，或者
其中
表达式（4.14）定义了部分压力超过稳态屈服值的粘塑性的应变率。
考虑封闭形式的解决方案对于（4.9）是很有意义的。考虑这样一种情况当一个常数应用应力sigma;=sigma;A应用于模型。然后将（4.9）归纳，（用（4.10）），得到
这一阶常微分方程的解是基本的并且如下
图4.2 对于图4.1的模型施加常数载荷的应变响应与时间的关系
（a)线性应变硬化材料。 （b)完美的塑性材料。
假如H是非零的。反映形式在图4.2（a)中所示，后一个初始弹性响应，模型中的应变达到稳态值以指数的方式表示。在H=0的情况下完全粘塑性的材料，可以通过在（4.16）中获得的极限H趋于0和应用洛必达法则,由此得到
这个反映在4.2图（b)中。在本例中，它被认为没有达到稳定条件和粘塑性变形继续无限期的以恒定应变率变化。图4.2（a)和4.2（b)中不同的表现，源于这样一个事实：根据（4.3）应变硬化材料的粘塑性的屈服应力增加，直到达到外加应力水平sigma;A这一粘塑性应变率变成零的阶段。完全粘塑性的材料总是有受力不平衡sigma;A—sigma;Y系统中并没有减少，因此无法实现稳态条件。
我们注意到在（4.16）和（4.17）中，只有在gamma;t中有时间t。因此对于拥有不同的流性参数gamma;的材料的解决方案可以通过一个简单的调整时间尺度。
4.3数值解过程
粘塑性是一种短暂的现象，因此必要的数值解过程的目的是为了确定位移、应力和应变在重要的时间间隔里。因此一些时间步进或必须引入以改进方案从一个时间到另一时间下标n和n 1表示连续时间表示之间的时间间隔。在一个时间间隔里增加荷载的数值最简单的办法是依靠欧拉公式。在这的时间间隔内平均变化率作为价值的区间，因此一些数量在时间的预测值将由时间的值外推
这个计划会变得不稳定因为时间步超过一个临界值和在4.4节中步长估计的限值。然而，仍有吸引力因为它很简单。
有了（4.14）我们定义的粘塑性应变率我们可以定义发生在一个时间间隔里的应变增量，为
我们注意到在一般情况下时间步长在每个时间间隔是不同的。
图4.3 一维两节点线性位移变化
参照图4.3，考虑线性位移的行为元素，它的长度L和横截面积A。长度在这个单元的变化与应变增量（4.19）有关，为
由于更改或添加位移变化是由于在时间到内施加荷载得到的单元长度总变化为
这可以以矩阵形式、节点位移和力重写
其中
并有
上面中，被称为伪力，和分别为节点位移的增量和单元上的施加力的增量。
我们注意到通过表达式（4.24）和（4.25）可以用标准有限元形式书写
出于对线性元素的考虑
通过简单的累加可以获得时间的位移
从（4.1）和（4.7）得到应力增量
或者
其中和为单元节点的位移变化。
然后得到在时间的应力
在时间时的总粘塑性应变为
最后从（4.14）可以得到粘塑性的应变率，为
采用欧拉方程的时间步，我们得到的增量的变化量是有效的线性的。因此总应力得到积累，这些应力增量与施加的力可能不是精确的平衡。因此需要一个平衡校正过程引入到数值解算法。最简单的方法是评价在每个时间步的外平衡节点力，考虑这些力作为额外的力应用于下一次增加的开始。
不平衡或者残余力，对于一般的单元，所施加的节点荷载和节点的力的代数和相当于单元应力，所以
在这里和分别是在时间下的单元应力和总作用力。这些剩余的力然后添加到伪力给下一次增量
此序列在每个时间步里重复，直到得到的是在期望的时间里持续或者达到稳定状态的条件。
稳态条件下被认为已达到粘塑性应变率，变得相当小。
4.4限制时间步长
使用欧拉粘塑性的解决方案的关键的时间步长已经由柯美友建立。对于在这一章中考虑的单轴情况的极限值
改变时间步长会受到半经验的关系而受到限制。这样的方法是必要的一些一般性的连续问题的临界时间步长的理论值可能不存在。最明显的过程来限制一些指定的粘塑性的应变增量因子tau;，总电流应变。
应为每个单元通常有不同的应变水平，表达式（4.37）将产生不同的限制步骤结果应用到每个单元。因此根据受限制的极限值是
考虑到每个单元最后获得，稳定的解决方案过程也是通过限制连续时间的长度来辅助的
其中k是一个特殊常数一般选择在指定范围内。
4.5计算过程
在解决一维粘塑性问题之前，我们将首先总结计算的基本步骤解决计算机代码的开发过程。解决这个问题必须从已知的初始条件开始，即在时间t=0时所对应的初始弹性响应。在这个阶段是知道的，推进解决从时间到的一般步骤如下
第一步：在时间时，每个单元的和以及节点位移是知道的。
然后根据（4.14）评估得到每个单元的粘塑性应变率。
第二步：（a) 根据（4.22）-（4.25）计算位移增量，如下
其中
还有每个单元的刚度矩阵
（b) 计算每个单元的应力增量和粘塑性应变增量，结果如下
第三步：确定总位移，应力，粘塑性应变
第四步：计算每个单元的粘塑性应变率
第五步：利用平衡校正法，评估每个单元的残余压力，如下
把这些添加到增量的伪荷载的向量中用到下一个时间步中
第六步：查看每个单元的粘塑性应变率是否变得相当小。如果是这样的话，稳定状态的条件已经达到，该解决方案是终止或施加到下一个载荷增量。如果是非零的，那么返回到第一步，为下一个时间步重复整个过程。
4.6程序结构
一维粘塑性程序的组织在图4.4中所示，特别以子程序访问来表示。程序采取的操作在4.5章节中所描述。许多子例程应用在在一维粘塑性中如第三章描述的应用程序。因为目前程序中使用的没有修改，读者应参照适当部分的细节。只有必要的额外的子程序来完成计算包将在本章中描述。参照图4.4的子程序已经描述的，表示如下
此外，在3.2章节中描述的子程序数据使用了一些小的修改。一维粘塑性材料需要五个数量来完全描述它。因此NPROP变成5及以下数量必须指定为材料的性能。
PROPS（NUMAT，1）-材料的弹性模量E
PROPS（NUMAT，2）-单元的横截面面积A
PROPS（NUMAT，3）-材料的单轴屈服应力sigma;Y
PROPS（NUMAT，4）-材料的线性应变硬化参数H
PROPS（NUMAT，5）-控制粘塑性的应变率的流动性参数gamma;
* 在3.3章节中描述的子程序NONAL也在使用，但IITER被时间步ISTEP所取代。
图4.4一维粘塑性的应力分析程序的操作序列
输入数据也受到步进算法这部分控制。输入以下信息：
TAUFT 在4.4章节中讨论的参数tau;
DTINT 第一个时间步的时间步长
FTIME 在（4.39）中定义的限制相对长度连续时间步因素k
所需的额外子程序现在将会得到描述。
4.7单元刚度的子程序STUNVP
在所有阶段的弹性单元的刚度矩阵是采用粘塑性的解决方案，如（4.25）所表示。因此评估每个单元的刚度矩阵的子例程SYUNVP的结构很简单，可以不需要进一步的讨论。
SNVP 16 重绕每个单元的刚度矩阵文件将被存储
SNVP 17 循环每个单元
SNVP 18 确定当前单元的材料属性
SNVP 19-20 设置YOUNG为材料弹性模量和XAREA等于断面面积
SNVP 21-22 确定单元的节点数
SNVP 23 计算单元长度
SNVP 24 计算作为FMULT
SNVP 25-28 根据（4.25）计算组合单元的刚度矩阵
SNVP 29 在光盘文件写单元刚度矩阵
SNVP 30 历遍每个单元的结束
4.8结束时间步量的评估的子程序ＩＮＣＶＰ和平衡修正条款
这个子程序评估数量在当前时间步的应力和粘塑性应变，以及计算在下一个时间步的荷载。本质上，它进行３－５阶段将在４.５章节中描述。所有的数量在时间步n结束时计算为。
所提出的方案是限制加载，这是适用于离散增量，并假定任何给定的增量在时间步进过程中保持不变。因此（4.35）中的除了第一时间步的特殊荷载增量其他的适用。
现在介绍和描述子例程INCVP。
INVP 16-18 为下一个时间步长的伪负载将存储在零的数组中。
INVP 20 历遍每个单元。
INVP 21 确定单元的材料属性。
INVP 22-26 存储YOUNG为弹性模量，横截面积为XAREA，单轴屈服应力为YIELD，单轴硬化参数为HARDS和流动性参数GAMMA。
INVP 27-28 识别单元节点号。
INVP 29 计算单元长度。
INVP 30-33 计算单元应变，使拉伸应变为正。
INVP 34 根据（4.30）和（4.31）评估当前的总应力。
INVP 35 根据（4.32）评估总粘塑性应变。
INVP 36 对于压力取负的初始加载应力值。
INVP 37 计算当前的屈服水平。
INVP 38 如果当前的压力小于当前的屈服应力，可不必进行粘塑性应变率的评估。
INVP 39 否则根据（4.33）评估粘塑性应变率。
INVP 40-42 根据（4.38）评估下一个时间步长。
INVP 44 为弹性单元设置粘塑性应变率为零。
INVP 45 单元循环结束。
INVP 47 对第一个时间步的荷载增量选择时间步作为初始值。
INVP 48 输入单元循环，为下一个时间步评估伪加载。
INVP 49 确定单元的材料属性。
INVP 50-51 存储YOUNG为弹性模量和XAREA为横截面面积。
INVP 52
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