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第一章 绪论
1.1 介绍
有限元方法是用于解决工程中所遇到的各种数值分析问题的最强大的通用技术。它被应用于从固体的应力分析到声学解，中子物理学以及流体动力学等诸多问题。事实上，对于已知边界条件或初始条件的偏微分方程问题，有限元程序是当今公认的通用数值方法。
对于线性分析，有限元技术也被广泛用作设计工具。而非线性的情况能否得到相似的应用主要取决于两个条件。第一，鉴于非线性问题有大量的数值运算，就要求要有相当大的计算能力。过去十年间的科技发展保证了现在的高速数字计算机已经能够满足这一要求，而且目前的迹象表明，单位计算成本还会继续下降。第二，在有限元方法用于设计之前，所提出的任何解法都必须得到证实。单元特性的改进，非线性解析算法效率的提高以及它们应用于工程问题所获取的经验使得人们有一定的把握使用非线性的有限元分析。因此，非线性有限元技术的常见用途所面临的障碍就被迅速的解决了，而将其应用于选定的工业问题在经济上也已经可行。
1.2 目的和内容安排
本书的目的是详细描述有限元方法在解工程材料非线性问题上的应用。其他研究线性和非线性有限元分析的文献已经在理论方面作了大量的论述，与其不同，本书倾向于实践，因此注意力主要集中于非线性有限元格式的计算机操作。
工程情况中出现的非线性有几个来源。例如，材料的非线性响应可以来源于弹塑性材料行为或某些形式的超弹性影响。此外，非线性特性可与时间效应有关，如粘塑性行为或动态瞬变现象等。这些非线性现象可以出现于二维或三维的实体、框架、板或壳等各种结构类型中。那么很显然，由于篇幅限制，一本研究非线性有限元的教材只能在某些选定主题的范围内展开阐述。因此，本文将分三部分深度探讨三类问题。
第一部分： 一维材料非线性问题。非线性有限元解的所有基本特征都可以用一元模型来描述。考虑到的应用有：
- 非线性准谐振问题
- 非线性弹性情况
- 轴杆系的弹塑性行为
- 杆系的时变弹粘塑性分析
- 弹塑性梁弯曲
第二部分： 二维材料非线性问题。这一部分是第一部分所述在连续介质问题中的拓展延伸。将讲述以下几方面应用：
- 平面应力、平面应变和轴对称实体的弹塑性分析
- 平面应力、平面应变和轴对称实体的时变弹粘塑性分析
- 弹塑性薄板弯曲问题
第三部分： 非线性瞬态动力学问题。这一类时变问题要考虑惯性效应。这个部分将围绕以下几个主题展开：
- 弹塑性和几何非线性材料行为
- 隐式和显式的时间积分方式
- 联合的显隐算法
需要指出的是，针对上述问题的一些不同编程选项和本书所提出的方法，都是原则上最清晰的，且经验表明能为广泛应用提供可靠解答的。本书的一个重要特点就是，对于处理上述问题的十三个有限元程序是逐步研究发展的。
第一部分中的一维应用只考虑两节点的线性位移变化，这样进行非线性有限元分析就不用考虑太多干扰因素。而本书的第二部分和第三部分研究二维连续体和薄板弯曲问题，只采用等参元。特别地，需要用到四结点线性单元和八结点九结点二次单元。这些单元经过了严谨地线性和非线性的测试，完全适用于多种情况，如图1.1所示。图1.2描述的是增量荷载下的缺口梁，是采用八结点等参元的典型弹塑性应用。随着荷载水平的提高，塑性区逐渐扩大，比较Tresca和Von Mises屈服准则下的情况。
本书的布局现在就很简明了。第一章是阐明程序表达中的基本方法和特点。
第二章讨论一般性非线性问题极其部分解法。对于一维非线性问题，形成能求出数值解的基本理论表达式。
在第三章中，第二章中所提出的求解方法将用Fortran编程，每一个独立的应用程序都能对相应的数值算例进行求解。
第四章研究一维弹粘塑性问题。首先介绍时变现象的基本理论，然后对过程进行编码，编程以解决一些数值算例。
第五章考虑梁弯曲弹塑性问题。这一章形成从现在开始每个结点有不止一个自由度的单周和连续应用程序之间的过渡。由于在记录梁截面塑性扩展时采用了分层的方法，所以也介绍了一些研究连续体行为的方法。
第六章介绍二维连续体问题，提出了二维等参元的基本理论并列出了后面章节描述的应用程序所需的一些标准子程序。这些包括执行一些标准线弹性操作的例程，如节点荷载生成，方程解等，也包括多个应用程序常见的非线性子程序。
第七章讨论了二维弹塑性问题。首先讲述了一般连续体的基本理论表达式并改写成方便数值分析的形式，然后生成适用于平面应力/应变和轴对称情况的特定表达式并编码。要用到四个不同的屈服准则，十分近似金属塑性行为的Tresca和Von Mises准则以及适用于混凝土、岩石和土壤的Mohr—Coulomb和Drucker—Prager准则。
第八章涉及弹粘塑性的瞬变现象，还是适用于平面应力/应变和轴对称的情形。提出了显式和隐式的时间积分方案并用到了第七章中所述的四个屈服准则。一些数值算例的应用程序说明了FORTRAN程序的先进性。
第九章讨论弹塑性板弯曲问题。考虑了通过平板厚度增塑的分层和不分层的方法并提出了适用于数值分析形式的基本理论表达式。本章的方法仅限于Tresca和Von Mises屈服准则。
第十章和十一章解决二维连续体的瞬态动力学分析。在这个应用程序中的计算包括了惯性效应，同时也考虑了爆炸荷载和地震现象。弹塑性材料行为和几何变形总值造成的非线性影响也都包括在内。运动方程的时间积分以及结合隐式或显式算法都用到了显式和隐式技术。所开发的计算机代码被应用于一些实际问题的解决。
最后在十二章中进一步讨论了非线性材料行为的各个方面。提到了可选择的解决方案技术和材料模型并涉及了一些应用程序的附加字段。
三个附录包含了文本始终在描述的计算机程序的用户说明。附录一和附录二分别提供了一维和二维连续体的用户说明。附录三提供瞬时动态问题的用户指南。最后在附录四为一维和二维应用程序提供了样本输入数据和计算机统计输出。
1.3程序结构
1.3.1导论
本节描述之后在这本书将要展开讨论的计算机程序的主要特点。采用模块化方法，用独立的子程序执行非线性有限元分析要求的各种操作。通常每个程序由九个模块组成，每个模块都有不同的操作功能。每个模块又相应的由一个或多个满足各自需求的相关子程序组成，在某些情况下，也可由常见的几个模块的子程序组成。
图1.3所示的模块对其总体功能的描述如下：
- 初始化或归零模块——这是进入程序的第一个模块，它的功能是在求解过程开始时赋初值为零向量和零矩阵。
- 数据输入和检查模块——这是第二个模块。它对输入的数据进行处理，定义几何形状、边界条件和材料特性。诊断例程对这些数据进行检查，对发生错误的部分进行标记并在程序终止之前将其余的输入数据打印出来。等参元，高斯积分常数和用于直边单元的二次单元结点坐标也在这一节中被评估。这个模块一经使用就不需要再次启动。
- 加载模块——这个模块负责由各种形式的二维应用程序的加载引起的节点力的计算。这些包括压力、重力和集中荷载。
- 荷载递增模块——任何物质的非线性有限元解都必须在增量基础上进行。因此这部分的功能是控制加载模块中评估的已施加荷载的递增。它还确保了任何指定位移也递增应用。
- 刚度模块——接下来的这个模块是对每个单元的刚度矩阵进行评估。刚度矩阵以适用于方程组装和还原的序列形式储存在光盘中。
- 求解模块——通常这个程序的目的是集合，还原，以及求解联立方程来得出约束结点的节点位移和反力。
- 残余力模块——这个模块的功能是计算每个分析阶段的剩余或不平衡的节点力。
- 收敛模块——该模块通过后述章节中给出的准则来检验非线性解的收敛。
- 输出模块——这个模块组织要求的输出量。
- 主段的主要目的是根据采用的求解算法和求解过程的收敛速度调用上述模块，控制加载增量和迭代过程。
第二章 一维非线性问题
2.1 介绍
几类关于许多科学和工程分支的非线性问题可以用系统的联系方程来求解，在求解中，方程系数依赖于一些主要变量的函数。在本章中检验了一些用于这种问题的数值解的基本方法。为了尽可能简单的介绍解决方案过程的基本细节，应用方程将被限制为一维的情况。特别地，弹塑性、非线性弹性问题和归属于非线性准调和方程的系统都将被考虑到。在每种情况下都会形成一个计算机程序，并通过在简单问题的应用阐明它们的使用方法。本章的目的是使读者为关于六到九章展开的这些问题的更具综合性的二维处理打好基础。实际上，后续章节中详细讲述的非线性有限元的所有基本特性都会与这里所谈的简单处理有区别。应该强调，本章中所开发的子程序不会被用于第二和第三部分中讨论的主要有限元程序。
2.2非线性问题的基本数值求解过程
在一大类非线性问题中使用有限元离散化导致联立方程式系统成为以下形式：
式中phi;是基本未知向量，fnof;是应用荷载向量，H是组装刚度矩阵。结构应用中，术语“荷载”和“刚度”直接适用，但对其他情况就要考虑这些量的解释随物理问题不同的变化。
如果H矩阵的系数依赖于未知向量phi;或其衍生品，问题显然变成了非线性。在这种情况下，直接求解方程系统（2.1）通常是不可能的，必须采用迭代方案。有很多选项供迭代序列使用。下面将介绍概述一些最普遍适用的方法。
2.2.1直接迭代（或逐次逼近）方法
在这个方法中，使用递推解法，之前对于未知向量phi;的解法用来预测矩阵H（phi;）的当前系数。（2.1）式就写成;
则迭代过程的（r 1）次方近似表达为：
如果这个过程收敛则当r趋于无穷大，趋近于真实解。
从（2.3）式中可以看出，有必要为每次迭代重新计算刚度矩阵H。过程一开始，为了计算H，假定一个合适的初始未知向量phi;是必须的。一般的，基于区域内平均材料性能的解法的值是能够取得满意的结果的。如果材料性能的非线性刚好取决于确定的phi;值，则有必要在所有节点的场变量做近似处理。
出于实用目的，当未知向量phi;在逐次迭代中的一些量（通常是节点未知数的标准）的变化相当小时，可以认为迭代过程已经收敛。对于单一变量，该过程在图2.1和图2.2中示意说明，在这种情况下，矩阵H和向量phi;退化成与之等价的标量形式。假定的H随phi;的变化是在求解开始前就必须规定好的基本问题。图2.1和2.2中包含了这种材料性能，并且为方便起见，H（phi;）和phi;之间的关系是规定好的，而不是H(phi;)随phi;的依赖变化关系。图2.1表明了初始试验值的收敛路径，它围绕真实解上下波动，H-phi;曲线是凸的。从最初的试验值可以立即由规定的H（phi;）和phi;的关系得出对应的H值。再由方程（2.3）解出。再由H（phi;）和phi;的关系得出对应于的H。接着由该H代入方程（2.3）得出，循环此过程直到与充分接近，则表明过程收敛了。H-phi;Q曲线的割线斜率表示，它随phi;值的增大而减小。高和低得初始试验方案都会产生单调收敛路径。图2.2表明对于H-phi;关系曲线为凹的情况，这种解法是不合适的。低和高的初始试验解法产生的收敛路径围绕真实解发生振荡。尽管对于单一变量的情况该解法收敛，但在多自由度问题中，刚度条件的耦合很可能导致迭代过程的不稳定。直接迭代法的一个缺点就是，求解过程不能保证收敛且在初试求解阶段无法预测这一点。
2.2.2牛顿-拉夫逊法
在一个迭代求解过程中的任何一步中，式(2.1)只有在收敛情况下才适用。假设存在残余力，则
这些残余力psi;就是平衡方程（2.1）的偏移量。因为H是phi;的函数，是它的因变量，则在过程的任一步中都有psi;=psi;（phi;）。
如果问题的精确解存在于，则牛顿-拉夫逊法近似于残余力向量的一般项，对应于处的解就表示为：
其中，N是系统的变量总数，上标r表示对精确解的第r次近似，由式（2.4）得出，残余部分的完全表达可用矩阵形式写成：
其中，雅可比矩阵J的典型条件是：
式中，是矩阵H的一般项，（2.7）中给出的最后一项成为雅可比矩阵的非对称项。如果为了保持对称而忽略了这些不对称项，则把（2.7）代入（2.6）中有，
或因
方程（2.8）减少，结合（2.4），有
这个方程和2.2.1节中的（2.3）是相同的，它是直接迭代法的控制方程。为了是牛顿-拉夫逊法有更高的收敛率，很有必要保留雅可比矩阵J中的非对称项。
式(2.7)中的非线性项的显式表达显然要依赖于刚度矩阵系数随未知向量phi;变化的方式，式（2.7）给出的雅可比矩阵中的项可以组合成一般表达形式：
等号右边最后一项只包含非对称项。结合（2.6）和（2.11），牛顿-拉夫逊法的求解过程最终可以写成如下形式：
这使得从任何迭代的残余力向量psi;解得的位置向量phi;都能得
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