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三维数值波流设备的优化造波和消波
Aggelos S. Dimakopoulos, Ph.D., C.Eng.1; Giovanni Cuomo, Ph.D., C.Eng.2; and Ian Chandler, Ph.D.3
摘要：在周围出现均匀不平行的水流情况下，针对能够快速有效产生和吸收随机方向波的波流设备，本文提供了一种优化方法。在本研究的计算中，通过用泰勒级数近似来代替内置的正弦和余弦函数，造波过程被优化。通过在出流边界设置更大单元的网格划分，消波区域的网格也被优化。结果显示造波的数值计算时间减少了70%，消波的数值计算时间减少了90%。与规则波流理论和随机波理论相比，有无水流作用下的造波结果都非常好。波浪反射通常对于线性波少于1%，非线性波少于4%，随机波少于5%。
DOI: 10.1061/(ASCE)WW.1943-5460.0000324. copy;2016年美国土木工程师学会。
关键词：数值波浪水槽 网格优化 松弛区 优化 随机方向波 波流相互作用
第1章 绪论
建立一个数值波浪水槽，确保精确的造波和消波是首要的，可能也是最具挑战的任务，由于这需要在具有统计意义的时间框架上保持波流空间相干条件。研究者根据纳维-斯托克斯方程理论建立数值波浪水槽，针对造波和消波采用在边界条件上施加局部力和扩散力。在这种研究方法中，局部力仅仅施加在入流和出流平面；在早期用来研究波浪和结构相互作用的数值模型中，根据纳维-斯托克斯方程理论，该条件用来主动吸收平面规则波（van der Meer et al. 1992; Sabeur et al. 1996）和平面随机波（Troch and De Rouck 1999）。通过创建缓冲区，扩散力作用在入流和出流边界，随着边界向前推进，缓冲区的数值解逐渐远离解析解。近几年，通过耦合一个数值造波机（Mayer et al. 1998）或内部造波机，这种方法典型地用于被动吸收波的纳维-斯托克斯模型，以在流体方程中附加质量和动量源项为代表（Lin and Liu 1999）。内部造波机被用来研究二维波浪结构相互作用（Lara et al. 2006）和非定向的波流相互作用（Zhang et al. 2014）。
前面提到的研究都集中在二维计算域，然而计算机技术快速的进步能够实现三维模拟仿真，导致三维数值波浪水槽的发展和应用，其目的是模拟定向波流和结构的相互作用。因此造波和消波的方法已经延伸到覆盖这些进展。对以任意角度入射长峰波的主动产生和吸收，Wellens (2009)导出了其边界条件，并耦合了三维VOF模型ComFLOW 3。对于单向推进的随机波，Higuera et al.(2013)在计算流体动力学（CFD）平台实施了主动吸收边界条件。对于规则波Choi and Yoon (2009)采取了附加动量源项的内部造波机，该方法随后扩展到用来产生短峰随机波（Ha et al. 2013）。近年来，Jacobsen et al. (2012)在OpenFOAM中采取了由Mayer et al. (1998)提出的松弛区方法，因而对于造波和消波创建了一个开放源代码的CFD工具箱。该CFD工具箱为各种各样的研究（Stahlmann and Schlurmann 2012, Vyzikas et al.2013, Jensen et al. 2014）提供了一个起点，并且与海岸工程领域相关的数值模型上得到了广泛的应用。
在整个计算域内，边界条件上的局部力只需要占用极小的空间，因而尤其是在三维模型中可以节省计算资源。边界条件上的扩散力采用过渡区域，这些区域不仅可以确保产生更平滑的波，通常在消波方面也更有效。比如，Jacobsen et al. (2012)通过创建了2倍波长的消波区域，测出了规则波的反射系数为0.1-1%；而Higuera et al. (2013)做了相似的数值测试，发现反射系数为1-10%。
根据本文作者的观点，尽管需要额外的计算成本，由Jacobsen et al. (2012)提出的松弛技术更适用于工程领域，这是因为波传播和转变过程不易受边界不稳定性和高反射系数的影响，从而导致在一个具有统计意义的测试周期内实验条件具有稳定性和一致性。然而，为了实现具有统计意义的任意随机海面状况代表，有必要采取大量的频率成分[通常在数百或数千的范围，参考（(Goda 2010)]，这使得在计算方面成本非常高。
本文的研究目的首先是提出简单的计算方法，对于规则波和随机波，可以减少其造波和消波的计算成本；其次，为了验证三维波产生、吸收和波流相互作用的数值设备的有效性。采取的数值实验是用来评估模型的效果，该模型适用于规则波、非规则波、单向波的产生和吸收以及平行的单向波流相互作用。
第2章 数值模型
2.1说明
数值实验的基础是OpenFOAM计算流体动力学模型平台，该模型用有限体积法（Jasak 1996）得到了适用于不可压缩流体的三维纳维-斯托克斯方程数值解。在该模型中，根据VOF方法（Hirt and Nichols 1981）和由Rusche (2002)提出的实施方案，把自由面作为一个空气-水界面，其运动被模拟出来。同时该模型也可以模拟湍流和表面张力效应，然而在目前的研究中都没有考虑这些情况。在本文中，流体方程的数值解通过PISO算法（Issa 1986）求出。
OpenFOAM提供了大量默认情况下的边界条件。在本文研究中，水槽底部和固壁作为无渗透不滑移壁面。与大气接触的边界作为一个开放的边界，允许水和空气垂直于边界自由流出（速度和体积分数的梯度为零），但仅仅允许空气垂直于边界流入。在与大气接触的边界上总的压力水头为零。根据合适的波流理论，入口和出口边界上的流速和体积分数采用狄利克雷边界条件。
在有无水流作用的情况下，造波和消波可以通过松弛方法（Mayer et al. 1998）来实现。根据这种方法，松弛区的流速和体积分数可以取理论解和数值解的加权平均值。数值实施方案按照Jacobsen etal. (2012)的方法来实现。在目前的研究中，该方法的一种改进措施被提出，用于促进矩形区域周围的系数分配权值相同。
规则波的产生利用了Fenton傅里叶转换（FFT）方法（Fenton 1988）。在周围有无水流作用的情况下，该方法都适用于线性波和非线性波的产生。在本文的研究中，数值水槽的底部是固定的，并且与波传播平面平行；因而水流也与该平面平行，仅仅只考虑两个速度分量，与波传播方向平行和垂直的速度矢量。如果流层截面是变化的，三个方向上的速度分量都要考虑。在FFT方法中，通过在方向域和频域上同时叠加简谐函数分量，可以产生随机波和单向波。另外，针对频率分布本文采用了由北海海浪联合计划（JONSWAP）得到的频谱（峰值增强因子= 3.3），当模拟以短峰波为主的海域时，引进了一种由cos-2s组成的谱，定向传播时s=5（Goda 2010）。
在出流区域，通过迫使流速场等于周围水流的速度，自由表面高度等于静止时的水面高度，这样波在到达出流边界之前波能完全被耗散，因而消波得以实现。同时这样也可以确保不可压缩质量守恒条件在数值计算域中能够满足。根据命名的惯例，在本文中涉及到松弛区，造波/消波区和消波区分别指主动造波/消波和完全消波。
2.2松弛区优化
2.2.1造波/消波区域
造波/消波区域附加的计算成本通常是由数值计算域内额外的网格单元引起的。然而目前的研究者认为情况并非如此，对于物理和数值的波浪模型，把一部分计算域作为入流区域是常见可取的方法，在入流区域波浪以等深度传播。在本文中，通过把造波/消波区域作为入流区域，上述方法得以实现。然而在松弛区的每个单元需要附加波浪条件，数值计算成本会相应增加。
三角函数能够提供高精度的近似，对于浮点计算尤其是双精度计算，三角函数的计算成本比其他要高很多[例如, 参考 Nyland and Snyder(2008)]。在每次迭代中，产生规则线性波的附加计算仅仅需要一个三角函数，产生规则非线性波的附加计算通常需要不超过10个三角函数。因而产生规则波并不需要太多的计算成本 。相反，为了保证无重复、具有统计意义的随机波列，产生随机波需要100-1000个组成分量。这样的计算成本非常高，尤其是对于C 的内置正弦和余弦函数，因为这些函数能够提供高精度的近似。
在本文中，作者认为可以采用一个低精度的近似方案来优化三角函数，如表1所示，把三角函数按相位划分为四块，在每块上用4阶泰勒级数展开来代替C 的内置函数。近似产生的误差见本文附录部分。利用该方法，三角函数的计算精度（误差lt;0.1%）不如C 的内置函数，但计算效率显著提高。
表1.余弦函数泰勒级数展开
注释：角度与整个相位的分割数有关
为了评价计算的效率，对于给定数量的三角函数，其计算所需时间通过两种近似方法测出。基准程序在一台单核计算机（2.6GHz）上运行，在迭代次数很多的情况下，该程序依次进行三角函数迭代计算，然后测出执行完这些迭代所需时间。在每次迭代过程中，为了在数值模拟中显示时间推进，三角函数相位附加一个小增量。采用开放源代码GNU来编译基准程序（GCC 4.4.6）。
由于在海岸工程领域Fortran语言在CFD模型中广泛应用，相同的数值实验也采用Fortran90代码编译。软件编译（GCC 4.4.6）采用开放源代码GNU编译器，Fortran和C 语言都采用相同的优化方法。图1比较了两种结果，横坐标代表三角函数计算迭代次数，纵坐标代表计算所需的总时间。从图中可以看出，对于迭代次数较多的情况下，无论是Fortran还是C 语言，泰勒级数近似的计算时间都比内置函数节省了近85%。
图1.给定数量三角函数的计算时间，虚线和实线分别对应C 内置函数和4阶泰勒级数近似。
2.2.2消波区
为了减少消波的数值计算成本，消波区的网格以恒定的推进比向前划分。当减少消波区的网格单元数量，计算时间相应减少，但数值耗散会增加，因此需要消波区的网格划分进行优化。图2显示了消波区网格的分布。
为了评估网格尺寸的减少，把以恒定推进比r的分级网格看作一个均匀的网格。x轴方向上的推进比r定义如下：
式中和分别代表网格划分方向上连续的两个网格尺寸；代表消波区的长度；和分别代表第一个和最后一个网格的尺寸。总的网格数通过下面公式计算：
式，在没有网格分级的情况下（r=1），N=。消波区总网格的相对减少量和成正比。图3显示了在N分别等于400,600,800的情况下与r的变化关系。本文中N的取值大概与消波区的网格划分数相匹配。
在给定长度的区域下，消波区的网格数量随着N的增加而减少，进一步说明了对于更加精细的网格该优化方法越有效。由于数值模拟采用多重网格方法得到泊松方程的解，可以预计消波区的计算时间成本节省与网格尺寸减少成正比（Wesseling 1992）。
图2.消波区的网格划分；阴影区域对应水
第3章 2维数值波流设备
3.1 数值模型装置
表格2显示了2维数值波浪水槽中的各种波况。数值水槽的长度L=45m，除了非线性波（NL1-NL6）的波况外，其它波况都被Higuera et al. (2013)用来匹配数值试验。造波和消波区的长度与波况不相关，分别为，。每种波况下的深度d不同，是静水面与大气之间的距离，比值在0.5-0.75之间变化，以便保证大气边界与传播过程中波峰之间的距离。
表3对各种情况下的网格属性进行了总结。为了加强比较，非线性波数值水槽的网格属性和Higuera et al. (2013)的相匹配。水槽的造波和消波区采用相同的网格设置，消波区的网格尺寸是变化的，推进比不变。对于线性波，FFT方法使用8个分量，然而对于随机波，FFT方法使用500个线性波的分量。
表2.有无水流情况下各种平面波的参数以及随机波的波高，峰值周期，波长
表3.非线性波的参数以及随机波的波高，峰值周期，波长
3.2后处理方法
为了评估波浪反射和提取入射波和反射波的波高，本文同时采用了统计分析方法和谱分析方法。统计分析方法采用了由Isaacson (1991)提出的第三统计方法，基于自由表面信号的3点探测统计分析。谱分析方法是针对反射波提出的最小二乘法的一种扩展方法(Mansard and Funke 1980)。为了确保在整个数值水槽的长度方向有足够多的探针，采取了一种间隙为0.25m的均匀探针列。
由于在规则波谱中存在尖锐的波峰，会影响谱分析方法的精确性，因而规则波采取了统计分析方法。对于规则线性波和波流相互作用，模拟仿真时间为50个波周期（97s），但只分析后25个波周期的数据。为了增强本实验的结果和Higuera et al. (2013)实验结果的可比性，非线性规则波的谱分析选取了整个120s模拟仿真时间中的60s。
随机波的模拟仿真时间是600s，只分析后500s（大约300个波）的数据。谱估计的结果可以从平滑的周期图中得到(Goda 2010)。每个时间系列分割成20个小
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