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海洋工程
三维球型弹头弹体入水问题的数值模拟与实验研究
实验者：Mohammad Reza Erfanian （a） Morteza Anbarsooz （b）Nasrollah Rahimi（a）Mohsen Zare （a）Mohammad Moghiman（a）
a.机械工程系，菲尔多西大学马什哈德分校，马什哈德，伊朗
b.大学机械工程系，quchan大学先进技术学院，Quchan，伊朗
文章信息：
文章历史：2014年3月30日收到，2015年5月18日通过，2015年6月11日上线。
关键词：耦合欧拉-拉格朗日 入水 子弹 球型弹头 截止时间
摘要：在这次研究中，对一个球型弹头的子弹入水问题进行了数值模拟和试验。在数值模拟中，我们把三维模型的子弹的运动定义为六自由度的刚体运动。用耦合欧拉-拉格朗日（CEL）方法模拟流体和结构的相互作用，将欧拉材料与拉格朗日单元、模型的方程描述与流体力学的行为相互统一。得到的数值计算结果与在文献中找到的入水球的试验结果相互比较。本次试验通过一个发射装置（能够将球型弹头的子弹打入水中）和一台高速摄像机来完成。得到的空气腔形状和子弹的轨迹等仿真数据与目前已有的试验数据相互比较，结果相互吻合，肯定了本次试验所提出的数值算法的精度和能力。
简介
固体子弹入水问题的研究已经超过了80年，其最重要的应用在于军事领域。计算子弹的轨迹和水冲击力（特别是最大冲击载荷）在设计可以入水的导弹的过程中，尤其在初级入门阶段，起到至关重要的作用。
子弹入水可以根据是否形成空腔分成两类。基于腔的形成机制、型腔成型情况又可以分为两大类：空气携带型和超空泡型。使空腔形成的主要特征是子弹在未收到干扰时，液体水平和向上的飞溅从而形成空气腔。另一方面，子弹在水中的高速运动会气化一部分的液体。事实上，当局部静压力小于液蒸汽压力时，液体发生空化现象。更多的细节可以在由Truscott等人在2014年完成的研究综述中可以了解到。
基于分析方法也可以把子弹入水问题分成三个步骤：试验研究、分析并确立解决方案和数值计算模拟。以下就是对每一类的简要回顾。
1.1试验研究
最早的试验工作是由Watanabe在1930年完成的，他研究了圆锥体对水的影响。但是，在这一部分中，只涉及到了近30年来的研究。Cole等人在1992年研究了整个模型的高速度入水并制造了Froude模型的尖头入水交通工具。New等人在1993年通过试验研究了不同截面的棱柱体在入水过程中的影响。一个压缩气腔和一个电磁阀被应用，使得发射体能够在相对宽的范围内进行不同角度的发射。Engle和Lewis在2003年得到的水动力冲击压力试验数据与Wagner在1932年和Chuang在1966年所得到的数据基本相似。最近的试验是由Aristoff等人在2010年完成的，他们对不同密度的球在水面上的垂直冲击进行了试验性的理论研究。
尽管有用的数据可以通过试验的方式来得到，但是存在一定缺点。冲击过程中仪器中存在的冲击载荷、试验所需要的高速动态测量给入水问题造成了麻烦。因此，分析和数值研究对这个领域的研究者来说是十分重要的。
1.2分析并确立解决方案
第一个入水冲击载荷的理论研究是由Von Karman在1929年完成的，他研究了飞机在水面上的着陆。他使用了一些诸如保护动量和附加质量等比较简单的原则，第一次展示了物体入水的图像。根据Von Karman的观点，最大冲击力取决于附加质量及其时间导数。附加质量计算的困难通常是因为它是由自由表面的边界条件决定的。1959年前，大部分的研究都是在Von Karman的图像上扩展开来的。这段时间的研究被Szebehely在1959年总结后记载。
Miloh在1991年发现了一个用于计算物体斜射入不可压缩流体中的冲击力的解析解。Howison等人在1991年增加了粘度和压缩性解析解的适用范围，即无重力情况下轴对称体的冲击载荷的计算。Aristoff和Bush在2009年研究了小疏水球和垂直圆柱体的入水过程。他们提出了理论模型确定的重要参数：截止时间、截止深度以及空气腔的形状。Tassin等人在2013年使用CFD通过一个模拟计算模型研究了二维物体的入水问题。
几个分析方案已经研究了不同部分的入水问题，但是，这些研究都忽视了一些重要的参数，比如流体粘度、流动分离、非线性自由表面边界条件等。因为典型的入水问题遵循高雷诺兹数，所以可以使用势流假设（Truscott等人在2014年完成）。非线性自由表面边界条件需要数值模拟来进行展示。这些数值模拟就是我们接下来要阐述的部分。
1.3数值计算模拟
数值模拟可以分为两种不同的方法：近似模拟和直接模拟（DNS）。近似模拟如势流和斯托克斯流近似模拟忽略了一个或多个重要的因素，如粘度、驻点和分离点。近似模拟的这些方法被Esmaeeli和Tryggvason在1998年和Hu在1996年总结并记载。虽然基于势流的数值方法以及成功的解决了入水问题，但是这些方法很难处理变形较大或被破坏的自由平面。更难得问题在于存在一个在物体表面（具有一个小的斜的角度）和自由表面之间的压缩空气层（Zhu等人，2006）。基于求解纳维-斯托克斯方程的计算流体力学方法可以克服这些困难。
Kleefsman等人在2005年在一个固定的笛卡尔网格中用VOF方法求解不可压缩粘性流体的纳维-斯托克斯方程来进行二维对称体的入水模拟。Yang和Qiu(2007)使用插值曲线（CIP）方法研究了二维对称或非对称楔形体通过不同的角度入水时的冲击过程。Yang和Qiu在2012年计算了二维物体和类似于一个固定在笛卡尔网格上的用CIP方法的三维体的冲击力。
在上述研究的基础上，对二维几何结构或简单的三维物体进行了数值模拟。然而，对于大变形的问题或者更加复杂的三维几何形状，比如子弹，这些方法在计算成本和收敛性上失去其有效性。这主要是由于需要重新啮合固液表面造成的。
目如基于无颗粒光滑粒子流体动力学的数值模拟技术（SPH）和格子玻尔兹曼方法（LBM）是研究流体和固体物体之间相互作用强大的数值计算方法。Monagan在1994年扩展SPH方法来处理自由表面不可压缩流和一些实际的应用，如模拟一个溃坝，一个造波机，向海边吹过来的风等。Gong等人在2009年研究了基于SPH模型的二维楔型体入水动力问题。Vandamme等人在2011年用弱可压缩平滑粒子流体动力学（WCSPH）的新方法结合了浮动对象模型研究了流体和浮体之间的相互作用。SPH方法也被Didier等人在2014年用来预测一种直壁为沉箱式的防波堤与波的相互作用。
Shu等人在2001年使用泰勒扩展和最小二乘法优化从经典的LBM基础上派生了一种使用格子的Boltzmann的方法。这种方法基本上是无网格的，但是能够适用于任何复杂的几何形状和非对称模型上。Zhang等人在2010年采用格子型模型模拟了人体入水的过程。对一个二维体的初入水过程和一个三维体以一定速度垂直入水的过程进行了模拟。De Rosis在2014年提出了用Boltzmann方法来模拟多相流和变形体的相互作用。
欧拉-拉格朗日分析也是可以有效解决入水中存在的问题的一种方法（Qiu等人发现，2014）。在本次研究中，将会三维子弹入水进行数值模拟和试验。对于数值模拟，使用Abaqus6.11软件进行欧拉-拉格朗日自由网格的划分，这样的划分能够使数值模拟计算量不是很大。这种方法相对于一般的计算流体力学的方法比较简单，但是依旧能够模拟流体结构的相互作用。通过比较本次试验与现有的实心球体的入水的试验结果，验证了三维子弹入水数值计算方法。在本次试验中，将一个具有六个自由度的球体发射到静态的水箱中。使用高速成像的子弹轨迹与已经存在的良好的数值计算结果相比较。
试验装置和数据处理
设计并安装了一个可以用于水输入测试的水箱。水箱的尺寸要足够大，来使流场的影响足够小，可以忽略不计。最后的水箱是一个1.2m*1.2m*9m的结构。一个能够提供给子弹速度的发射系统、一台高速摄像机、照明系统、计算器图像处理系统、测试罐在图1中显示。子弹是球型弹头，有4个十字型的翅片，在图片中也有展示。发射系统能够提供的冲击速度达到30m/s，角度相对于水面从51°到301°。高速摄像机记录空气腔形状和子弹轨迹的帧速度为每秒15000帧。
控制方程和计算模型
3.1耦合欧拉-拉格朗日方法概念
在耦合欧拉-拉格朗日（CEL）方法中，欧拉网格计算出来的压力和应力被视为附加载荷作用在拉格朗日模型上。然而，拉格朗日网格的变化对欧拉网格中产生的变化被视为一种边界条件（Qiu等人发现，2011）。
在拉格朗日分析中，计算节点是固定材料和单元同时材料变形的那一刻。所有的拉格朗日元素总是填充一种统一的材料，所以元素边界就是材料边界。然而，在欧拉分析中，计算节点可能没什么都没有填充或当流体经过时不产生变形。欧拉单元可能并不总是填充材料，他们可能部分或者完全失效。因此，欧拉材料的边界必须要在每一个时间步都进行计算，而且不总是和一个元素边界重合。为移动和变形的材料提供足够的空间，欧拉域通常被认为非常大，能够覆盖欧拉材料的边界。
在 Abaqus/Explicit中的欧拉实现是在流体体积法的基础上建立起来的。在这种方法中，材料通过计算每个元素的欧拉体积分数（EVF)来记录其流经网格的过程。通过定义可以知道，如果一个材料完全填充一个元素，其体积分数是一个，如果没有材料是存在于一个元素，其体积分数是零。欧拉元素可以同时包含一个以上的材料。如果元素的所有材料体积分数的总和小于1，则该元素的其余部分将自动填充为没有质量或强度“无效”的材料。
3.2欧拉-拉格朗日接触方程
欧拉-拉格朗日接触方程的基础是强化边界条件。在这种方法中，拉格朗日结构在欧拉网格内占有无效区域。接触算法自动计算和跟踪拉格朗日结构和欧拉材料之间的接触。这样做的好处是不用生成一个满足欧拉域的网格。事实上，一个简单网格的欧拉元素往往就可以产生最佳的精度。
在分析过程中，拉格朗日结构把材料从欧拉单元中剥离出来，让他们变成一片空白。相似的，欧拉材料流入拉格朗日结构也组织无效的欧单元进入。这样的做法保证了两种材料不同时占有相同的物理空间。想知道更多关于CEL的信息可以查阅Benson在1992和2004年发布的文章。
3.3状态方程
这个状态方程是一个本构方程，他定义压力为一个密度和内能的函数。在这项研究中， 使用支持Abaqus系统的Mie–Gruneisen状态方程。这个方程通常上用于高压力的模型材料。在能量上是线性的，在冲击速度和粒子速度之间也呈线性关系。
3.3.1Mie–Gruneisen状态方程
压力的状态方程是密度rho;、单位质量的内能Em的一个函数：
P=f（rho;，Em）（1）
在热传导的情况下，能量方程可以写成：
（2）
其中，P定义为正压应力，Pbv是体积粘度产生的压应力，S是偏应力张量，应变率的偏部分，Q是单位质量的热速率。P与V（体积）的关系就像P与1/rho;之间的关系一样，都是通过上述方程消除内能。这种关系比较独特，我们叫他冲击曲线。一个冲击曲线的示意图如图2所示。冲击压力（Ph）是一个密度的函数，可以通过试验数据的拟合来得到。
Mie–Gruneisen状态方程在能量上的表示也是线性的，可以表示为：
（3）
其中，Ph和Eh是冲击压力和比能，都只收密度的影响。Gamma; 是Grunei-sen比，定义为：
（4）
其中Gamma;o和rho;o分别是材料常数和参考密度。冲击压力与冲击能量的关系是：
（5）
其中eta;是额定的体积压缩应变，可以写成：
(6)
从上面的方程可以消去 Gamma;和Eh，得到：
（7）
状态方程和能量方程表示为压力和内能的耦合方程。一种方法能够在每一个物质点同时求解这些方程（参见ABAQUS 6.11文件，2011）。
3.3.2US-UP线性冲击形式
一种常见的冲击数据可以写成：
（8）
其中Co和s定义线性冲击载荷Us和粒子速度Up之间的线性关系，表示为：
（9）
因此，线性冲击方程可以写成：
（10）
其中小公称应变的弹性模量。
US-UP状态方程中的线性冲击方程可以用于模拟层流情况下的纳维斯托克斯方程。欧拉部分（水）可以用线性US-UP冲击来模拟 Mie–Gruneisen状态。状态方程（EOS）元素为水，总结在表一中。
4.结果和讨论
在本次试验中，对三维子弹的入水问题进行了试验以及数值分析。通过本次试验的数据与Aristoff（2010）等人研究球型物体入水的过程所得到试验数据的比较测试本次试验数据的精确性。在目前的试验中，我们把3维的子弹看成一个六自由度的模型。
图三展示了球体入水问题计算域的示意图、边界条件和网格分布。在初始时间(t =0)里，欧拉域被分为上下两部分。上面是空的，下面是静止的水。球体直径为2.54厘米，初始速度为2.17m/s。水的物理性质可参见表1。
计算域的尺寸被不断放大直到数值结果不再产生巨大的变化。最后得到的计算域是一个25cm*25cm*75cm的立方体。同样的，网格的细化也知道数值结果不再产生巨大的变化为止。
图四是根据Aristoff等人在2010年已经完成的密度比为1.14的数值模拟和试验图像所预测的空气腔的形成和球的位置的关系。球体与液体在冲击过程中的动量传递使流体放射性的向外。然而，流体的膨胀被流体压力所阻止导致径向上的
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