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变质量系统的守恒定律
- Cveticacin
南斯拉夫，诺维萨德
技术科学学院，邮编21000
摘要--本文提出了一种求变质量动力学系统守恒律的方法。守恒定律的存在性是基于Noether定理和DAlembert变分原理。在一般情况下，变质量动力学系统是完全非保守的。Noether恒等式被推广到描述质量变化的情形。如果满足了Noether恒等式，则守恒定律就一定存在。考虑了两组变质量系统:一个是非线性振动系统的机器和和一个变质量的转子。对于这些系统，利用本文提出的方法得到了守恒定律。
1 介绍
有限自由度的保守和非保守动力学系统的守恒定律在物理学和工程科学中具有特殊的意义。一个或者更多的守恒定律可以大大简化运动微分方程的积分。如果独立守恒律数是自由度数的两倍，则动力学系统的运动就被完全确定下来。目前最流行的寻找守恒定律的方法是基于对描述系统位置和时间的广义坐标的无穷小变换的哈密顿作用积分的不变性质的研究。这种方法基于Noether定理(Vujanovic, 1989).Noether方法只对那些完全可以用拉格朗日函数描述的动力学系统有效。然而，Noether定理并没有提供任何关于如何找到保持Hamilton积分不变的无限小变换的建议。在几篇论文中(Vujanovic, 1970; Djukic,1973; 1970;;Djukic, 1973; jones, 1967; Crespo de Silva, 1974),考虑了寻找上述无穷小变换和相应守恒律的各种方法，在Vujanovic, Strauss和Jones(1986)的论文中，完全非保守动力系统的守恒定律是通过适用于非保守动力系统的Hamilton型变分原理(具有非交换规则的变分原理(Djukic和Vujanovic, 1975)得到的。DAlembert的微分变分原理(Vujanovic, 1978)，关于乘子的一般理论 (Djukic，Sutela， 1984)。看看这些方法如何应用于涉及变质量系统=将会很有趣。
本文的目的是寻找有限自由度变质量动力学系统的守恒律。通常质量的变化是时间和位置的函数。如果质量随时间变化，就会产生一个反作用力(Meshcherski, 1952)。根据反作用力的形式，有两种情况:
1尽管质量有变化，但是动力学系统是完全可以用一个拉格朗日函数来描述的。
Hamilton作用量积分的存在，其关于广义坐标和时间的无穷小变换的变换性质，已经成为发现寻找守恒定律的基础。这组问题对应于Levi-Civita (Savin, Putjata, and Fradlin, 1964)质量守恒的绝对速度为零的情况。给出了求这类系统的第一积分的方法。在Cveticanin(1993)中，同样的方法被应用于一些变质量系统的例子。
2 动力学系统完全是非保守的。这个系统不是完全由它的拉格朗日函数来描述的。由于对于非保守动力系统，Hamilton作用量积分一般不存在，在守恒律的研究中将引入一些能正确反映非保守动力系统性质的其他物理不变量，包括非保守效应。这可以用DAlembert的微分变分原理(Vujanovic, 1978)作为基本不变量来实现。本文提出了一种求该类系统守恒律的方法。
2 变质量动力系统的运动方程
让我们考虑一个由个质量为的粒子组成的动力学系统。作用在系统上某一点上的作用力是。由于质量在变化，反作用力也会产生作用效果。
这些点的位移为。DAlembert原理为
（1）
其中为第个速度矢量。
让我们引入独立的广义坐标，这样每个位置矢量可以表示为一个
有这些坐标和时间的函数
（2）
那么，达朗贝尔的原理是
（3）
由于存在这种关系
（4）
方程（3）就可以写成以下形式
（5）
接下来我们引入动能
（6）
于是方程（5）就变成了
（7）
其中
（8）
压力可以看成成两部分
（9）
压力是保守的，可以用一个力来表示
（10）
力是非保守的，可以表示为
（11）
其中是广义力。
反作用力为
（12）
代入方程式（7）（10）（11）（12）将化成（3），拉格朗日动力学系统的运动
微分方程，质量变量参数为
（13）
其中是系统的拉格朗日函数。
对于单个质量的力学系统，运动微分方程为（Bessonov,.1967）
（14）
如果质量变化只是时间t的函数，
那么方程（13）将变成
（15）
将方程（13）乘以，之后经过一系列变换，得到
（16）
现在我们接受速度的变化率等于变化率的一般规律
（17）
则拉格朗日中心方程（16）就变成了
（18）
3 在拉格朗日中心方程中包含非等时变分
研究动力学系统守恒律的方法依赖于无穷小变换，即广义坐标和时间的变化。广义坐标和时间的变化必须引入到中心拉格朗日方程中。让我们介绍一下非等时
变分(Vujanovic, 1989)
（19）
在这些条件下，（18）将变成
（20）
我们有
（21）
（22）
方程（20）有这种形式
（23）
通过加减，任意函数的时间导数乘以一个小参数，一个依赖于广义坐标，广义速度和时间的函数，我们可以将方程（23）重新写成以下形式
（24）
这个方程表示了拉格朗日中心方程的变形。函数称为规范函数。
达朗贝尔原理（24）的变形是建立在系统守恒定律之上的。
4 守恒定律存在的条件
由方程（24）可知，显然以下关系
（25）
满足，变质量动力学系统满足守恒定律的形式为
（26）
假设广义坐标和时间的无穷小变换可以表示成
（27）
把这些代入方程（27），则变质量动力学系统守恒定律存在的条件为
（28）
与之对应的守恒定律就变成了
（29）
方程（28）就是时变质量力学系统的基本noether恒等式。对于形式（27）的广义坐标和时间的每一个无穷小变换，对于满足条件28的每一个规范函数p，都存在守恒定律（29）对于单个质量力学系统，基本noether恒等式将变成
（30）
如果质量变化仅是时间的函数，则方程（30）可以简化为
（31）
让我们证明（29）是守恒定律。
给出变质量力学系统的广义基本noether恒等式。利用这个关系
（32）代入到(28)可以得到
（33）
假设因子不为0，则方程(33)右侧对应变质量系统的运动微分方程
- 方程的左边代表守恒定律，这就意味着在满足式(28)的前提下关系(29）
存在。
5 变质量振动机械守恒定律
在日常生活中，有许多在工作期间质量变化的振动机器。在加工业，这些是运输机器和分离器等的基本工作元件。图一给出了一个单自由度振动机模型。Bessonov1967对这些机器进行了描述。系统质量随时间变化。由于变质量力学的相对速度不为0的事实，所以反作用力起了作用。在加工业的机器中，里面有特殊的材料。它们的弹性性质通常是完全非线性的。对于这些系统，其数学模型（见cveticanic，1992）
（34）
其中是质量变化的，是非线性刚度系数，是反作用力的常系数。
这是一个非保守力学系统，拉格朗日量和反作用力是
（35）
让我们假设无穷小变换（and ）和标准函数的生成函数是和的数；
（36）
将式（35）和（36）代入（31），将的幂次相同的项分离，得到
（37a）
（37b）
（37c）
（37d）
对于与无关的函数，式（37d）是恒成立的。分析（37c）的关系，并利用之前的事实，显然是的线性函数。考察函数和的关系和假设。函数依赖于变量的二阶，得出了函数有此形式
（38）
将（38）代入方程（37a-c），得到含有未知函数and 的三个方程
通过对光的研究，确定了这些函数，并且相应的函数（38）为
（39）
对于质量变化的情形，应满足的关系式为
（40）
其守恒定律为
（41）
例如，当质量变化规律可以表示成以下形式，守恒定律就存在
这其实在某些实际系统中，是有可能发生的。让我们来考虑一些特殊的情况；
()系统是线性的。在这种条件下，物质支撑系统是线性的且的运动微分方程为
（42）
守恒定律（41）可以简化为二次积分
（43）
对于质量变化如（40）.对于质量方程（40）的奇异解
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