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非保守动力系统的积分因子方法和守恒律
DJ.S.DJUKIC and TYTTI SUTELA
摘要—提出了一种构建经典非保守动力系统守恒律的一般方法。通过为运动方程找到相应的积分因子来构造守恒定律。详细研究了守恒定律存在的必要条件。在先验已知的守恒定律和相应的积分因子之间建立了联系。该理论适用于两个特殊的问题。
1.引言
在本世纪初，Emmy Noether发起了一项关于守恒律的非常普遍的研究。目前，人们普遍认为守恒律（一阶积分）的知识对于自然的物理描述、降低运动微分方程的阶数和运动稳定性分析具有极大的重要性。
传统上，守恒定律和一些特征动态量的不变性或者相应的运动方程相关联。在动力学变量的无穷小变换下保持不变的对象可以是：（1）运动方程组[15-20,28-34,37-38,44]；（2）拉格朗日函数[1-14,28,36]（关于诺特定理和相关方面的最新评论，参见[4]）；（3）Hamilton-Jacobi方程[32,35]；（4）哈密顿函数[27,48]；（5）黎曼曲率张量[19,21,22]；（6）拉格朗日[4]或哈密顿上下文[47]中的嘉当形式；（7）达朗贝尔原理[39]。用于构建守恒律的动态代数的概念在[25,26]中使用。
在[40-42]中，守恒定律基于规范变换，目的是获得在新变量中时间可分或与时间无关的新哈密顿量。一些作者，[23,24,46]，假设守恒律的结构，然后检测它们存在的相应必要条件。
与对守恒律这种非常一般的处理相反，每本高等动力学的大学教科书都包含保守系统的能量积分，它是通过将运动方程乘以相应的广义速度获得的。这种想法被归纳至[42]和[43]的一些特定动力学问题。在那里，守恒律的构造是通过为运动方程找到相应的积分因子。
我们必须强调，非保守动力学系统的守恒律仅在论文中进行了研究[13，36,39,43]。
本文的目的是提出一种构建经典非保守动力学系统守恒律的一般方法。粗略地说，该方法包括尝试用类似于获取保守系统的能量积分的方式构建守恒律，即将运动方程乘以适当的积分因子。本文涵盖了[42]和[43]中获得的所有结果，此外，构建过程相当笼统。详细地分析了第一积分存在的必要条件。并且，在先验已知的运动方程的第一积分和相应的积分因子之间建立了联系。结果表明这种联系并不是唯一的。最后，讨论了两个特殊问题。
积分因子理论
令为广义坐标，它明确指出在时间具有个自由度的非保守完整机械系统的构型，并令为相应的广义动量.因此，Hamilton正则运动方程是
， （1）
（2）
其中：，是系统哈密顿函数，它描述了系统的保守部分；并且是非保守广义力的分量。和是广义坐标，广义动量和时间的任意函数。在正文中，小希腊指数表示从1到的一系列值，并且始终采取求和约定。
让我们假设存在一组函数，它们依赖于广义坐标，广义动量和时间，使得以下不变式
（3）
恒等地变为
（4）
其中，和是广义坐标，广义动量，时间的任意函数。在那种情况下，我们可以说函数是运动方程（2）的积分因子。
结合（2）和（4），我们有
（5）
并且以下定理是显而易见的：
定理1. 如果函数是方程式（2）的积分因子，则以下量
（6）
是一个沿着动力系统轨迹的常数（第一积分），其运动方程为（1）（2）。对于一个给定的动力学系统，如果函数是方程（2）的积分因子，那么每组函数和都必须满足必要条件（4）。该条件可以写为
（7）
这里，我们用（1）和（2）来计算并且
（8）
如果函数组和满足必要条件（7），而函数组将（6）的右手边化简为一个常数，那么我们可以说我们得到一个奇异的函数组和
根据这些考虑和定理1我们可以制定以下定理，以便于找到运动方程（1）（2）的第一积分：
定理2. 对于每个满足必要条件（7）的非奇异函数组和，存在给定非保守动力系统的守恒量（6）。
通过方程（7）的积分或特殊方法可以得到给出一个守恒量的非奇异函数组和。在任何情况下，如果我们得到方程（7）的任意解，其中不包含任何积分常数，我们可以称此解为方程（7）的一个函数解。当（7）的一个非奇异函数解代入（6）时，它会产生动力学系统的一个通常的初积分。在那里，唯一的积分常数是D的值。最近，Vujanovic[49]表明，通过方程（7）的完全解，它包含一个积分常数的总和，我们可以形成方程（1）和（2）的一个有限解。
如果我们把方程（7）看作一个微分方程，那么集合和的任何函数都具有相同的处理。这意味着，该集合的每个函数都可以是未知函数或预先给定的函数。当然，在（7）中，必须解释为
（9）
在实际应用中，为了求第一积分，方程（7）可以用三种方式使用。
首先，我们可以要求方程（7）对所有都成立。然后，运用（7）（8）和（9）我们可以得到一个在中的线性方程。由于集合和的函数不依赖于广义动量的一阶时间导数，所以方程可以分解为（n 1）个线性偏微分方程组，经过简单的计算采取形式
（10）
（11）
我们称这个偏微分方程系统为广义Killing方程（见4,13,39,10-12）。因此，如果这个系统允许关于和的非奇异解，那么第一积分（6）自动存在。这里，我们有n 1个线性偏微分方程组，在最一般的情况下，有2n 2个未知函数。因此，它们的解有很大的自由度。最合乎逻辑的建议是预先规定n 1个函数，然后求解关于保持（n 1）个未知数的方程。通常，规定的函数是和（见【4,11-13】）。
方程（7）实际应用的第二种可能性是要求恒等式沿着动力系统的轨迹保持。这意味着广义动量的一阶时间导数在（7）中不再是任意的。是时间、广义坐标和广义动量的函数（2）。因此，使用（2），（8）和（9），必要条件（7）变成
（12）
在这里，我们将把这个方程称为沿着轨迹的广义Killing方程。它是一个线性偏微分方程。在一般情况下，（n 2）个函数和中的每一个都可以视作未知数。根据定理2，方程（12）关于和的任何非奇异解产生第一积分（6）。
沿着轨迹（12）的广义Killing方程与的量无关。如果我们求解关于的式（11），并且将该值代入（10）我们将获得沿着轨迹（12）的广义Killing方程。因此，方程（10）和（11）对于所有不同于零的与沿着轨迹（12）的广义Killing方程等效。如果我们指定所有所有都等于0，那么这些方程（10）和（11）不能沿着轨迹简化成方程（12）。如果我们假设某些不为0，例如，并且所有其他都等于0，那么（10）和（11）可以替换为方程
（13）
（14）
从这个考虑我们可以得出结论，在实际找寻第一积分时，我们可以等效的使用方程（10）和（11）的，方程（12）或方程（13）和（14）。
- 所得结果的讨论
在沿着动力系统轨迹的广义Killing方程中，我们至多有（n 2）个未知函数。让我们考虑一个特殊情况，当
（15）
其中
（16）
是时间，广义坐标和广义动量的函数。现在，从（6）和（12）我们有
（17）
（18）
这些方程（17）和（18）是Vujanovic[49]的基本方程，用于通过类似于众所周知的和方法对非保守Hamilton动力学方程进行完全积分（参见【49】中的详细信息）。此外，如果我们有方程（18）的积分，其中包括一个积分常数，那么（17）给出了动力系统的通常的一个第一积分（参阅【50】）。
为了将目前的结果与其他作者的结果进行比较，我们在拉格朗日变量中给出了我们的结果。现在，量（8）变为
（19）
其中：是关于广义加速度的拉格朗日运动方程的解，是问题的Hessian矩阵，即。这里，和必须用广义坐标，广义动量，时间来表示。是动力系统的拉格朗日函数。在拉格朗日变量中，必要条件（7）和算子（9）是
（20）
（21）
使用（19）和（21）显式计算（20,），考虑到结果是中的线性关系，要求它对所有的都成立，并且将产生（n 1）个方程
（22）
. （23）
这些方程等价于方程（10）和（11）。对于这些广义Killing方程（22）和（23）等价于（13）和【39】中相应的必要条件，用于第一积分的存在。（13）和【39】中的必要条件分别由Noether理论和达朗贝尔原理得到。在那里，函数是一个变尺度的函数和时间的单参数变换，广义坐标由下式给出
（24）
其中是变换的一个小参数。【39】和（13）中对应的第一积分与（6）具有相同的形式。因此可见，在本理论中具有根本重要性的积分因子和函数在Noether理论和达朗贝尔原理的途径得到第一积分中具有明确的意义。对于保守动力学系统，即当时，对于选择为
（25）
其中是广义坐标，广义速度和时间的任意函数，等式（22）和（23）简化为【4】中第一积分存在对应的必要条件。同样，是一个变尺度函数并且函数和产生一个参数变换（24）。
- 定理1和2的逆定理
在第一积分的理论中，有众所周知的Noether理论的逆定理（参见例【4,13，,12】）。该定理处理与给定运动常数相关的Noether变换的确定。这里，也是本文可能存在定理1和2的逆定理的问题。显然，这个定理将会建立动力系统已知的第一积分，即结构式（6），与相应的积分因子和函数之间的联系，它必须与等式（7）一致。据表明必要条件（7）等价于方程（10）和（11），（12）或（13）和（14）。因此，（n 2）个函数组必须满足方程（6）加上方程（10）和（11），（12）或（13）和（14）。最方便和确定的组合是方程（6），（10）和（11）对于。
从（6）计算出，并且强制这个结果去满足（11）我们有
（26）
现在，结合（6）和（26）我们得到
（27）
将（26）和（27）代入（10）得到
（28）
从这个考虑，我们可以陈述以下定理：
定理3（定理1和2的逆定理）。对于每个运动常数，对于由哈密尔顿作用量H和非保守广义力描述的动力学系统，对应的积分因子和函数，它们由关系（26）和（27）连接。这个结果完全等效于【4】和【13】中Noether理论的逆定理，其中函数具有不同的含义。
代数方程（26）和（27）是（n 2）个函数之间的（n 1）个关系。显然，这些函数中的一个完全可以通过适当的方式自由选择（参加讨论关于【4】中的问题）。因此，我们可以说定理3与每个运动的常数有关，一组函数其中最多只能确定一个自由函数。我们必须强调，由定理1和定理2表示的过程也不是唯一的（Noether理论【4,39,13】中对应的理论也是如此）。我们总是有比一次方程，方程（10）和（11），（12）或（13）和（14）的数目更多的未知函数。这个讨论同时也适用于Noether理论的第一积分。如果函数依赖于广义动量或广义速度，则该讨论是合适的。如果函数不依赖于广义动量（参见【10】和【11】）或者广义速度，则对应的方程数量大于未知函数的数量。
-
理论应用
- 让我们考虑在保守广义力（）场中单位质量的质点的平面运动。让哈密顿量描述的运动为
（29）
其中：和是该点的笛卡尔坐标；是给定的常数。
假设积分因子和函数的形式如下
（30）
并且结合（12），（29）和（30）我们得到
（31）
解这个与关于的方程我们得到
（32）
现在从（29），（30），（32）和（6）我们得到问题的第一积分。
（33）
这个第一积分在文献中似乎并不广为人知。它仅在【51】中被提及，它是通过一种特别的方法求得的。
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