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非完整系统的时间积分定理
美国佐治亚州亚特兰大市佐治亚理工学院
工程科学与力学学院，邮编30332
摘 要
本文从一个简单的统一观点出发，导出了线性和非线性非完整(和非保守)系统在实坐标和准广义坐标中的所有重要的变分和能量时间积分定理。具体来说，通过将运动方程与任意一组函数相乘，然后对任意两个时间点之间的结果进行积分，就可以得到“广义维里定理”。用实际的广义坐标和速度以及虚的和斜的(或非同时的)广义坐标变化来识别这些任意函数，我们就能相继地获得一般非保守和非完整系统的维里定理(最初由克劳修斯提出)、幂定理和哈密顿原理等定理。这些定理不仅可用于理论论证和推导，而且可用于振荡非完整系统的近似计算。最后用准坐标中的哈密顿原理为例推导出了著名的刀口、雪橇问题的运动方程。
1.序言
时间积分定理或原理，不管是变分的、加权剩余的还是实际的，在分析动力学中都占有中心地位。这是因为它们不仅为证明、推导和概念澄清提供了强有力的理论工具，而且在用于构造初值或振荡问题的近似解析解时显得十分方便。对于完整系统，时间积分定理及其应用十分广泛[1-6]。另一方面，对于非完整系统，在公开的英语文献中讨论过的唯一的时间积分原理是哈密顿原理。此外，其三种可用形式：（1）使用实坐标并随后引入拉格朗日乘子[2]；（2）使用实坐标，随后通过约束方程消除广义坐标的所有相关虚变量，然后使用适当的交换关系(、和的形式)[7-8]；（3）使用准坐标加交换关系(、和的形式)[9-11]——只有第一个在英文文献中出现过。然而，由于（1）涉及未知的拉格朗日乘子，它是三种形式中最不实用的(对于复杂的滚动问题，最后一种形式似乎最有用)；在哈默尔的著作中出现了一种（2）类形式对刀口、雪橇问题的特殊应用[12]。
第二个知名度较低的“原理”是维里定理(克劳修斯的原始形式):大约50年前，[13]给出了完整系统的更一般形式的证明，以及类似的线性非完整系统的方程的时间积分形式的证明，包括狭义相对论效应；然而，后一种形式有一个严重的错误[13]；即使从量纲的角度来看，这些方程也显然是错误的。
本文的目的是把上述所有定理澄清、恢复和推广到线性和非线性(和非保守)非完整系统，在实坐标和准坐标中，并把它们作为一个简单和一般的类维里时间积分恒等式的特殊情况。这不仅因为它的理论和概念价值(特别是准坐标中的哈密顿原理)很有用，而且它是直接近似方法(在变分法的意义上)的有力工具，例如在非完整系统的振荡中。
第2节介绍了在实(拉格朗日)坐标中最一般的维里定理的推导以及所有常见的特殊形式，而第3节针对准坐标进行这一推导。第4节将这些结果推广到实坐标中非线性非完整约束系统；文中还描述了如何将这些结果推广到准坐标，并给出了一些有用的一般结果。最后，在第5节中，引用一个例子，通过直接应用第3节中的哈密顿原理，在方便的准坐标中导出了著名的刀口/雪橇问题的运动方程。
2.实坐标下的广义维里定理
研究一个离散的机械系统，其位形由个广义坐标来确定，并满足线性（不可积）非完整约束
（1）
其中表示表示对总时间的导数，和通常是所有和的（给定的）函数，并对式（1）进行求和（通常从1到），差值是系统的自由度数量。式（1）也可以表示为
（2）
对于所有运动学上可能的位移和
（3）
所有的虚位移来说，最著名的是运动方程
（4）
其中是系统的动能，包括系统上所有（潜在或非潜在）的主动力、外加力，并且是熟悉的拉格朗日乘子（公式3和原理推导公式4时需要用到），公式4是本节的起点。
现在将它们与任意但足够光滑的函数集相乘，并对进行求和，得到
整理得
现在对上述公式在任意两个时间和之间进行积分，最终得到以下积分恒等式
（5）
我们称公式（5）为广义维里定理。在广义维里定理中，对的特殊选择可以产生大量的时间积分定理。
其中最重要的一些时间积分定理是：
- ，此时有（由公式3得到），因此，公式（5）可以写成熟悉的哈密顿原理
（6）
其中
在这里，人们应该注意[2]在原理（6）中关于几何解释的困难，因为不同的路径(通过在实际路径的每个点上添加虚拟位移来获得的)，并不是一个运动学上可能的运动（作为一个整体）。为了纠正这种情况， 等人大约在世纪之交，结合了各种不同的倾斜（非同时）变化的类型[见下文，（Ⅱ）]和哈密顿原理，得到了新的平稳作用的形式，这些原理适用于完整系统和非完整系统；现代文献中也做了此类研究[14]，然而，他的说法有点令人困惑。在我们看来，霍尔德和沃斯的“原则”，因为他们仍然引入了拉格朗日乘子，所以对于直接推导复杂系统运动方程的问题，没有什么实际作用。
- ，即非同时的变化[11,15]（见图1）。
由公式（1）-（3）得到
即
（7）
将公式（7）代入广义维里定理（5），得到
（8）
图 1
如果（即突变约束），则公式（8）化简为
（8.1）
方程（8.1）形式上类似于方程（6），但是，可以被称为广义哈密顿原理。
- 等价于实位移或实坐标。则由广义维里定理（5）得到非完整系统的“”:
（9）
特别地，如果系统是周期为的周期运动，那么选择，并且由于，且也是周期的，则公式（9）的右侧为0。
进一步，如果（ⅰ）（例如在直角坐标中）；（ⅱ）受定常约束（明确与时间无关），那么
此时，公式（9）可以写成
（10）
其中是对时间在周期上的积分，如果系统（若干自由度）不是周期性的（例如非退化或者条件周期性），然后将公式（9）的两边同时除以，并取极限为，同时对的有界性做出一些假设。公式（10）右边的目前不能再简化了。
- ，这里的非完整术语转化是，此时广义维里定理可以写成
进一步表示为
最后表示为
由于和是任意的，被积函数必须为0，
（11）
方程（11）是线性非完整和流变系统（明确依赖于时间）最一般的“功率方程”；如果一些力是，即等于，然后用简单的来代替公式（11）中的，现在代表所有的非有势力。如果系统受到的约束是定常约束，此时有，即，且，此时公式（11）简化为更熟悉的
另一个特殊的结果来自做周期运动的公式（11）：将其各项在的时间间隔内积分，左侧简化为
（12）
因此
（13）
公式（13）的右侧代表系统在和非完整约束下的工作的初始状态。
备注：提醒读者，即使系统各质点的位置矢量是明确与时间相关的，也可以是0，即使是流变完整系统。
3.准（非完整）坐标下的广义维里定理
这里的出发点被认为是著名的“”（或）运动方程[7,16,17]。对于一般的流变学约束，它们是
（14）
其中，“非完整系统的速度参数”（或准速度）被定义为
（15）
“准坐标”仅由它们的非总（即不可积）微分定义
（16）
动能现在是、和的函数，这是通过反转非奇异方程（15）来实现的
(逆，即：)，然后将这些表达式代入，即和基本(）“”几何(非张量）量（及其导数和)，可以表示为
（17）
且
又
（18）
有人注意到，在它们的外部指数中是对称的，即
（19）
在这方面，式(14)中的实际上是术语[18]。接下来，式（15）-式（17）中表示非均匀性和（明确性）的影响与时间相关的，即非定常约束。形式上，这个术语会出现，如果时间是额外的，坐标是（），并使用这些个坐标，除了在应用原则必须明显设置；因此式（14）的第三项可以重写为，但现在。以作者所能，在英语文献中唯一提到这个语言学术语的是参考文献[19]。最后，式（14）中的第二部分可以记为
（20）
即一个“链规则”，就好像是真实的坐标，而是由不变的虚拟工作表达式定义的
即
（21）
同样，；以上结果表明，和在“坐标”和(在空间的“点”)之间起着“方向余弦”的作用。最后，借助非完整广义动量，式（14）可以转换为以下形式
（14.1）
且
（14.2） 式（14.1）可以称为运动方程的“陀螺形式”。有人注意到，方程（14）对于（线性）非完整系统和完整系统都具有相同的形式：(i)在前一种情况下，注意到式（15），一个只需要在时应用式（14），而对于和，一个首先对或进行微分，然后令第一个为0，(ii)而后一种情况对应于。
现在将方程（14）与一组任意（光滑）函数相乘，如前面所述，对求和，调用链规则，重新排列，最后在之间进行积分得到
（22）
同样，我们将检查以下特殊化的等式：
- ：然后等式（22）得到准坐标中的“哈密顿原理”。
由式（22）得
然而，由于交换关系[16]
（23）
其中
第一个和第三个被积函数项结合起来表示为
或者，通过一些虚拟的指数变化，表示为
因此，积分方程可以写成
（24）
现在有
其中
方程（24）的形式看起来
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