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二阶非线性非完整系统的运动方程
PMM 1973年 第37卷 第二期 p349-354
DUO SAN
(河内)
(1972年1月24日收到)
我们推导了具有二阶非线性非完整约束的系统的运动方程。我们选择高斯原理作为基础，根据该原理，实际加速度在系统约束所允许的所有加速度中，保证每一时刻高斯函数的最小值。
- 各种形式的非线性非完整约束系统运动方程
我们考虑由一个质量为构成的质点系统，其位置由广义坐标确定。我们假设该系统被施加了二阶非线性非完整约束，约束方程式为[1]
(1.1)
我们需要应用高斯原理推导出有约束(1.1)系统的运动方程。为此，我们建立了高斯函数
这里是质点的加速度矢量，是一个作用在质点上的给定力，我们将高斯函数展开
， (1.2)
质点的位置由矢量决定，其速度和加速度为
其中是不包含项的集合。因此，
(1.3)
(1.4)
(1.5)
利用各种最小化高斯函数的方法，我们得到了各种形式的(等价的)运动方程。
1.我们构造一个函数
这里式中的是不定乘子，是(1.1)形式的约束方程式，函数关于变量最小化的条件为，因此系统的运动方程可以写成
， (1.6)
这里为广义力，是(1.4)的形式，系统的约束方程式(1.1)代入到方程(1.6)中。
2.我们考虑雅可比矩阵的情况
(1.7)
其中是独立的广义加速度的数量，然后我们可以用表示出
， (1.8)
这里，微分算子只作用于变量(而变量应该被看作是常数)。
函数相对于变量的最小值的条件遵循
考虑到(1.2)，我们得到了这种形式的运动方程
(1.9)
， (1.10)
这里是(1.4)的形式。
3.将(1.8)替换到函数中，我们能得到所考虑系统的运动方程
(1.11)
其中，而和应采用式(1.10)来计算。
4.令
且应满足条件
(1.12)
然后函数的最小化条件可以写成，考虑到(1.5)和关系式
我们能得到该系统的运动方程
(1.13)
其中，而是伪广义坐标所对应的伪广义力。
例：研究带非完整约束的刚体球的运动[1]，矢量的广义进动条件作为非完整约束，有形式[1]
物体的加速度能的形式为
这里和接下来的表达中都舍弃了不包含，，的项。
根据欧拉公式，我们有
我们通过假设，引入了伪加速度，。
那么
，，
这些等式右边不含，的项都被舍弃了。
要注意的是
我们得到了运动方程
因此，我们可以通过一种更简单的途径得到从Tzeacute;noff方程得到的结果[1]。
5.根据等式
(1.14)
其中是系统的动能，是(1.4)的形式，我们可以将式(1.6)写成
(1.15)
6.考虑到关系式(1.14)，方程(1.9)可以被表示为
(1.16)
这里。
的例子(见[2，3])。考虑到[3]中的注释，我们可以写出动能和势能的表达式以及约束方程 ，
因此
经过简单的处理，我们从式(1.16)中得到
所得到的方程与[3]中建立的方程一致。
7.我们利用关系式
然后我们从(1.13)得到了
(1.17)
这里
例：我们研究一个质点在牛顿引力中心场中的运动。这个点的速度的绝对值是一个常数。通过考虑以引力中心为原点的球坐标，，的运动，我们将约束的形式表示为
(1.18)
这个方程式也可以被写为
其中未写出不含，，的项。
我们通过假设，，引入了伪加速度，。那么
其中不含，的项都被舍弃了。通过简单的处理，由方程(1.17)我们得到
这些方程与约束方程(1.18)使我们能找到所需未知数。如果我们消去了因子，则得到的方程具有与[3]中完全相同的形式。
注意，所写的方程显然也适用于具有完整约束、线性非完整约束和一阶非线性非完整约束的系统，方程(1.16)(1.17)简化了建立运动方程的计算。如果将广义速度线性引入约束方程中，则这些方程符合Magie方程[1，2]。
- 二阶非线性非完整约束的Nielsen方程
利用关系式
，，
很容易证明这个等式
，， (2.1)
这里的是(1.4)的形式。该系统的运动方程有以下几种形式：
(2.2)
让我们考虑一个具有一阶的非完整约束系统的运动方程
(2.3)
方程(2.3)可以被写成
(2.4)
其中未写出不包含的项，由(2.4)可以满足关系式，因此(2.2)中的第一个方程变成了
(2.5)
最后，如果对系统施加完整约束，那么在(2.5)中，方程式(2.5)与[1]中的结果一致。
- 第二类Tzeacute;noff方程
我们可以看出
(3.1)
其中是一个不包含这些点的加速度一阶导数的项的集合。因为
，
我们由(3.1)得到了
，
这里是不包含的项式的集合。现在系统的运动方程有以下三种形式：
，
最后一个方程与[1]中给出的方程一致。
参考文献
1. Dobronravov.V.V., Fundamentals of the Mechanics of Nonholonomic Systems. Moscow, “Vysshaia Shkola”, 1971.
2. Neimark, Iu.I. and Fufaev, N.A. , Dynamics of Nonholonomic Systems. Moscow, “Nauka”, 1967.
3. Novoselov, V. S., Variational Methods in Mechanics. Moscow, Izd. Mosk. Gos. Univ. , 1966.
N.H.C.译
任意耦合力学系统的高斯原理和运动方程
Do Shan
用Mangeron-Deleanu原理建立任意耦合的运动方程。在本文中，高斯原理被推广到具有任意耦合的系统的运动方程中，作为[2]的进一步发展；这样，运动方程就呈现出简单的形式，并且可以用于非完整系统。通过它们的帮助，可以得到[5]中所找到的方程。
- 任意耦合力学系统的运动方程
假设对由广义坐标确定的系统施加阶非完整理想耦合，该耦合为
， (1.1)
其中
。
我们建立了广义高斯函数
，
其中是高斯函数。
现在已经建立了一个广义高斯原理。真实加速度的阶导数保证了广义高斯函数在系统耦合所允许的所有可能加速度的阶导数范围内的任何时候保持常数。
有等式[2]，
。 (1.2)
在上述中；是系统的加速度能；是不包含加速度阶导数的项的集合。
通过应用[2]中的方法，高阶非线性耦合系统的运动方程可写成如下形式：
第一种形式
， (1.3)
其中系统的加速度能量和广义力由公式给出
(1.4)
； (1.5)
是不定乘子。
在式(1.3)的推导中使用了下列恒等式：
。
第二种形式现在考虑下列情况：
。 (1.6)
现在我们用独立的来表示
； (1.7)
， (1.8)
微分算子只作用于变量(而变量应该被看作是常数)，
。
所考虑的系统的运动方程现在采用这种形式
。 (1.9)
式中由(1.4)给出且
；。 (1.10)
第三种形式通过将(1.7)代入函数并利用关系式
，
我们得到了给定系统的运动方程
。
第四种形式现在引入
附加条件是
，
其中是广义伪坐标。
那么变量可以用表示，即，
，
而现在运动方程采用了这样的形式
， (1.11)
其中，。
值得注意的是，在的情况下，得到了类似于[2]中的方程。
对于具有完整耦合的系统，证明了以下引理。
引理假设存在一个函数。为了简单起见，我们假设变量是独立的。那么
， (1.12)
因为
，
其中未表示的项不包含。
如果完整系统的变量是独立的，那么根据引理意味着。因此，对于一个具有完整耦合的系统可以得到所有的运动方程。
所得方程可直接应用于具有线性非完整耦合或非线性一阶非完整耦合的系统。
现在给出了一个Mangeron-Deleanu方程的推导[5]。下列等式得到证明：
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