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几何非线性船舶推进轴系的强迫振动（主共振和内共振）
摘要
本文对船舶推进轴系的纵向主共振进行了研究，特别考虑了内共振情况（第一纵向固有频率近似等于第一横向前向和后向频率之和）。利用Ritz法和Lagrange方程建立了船舶推进轴系的纵横向耦合动力学方程。然后用多尺度法求解这些方程。分析了系统的稳态响应和稳定性。研究表明，当纵向激励载荷大于某一临界载荷时，可以激发出第一横向前向和后向模态。纵向运动中存在饱和现象，多余的能量被转移到横向模态。前向模和后向模之间的能量分布比与其频率比成反比。最后讨论了阻尼比和频率失谐参数对临界载荷的影响。数值模拟验证了摄动法的结果。
关键词：船舶推进轴系 几何非线性 多尺度 主共振 内共振
1.简述
推进轴系是船舶部件的重要组成部分。推进轴系的动力分析是船舶设计工程师的重要工作。推进轴系统可视为典型的转子-轴承系统。早期，旋转轴的动力学研究主要集中在线性振动上，包括固有频率的预测、不平衡响应的计算等[1][2][3]。对于某些结构，当振动响应不大时，线性动力分析模型就足够了。然而，当振动的振幅或发散度足够大时，线性理论不再有效，人们不得不求助于非线性模型。大多数情况下，非线性是由应变和位移之间的非线性关系产生的几何非线性。对于推进轴，螺旋桨（质量可达几十吨）非常大，由于加工精度或磨损，其偏心率不可避免。因此，它在旋转时会受到巨大的不平衡激励。同时，它在纵向上也承受着非常大的流体脉冲压力。因此，振动幅值很大，横向和纵向的非线性耦合比较容易。因此，研究非线性动力响应具有重要意义。最近有关梁或轴的非线性振动的文献相当多。根据所考虑的模型，这些研究主要可分为三大类[4]。
第一类只考虑转子的横向运动，忽略了转子的纵向位移。例如，Rizwan[5]建立了考虑弯曲高阶变形的数学模型，分析了转子的非线性动力学。Ishida及其同事在几篇论文中考虑了Jeffcott转子的非线性振动特征用坐标的第二和第三次幂项近似。他们研究了恢复力中具有二次非线性的转轴的非线性强迫振动[6]。此外，他们还研究了前向和后向旋转模式1/2阶次谐波振荡临界速度下的卷吸现象[7]。本文研究了一类非线性旋转轴系的非平稳振动[8]和内共振[9] [10]，其前向固有频率和后向固有频率满足1:-1的内共振关系。在第二类中，考虑了纵向和横向位移，得到了耦合的偏微分运动方程。然后，假设纵向位移是横向位移的函数，忽略纵向惯性或进行拉伸或拉伸假设[11]。为了降低自由度，将最终的耦合偏微分方程组转化为积分偏微分方程组，并将此函数关系代入横向方程组。关于这一主题的大多数研究可以分为第二类。例如，Dwivedy[12]研究了一个带有集中质量的细长梁的非线性动力学。这些分析包括主参数共振、组合共振和内共振。Nayfeh[13]研究了考虑三对一和一对一内共振的固定屈曲梁的非线性正规模。Emam分析了屈曲梁对1:1和3:1内共振[14]和次谐波共振[15]的非线性响应。Barari[16]用变分迭代法和参数摄动法研究了Euler-Bernoulli梁在轴向荷载作用下的非线性振动。上述分析与平面梁结构有关。对于旋转轴，也有一些研究。Ishida讨论了具有几何非线性的垂直连续转子由于转子中心线的延长而产生的强迫振动[17]。Khadem及其同事在非线性转轴方面取得了突出的成就。他们讨论了具有拉伸非线性的非对称旋转轴的主共振和参数共振[18]以及具有拉伸非线性的旋转轴的主共振[19]。本文还用谐波平衡法研究了简支转轴的双模组合共振[20]。侯赛尼和同事也在这方面做了很多工作。他们分析了具有曲率和惯性非线性和拉伸非线性的转轴的自由振动。他们研究了具有拉伸非线性的转轴的主共振[21]。此外，他们还研究了具有内阻尼的非线性拉伸转轴的动力稳定性和分岔[22]，并用中心流形方法研究了具有内阻尼的非平衡转轴的动力响应。Luczko[23]研究了具有内共振和自激振动的转轴的动态响应。长崎[24]讨论了具有几何非线性的连续非对称转子的主、次临界转速附近的强迫振动。
第三类考虑了纵向和横向位移，得到了相应的运动方程。在这一类中，两个耦合的偏微分方程在没有附加假设的情况下一起求解。例如，Han[25] [26]在考虑纵向惯性的情况下，采用有限差分法研究了考虑横向和轴向耦合运动的柔性塔的自由振动和强迫响应。Ghayesh[27]研究了轴向运动梁的纵向-横向耦合动力学，在前两个横向模态之间有或没有三对一的内部共振。他研究了轴向运动梁[28]和Timoshenko梁[29]中间弹簧支撑的非线性振动和稳定性。他分析了轴向加速光束的非线性动力学[30]。本文分析了具有面内和面外横模一对一内共振的微梁的面内和面外运动特性[31]。这些分析都与梁有关，关于三类转轴非线性振动的文献很少。
综上所述，对非线性梁或转轴振动的一些研究是基于in-extensional假设的。它可能是合理的，因为没有外部载荷沿纵向作用。一些研究是建立在纵向惯性很小，u=o（w2）的简化基础上的。对于没有圆盘的细长简支转子（梁），由于第一纵向频率比第一横向频率大得多，这可能是合理的[32]。对于推进轴系，由于螺旋桨质量的存在，纵向惯性不可忽略，第一频率可以是一种伸缩模态。因此，纵向惯性和恢复力可能是相同的顺序，并遵循u=o（w）。因此，本文首次对船舶推进轴系的纵向主共振进行了研究，特别是考虑了纵向和横向之间的内部共振。对于某些轴，第一纵向固有频率可能等于第一横向前向和后向频率之和（omega;uasymp;omega;f omega;b），因此，由于内部共振，纵向和横向模态可能相互作用。由于船舶推进轴系的拉伸非线性，建立了船舶推进轴系的纵向-横向耦合动力学模型。假设轴由一些线性弹性弹簧支撑，一端有集中质量。包括转动惯量和陀螺效应，但忽略剪切变形。采用Ritz法和Lagrange方程推导了纵、横向耦合动力方程。然后用多尺度法求解含陀螺项的方程组。分析了系统的稳态响应和稳定性。讨论了阻尼比和频率失谐参数对内共振的影响。数值模拟验证了摄动法的结果。
2.数学模型
大多数船舶推进轴系的主要结构相似。典型船舶螺旋桨轴系的示意图如图1所示。它由轴、螺旋桨、后尾轴承、前尾轴承、中间轴承和推力轴承组成。由于轴通过一个刚度小的挠性联轴节与电机连接，因此轴和电机可以分离。假定轴为均匀截面梁；螺旋桨为集中质量；轴承为线性弹簧。基于这些假设，推进轴系简化如图2所示。
采用以下假设：（1）轴具有均匀的圆形截面；（2）轴绕x轴以恒定的角速度Omega;旋转；（3）不考虑重力；（4）采用Euler-Bernoulli梁理论，即不存在横向剪切应变；（5） 考虑转动惯量和陀螺效应；（6）粘胶阻尼是唯一的耗散机制。
2.1位移，应变和应力
图3表示未变形和变形的转轴。考虑变形前具有坐标（x，y，z）的横截面的任意点P，并用变形后的r表示其位移矢量。同样，我们用r0表示原点O的位移矢量，它与位移（u，v，w）b有关
其中u，v和w是x和t的函数，分别是质心轨迹x，y和z方向上的挠度，ix，iy，i分别是x，y，z轴方向上的单位矢量
利用Bernoulli-Euler假设，我们将r和r0as之间的关系写成：
其中质数表示关于x的导数，所以向量r在x，y，z轴方向上的投影是
然后由Von Karman应变位移关系：
利用公式（3）给定的假定位移场，由Von Karman 应变得
忽略泊松效应的第二基尔霍夫应力
其中E是弹性模量
2.2运动方程
势能由两部分组成：轴的应变能和四个支承弹簧的势能。应变能的一般表达式如下
其中v0是未变形轴的体积。将方程式（5） （6）代入式（7）得
其中A和L是轴的横截面积和长度。积分到面积上，y和z的奇数函数项由于对称截面而消失，y2，z2表示关于中性轴的面积惯性矩。剩下的只是x和t的函数，即
支承弹簧中储存的势能由
其中k1、k2、k3、kt分别为后艉轴承、前艉轴承、中间轴承和止推轴承的动刚度（包括轴颈轴承膜刚度和壳体刚度），xjare为各支座的轴向坐标。因此，我们可以把势能写成：
其中delta;（x）是狄拉克函数。同样，动能有两部分：轴的动能和集中质量的动能。动能由
其中，点表示法用于对时间的导数，Ipis为极惯性矩，Omega;为轴的角速度。M1、Jd1、jp1分别为螺旋桨的质量、径向质量惯性矩和极向质量惯性矩。由于螺旋桨桨叶几何形状的旋转对称性和压力分布的旋转对称性，只有桨叶数的倍数的谐波才能导致传递到轴上的推力不抵消[39,40]，其他谐波会相互抵消。这些不可抵消的谐波也被称为叶片频率负载。因此，我们将研究限制在第一个叶片频率负载下的纵向主共振激发的情况。因此，为了简化分析，我们假设其他荷载为零。第一个叶片频率力所做的功由
其中F和alpha;是由第一个叶片频率引起的谐波激励力的振幅和相位。7Omega;是螺旋桨的第一个叶片频率（假设螺旋桨有七个叶片）。然后利用Ritz方法和Lagrange方程推导出运动方程。用振型函数作为基函数。可以假设每个方向只有一个模式被激发，并且这些模式不与其他模式发生内部共振。可以假设
拉格朗日方程指出
将式（14）代入式。（11） 将所得结果代入式（15），保留第一修正项，忽略较高的非线性项（纵
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