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薄圆柱壳
这篇文章限于薄圆柱壳的研究，不包括初始应力、各向异性、厚度变化、剪切变形、转动惯量、大的缺陷、不均匀性或周围介质的影响。这些复杂的影响会在第三章中研究（因为它们适用于圆柱形壳）。
然而，仍需要做的材料的组织中还有很大的复杂性。薄壳的的标准或古典理论是由八个微分方程定理体系支配，正如在第一章看到的，它有很多的形式，取决于做的假设。对于一些问题，简化假设导致四阶方程不可拓展或可以拓展理论能被证明。圆柱壳可以被打开或关闭，边界约束条件有多种形式。几个物理参数是各种各样的，包括（1）圆周波纹数量（2）厚度半径比（3）长度半径比（4）泊松比
控制运动的微分方程又是被简化为忽略切向惯性或忽略其他在方程式中各种正当理由的条件。控制方程的解由几种近似方法中的一种得到。最后，实验结果和经常可以和理论相比较。
在这一章的第一节中，在第一章中的到的薄壳方程式可以在环形圆壳范围内表达，对应的运动方程式将会被合成。这一章剩余的部分是用来报告振动结果的。由于其相对的数学简单性，首先讨论了壳无限长的情况。
随后给出了有限长度的闭合和椭圆形薄圆形圆柱壳的结果。 到目前为止，大多数可用的结果都是封闭壳的，尽管在某些情况下封闭壳的结果也可以用开放壳的术语来解释。 开壳可以是浅的也可以是深的。 尽管对于封闭的圆柱壳，可能存在136种“简单”边界条件的组合，但是当两端都由剪切膜片支撑时，大多数结果可用于这些原因中的单个原因。两种类型的边界条件不是轴对称的，但具有实用价值没有报告的结果。他们是（1）点支撑。（2）沿单个边沿不连续的边界条件；例如，边界的一部分可以被固定，而其余部分没有。
此外，当问题的自然圆柱坐标与边界不兼容时，对于圆柱壳几乎没有影响，例如在具有非圆形边缘或切口的封闭壳的情况下。
2.1 运动方程
如图2.1所示，要使用的外壳坐标为x和theta;。 此外，将长度坐标x替换为由s = x / R定义的无量纲长度s，其中R是圆柱半径。按照第1.7节中概述的程序，使用表1.1至1.5中的以下参数来合成圆柱壳情况下的运动方程：
alpha;=s, beta;=theta;
A=R, B=R
Ralpha;=infin;，Rbeta;=R
圆柱薄壳的运动方程可以用矩阵形式表示为{￡} {ui}={0}
其中{ui}是位移
u，v和w分别是x，theta;和径向上位移的正交分量，并且{￡}是矩阵微分算子。
2.1.1 八阶方程
通常使用不同的八阶方程组来建模圆柱壳的振动行为。 在这种情况下，公式（2.3）中的{￡}运算符可以视为两个运算符的总和。 即{￡}={￡D-M} k{￡MOD},其中{￡D-M}是根据Donnell-Mushtari理论的微分算子，{￡MOD}是“修改”算子，它更改了Donnell-Mushtari算子以产生另一个壳理论，并且k是由k=h2/12R2定义的无量纲厚度参数。
因此，每个圆柱圆柱壳的八阶壳理论与Donnell-Mushtari理论的不同之处在于，运算符{￡MOD}与常数k相乘，k对于h /R的比来说很小。
Donnell-Mushtari运算采用以下形式
同样，各种圆柱壳理论的修正公式采用以下形式。
对于各种外壳理论，修饰运算符在某些方面很简单，而在其他方面很简单。此外，它们中的几个被认为是不对称的，这在壳理论的文献中引起了很多批评（参见参考文献2.1和2.2）。 运动的非对称方程可以产生虚的振动频率。
由微分算子求出的壳理论在某些方面是第一章中针对任意壳的理论的专业化，在其他方面，它们是专门为圆柱壳开发的。 第一章推导了Donnell-MIushtari，Love-Timoshenko，Golden-veizer-Novozhilov，Fluuml;gge-Lurye-Byrne，Reiss-ner-Naghdi-Berry，Sanders和VIasov的理论。
Arnold和Warburton（参考文献2.3和2.4）通过使用具有适当应变能和动能表达式的Lagrange方程，推导了他们广泛使用的圆柱壳运动方程。 尽管它们以Timoshenko应变位移方程式开始，但是在厚度上积分时做出的主要假设产生了GoIden-veizer和Novozhilov方程。 文献中已经指出了这种等效性。
Houghton和Johns（参考文献2.5）提出了一组圆柱壳的基本问题的简化简化方程组，这些方程是通过在Goldenveizer-Novozhilov方程中忽略k相对于整体而获得的，该过程也由Bijlaard（ 参考2.6）关于Timoshenko-Love方程。 Epstein（参考文献2.7）通过对应力和位移的扩展（相对于厚度坐标z而言），从弹性的三维理论中得出了壳理论的一般公式。 Kennard随后重新公式化了这些方程，并将其专用于圆柱壳（参考2.8至2.11）。
如第1章所述，除那里衍生的理论外，还有许多其他关于具有任意曲率的薄壳的理论。 此外，还有一些专门针对圆柱壳而衍生的理论，本章将不予解释，例如，Coupry的理论（参考2.12和2.13），Morley（参考2.14），Herrmann和Armenakas（参考2.15和2.16），Yu（参考2.17），Galerkin（参考2.18和2.19，第295页），Miller（参考2.20），Simmonds（参考2.21）和Mugnier和Schroeter（参考2.22）。
通过将适当的应变位移方程式代入方程（1.85），并在厚度上积分，可以得到圆柱壳的应变能。 总应变能可以写成
其中ID-M是根据Donnell-Mushtari理论的壳的应变能的整数，由下式给出
并且IMOD是取决于外壳的理论的“改性积”而不同。修改积其适合于这里所考虑的壳理论的一些例子如下。
还要注意的是，方程（2.11）和（2.12）给出的应变能积分与这些理论中本节前面给出的运动方程一致。 一致性要求运动方程可以通过变分过程从能量原理中导出。
例如，可以调用的一种变分原理是汉密尔顿原理，可以写成
也就是说，动能和势能之差的给定时间限制之间的时间间隔变化必须消失。壳的动能为
代入公式（2.10），（2.11），（2。12）和（2.14），可以看出公式（2.13）可以写成
函数u，hellip;hellip; ，а2omega; / аtheta;2是s，theta;和t的函数。 在变化的演算中，满足方程（2. 15）的条件是Euler-Lagrange方程，由
其中，例如аzeta;/аus表示功能5相对于功能аu /аs的偏导数。
结合公式（2.16）和公式（2.11）和公式（2.12）给出的各种应变能函数，可以得出公式（2.7）和公式（2.9）确定的运动公式。
由于运动方程不是对称的，因此无法找到与方程（2.9）中包含的其他理论一致的应变能被积。
给定不等式（2.10）的总应变能积分可以表示为两个部分的总和：一个部分是由于拉伸（膜）而另一部分是由于增加了弯曲刚度； 即
Ibending是方程式（2.10）的被乘数的那些项的总和，这些项包含h，从方程式（2.11）和（2.12）中获得。
2.1.2扩展（膜）方程
圆柱壳的扩展理论或膜理论具有广泛的历史，包括Rayleigh（参考文献2.23和2.24）和Love（参考文献2.25和2.26）的早期著作。 在使用该理论时，假设壳体的弯曲刚度在每个点都是可以忽略的。 因此，通过在方程（2.5）和（2.7）中设置k = 0可以得出运动的扩展方程。得到
该微分方程组是s和theta;的四阶。方程（2.18）中给出的应变能积分与这些方程一致。
2.2无限长的外壳
首先考虑无限长的封闭圆柱壳，其位移形式为
其中A，B，C和lambda;是不确定的常数，n是闭合壳的整数，omega;是每秒弧度的自由振动频率（如果质量密度rho;以涉及秒的单位表示）。 通过将omega;除以2pi;可获得循环频率（cps）。 等式（2.20）中采用的解决方案形式假设时间和空间变量是可分离的，从而产生执行简单谐波运动的正常模式，运动的周期和相位对于壳上的所有点均相同。 等式（2.20）中使用的周期函数theta;保证位移是周期性的（例如，omega;（s，theta;）= omega;（s，0 2pi;））并且是连续的（例如，omega;（s，pi;）= omega;（s，-pi;））。
使用方程式（2.7）和（2.9）给出的任何形式的八阶壳层理论将方程式（2.20）代入方程式（2.1）和（2.3），可以很容易地看出，每个方程项的微分数 运动方程式使得每个运动方程式允许每个方程式中包含s，theta;和t的项的事实化。对于所有独立变化的s，theta;和t值，必须满足运动方程。这导致了一组齐次方程，例如对于Donnell-Mushtari理论，可以按照方程（2.21）中的矩阵形式来编写;对于非平凡解，方程（2.21）中的系数矩阵的行列式为 设置为零，将产生以下两个特征值问题之一：
（1）对于给定的l，存在一个或多个频率参数rho;（1- v2）R2omega;2/ E的合适值，使得行列式消失，或者
（2）对于给定的频率omega;，存在一个或多个lambda;的合适值，使得行列式消失。
当然，由于s = x / R，所以如果选择lambda;作为pi;R / l，则x方向上位移函数的半波长为l，并且可以找到与给定波长相对应的自由振动频率。
从第2.3节中可以看出，如方程式（2.20）中所选择的位移函数也完全满足有限长度壳的自由支撑或剪切横摆的端部条件。 因此，无限长的圆柱壳以一种模式振动，使得在x方向上的半波长为l，对应于长度为l的有限壳，它具有一组特定的终止条件。
利用平面应变的概念，可以得到一个无限长的圆柱壳的简单数学模型。 必要的假设是，在壳体长度方向上没有运动，并且物理量（位移，膜力，弯曲力矩等）不取决于沿长度方向的定位。 因此，平面应变的情况需要
u=0, v=v(theta;), omega;=omega;(theta;) ,
它将壳体运动的特性从二维变为一维（仅使用theta;进行验证），并大大简化了分析过程。 例如，在方程式（2.22）的假设下，方程式（2.1），（2.3），（2.7）和（2.9d）给出的Fluuml;gge运动方程式简化为（参考文献2.27至2.29）
对于特解，将公式（2.2。）中的系数矩阵的行列式设置为零可得出根
如Rcismann所示（参考文献2.27和2.28）。n= 0的根Omega;2= 0对应于壳体的刚体扭转旋转。
现在考虑当x（和s）方向上的波长无限长时的情况下，方程（2.20）中给出的解函数。 解决方案函数可以表示为
以Donnell-Mushtatri理论为例，将等式（2.28）代入运动方程，得出了一组齐次方程，也可以通过将方程中的极限取为l趋近于oo（即lambda; -0）来得出 （2.21）；也就是说，
从方程（2.29）可以看出，运动解耦，给出了纯轴向（或纵向）运动，其特征在于频率参数
并且，由于v和omega;位移现在与u解除了耦合，给定n的其他两个模式与本节前面讨论的平面应变模式相同。 在Donnell-Mushtari理论的情况下，找到由方程（2.29）引起的未耦合二阶行列式的根，可以得出
可以与方程（2.27）中给出的Fluuml;gge运动方程中的相应平面应变频率进行比较。
其余理论（方程（2.9））的运动方程中矩阵算子中的非对角项￡12，￡21，￡13和￡31也为零或包含关于s的导数（给定lambda;）在每个术语中，对于每种理论，无限长的圆柱壳都会发生相同的解耦。表2.1列出了每种理论的三个根Omega;2的最终频率公式。 在推导表2.1中包含k2的项的频率公式时被忽略了。
在表2.1中，分别列出了“ Biezeno和Girammel壳理论”。 它实际上与Fluuml;gge的相同，但它们的频率等式（参考2.30）和Fluuml;gge的等式（参考2.31）之间存在细微的差异。 在他们的工作中，扩展频率分隔符时只删除包含k2的术语，而Fluuml;gge在单位方面也忽略了k，从而删除其他术语。
有趣的是，在表2.1中，只有在表2.1中在最低频率振荡2模型n=1的情况下才能产生周向振动模式的零频率（对应于横向刚体平移）时，才有膜，Biezeno-Grammel和Vlasov公式。另一方面，Vlasov，Epstein-Kennard和Kennard Simplified公式对于n= 0的扭转模式不会产生应有的零频率。
在表2.2和表2.3中，分别根据r / h = 20和500以及n = 0、1、2、3、4的各种理论，给出了无穷壳和v = 0.3的频率参数。表2.1是表2.2和2.3的基础。仅径向和周向频率参数Omega;<s
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