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9
梁的振动
9.1 介绍
9.2.1固体力学基础
9.2.2势能，动能，做功
9.2.3推广哈密顿原理，推导运动方程
9.2.4梁方程为一般情况
自由振荡:固有频率和振型
9.3.1 介绍
9.3.2模态的固有频率、振型和正交性
9.3.3边界条件的影响
9.3.4附加内部质量、弹簧和单自由度系统的
9.3.5梁的刚度和惯性效应
9.3.6轴力和弹性地基的作用
9.3.7锥形束
9.4 强迫震荡
9.5 总结
9.1介绍
在第3至8章中，讨论了有限自由度系统的振动。如2.5节所述，具有分布惯性和刚度特性的元件，如梁，被用来模拟许多物理系统，如2.5.4节的滑雪板、2.5.5节的工件-刀具系统和2.5.2节的MEMS加速度计。如前所述，分布参数系统，也称为空间连续系统，具有无限个自由度。除了梁，在振动模型中可以使用的分布式系统还包括弦、电缆、承受轴向振动的杆、承受扭转振动的膜、板和壳，除了最后提到的三个系统外，至于其他系统的秒速都需要一个空间坐标。控制振动系统的有限自由度的运动方程是常微分方程，这些方程的形式是初值问题。相比之下,掌管分布参数系统的运动方程是偏微分方程的形式、边界条件和初始条件,确定解决方案的振动响应的分布参数系统并重新使用其他的数学技术。然而，诸如固有频率、模态形状、模态的正交性、模态的标准模态解法等概念，却可以应用到无限自由度的系统中去。一个无限自由度的系统有一个无穷大的自然频率，它与每一个频率的自由振动相联系。
在这一章中，对梁的自由振动和强迫振动作了详细的讨论。杆、轴和弦的振动在附录G中进行了处理。如2.5节中不同的例子所示，许多物理系统的振动模型需要使用梁单元。除了这些例子外，梁单元用于物理系统建模的其他例子还包括旋 转机械、船体、飞机机翼、车辆和铁路桥梁的模型。涡轮中的螺旋桨叶片和直升机的旋翼叶片采用梁单元建模。
由于梁的振动特性对这些不同的系统具有实际意义，本章的重点将放在梁的振动上。
在上面提到的每一个应用程序中，以及在许多其他应用程序中，梁是由动态变化的力作用的。根据这些力的频率内容，这些力有可能以一个或多个固有频率激发梁。设计工程师的一个常见要求是:使结构对所施加的动载荷响应最小，从而使大位移振幅、高应力和结构疲劳减到最小，并降低磨损和辐射噪声。
利用弹性梁力学和哈密顿原理，得到了梁的运动控制方程。对无强迫和无阻尼梁的自由振动进行了处理，研究了影响固有频率和振型的各种因素。这一检查包括处理惯性元件和弹簧附着在中间位置和梁几何变化。前几章中使用的模型的局限性也在系统的上下文中被指出，在这些系统中，一个灵活的结构支持一个或两个一个或两个自由度的系统。本文还介绍了用常模方法确定梁的受迫响应的方法。
在本章中，我们将说明如何
bull;确定等截面伯努利-欧拉梁在大范围边界条件下的固有频率和振型。
bull;确定振型正交于给定质量和刚度分布的条件
bull;确定具有附加局部刚度和惯性元件的伯努利-欧拉梁的固有频率和振型。
bull;确定变截面伯努利-欧拉梁的固有频率和振型。
bull;确定伯努利-欧拉梁的初始位移、初始速度和外力的响应。
9.2
控制运动方程
在这一节中，我们说明了在任意加载条件和边界条件下，弹性梁的小横向振动控制方程是如何得到的。图9.1所示为变形结构中的梁单元。x轴沿着梁的跨度，y轴和z轴沿着横向方向到x轴。M的端部矩沿j方向作用，假设梁的位移限于x-z平面。位移w(x,t)为梁上某一位置的横向位移。
运动控制方程的推导基于广义哈密顿原理。要运用这个原理，首先需要确定系统的势能，系统的动能，以及对系统做的功。为了确定系统动能，每个长度为x的元素被当作刚体处理，为了确定系统势能，梁材料中的应力-应变关系被使用。为此，在9.2.1节中介绍了固体力学的初步知识，然后在9.2.2节中得到了动能、势能和功的表达式。
9.2.1固体力学基础
在图9.1中可以看出，朝向曲率中心的波束面将会收缩，而朝向曲率中心的波束面将会扩张;也就是说，AA面将延长，而BB面将缩短。通过梁横截面中心的直线称为
图9.1
受端弯矩作用的梁的变形。
j
i
k
A
a
中心线(中性轴)
R
z
theta; ABz j k i Center line (Neutral axis) w(x, t) s so –z A B M x R
中央线。在这里，假定沿中心线的纤维轴向应变为零。因此，这条中心线就是中性轴。假定梁的变形用伯努利-欧拉梁理论来描述，伯努利-欧拉梁理论适用于长度与回转半径之比大于10的薄弹性梁。1 根据这一理论，假定中性轴保持不变，与中性轴垂直的梁的平面截面保持平面，与变形的中心线垂直，BA等横向法线沿法线方向应变为零。对于距离中性轴z方向的纤维，如图9.1所示，沿梁的长度所经历的应变为
(9.1)
其中R是曲率半径，△S0是沿中性轴的纤维长度，△s是距离中性轴z的纤维长度，我们用几何来写。
△s= (R-z)△theta; △S0=R△theta;
根据胡克定律，作用在纤维上的轴向应力s为
(9.3)
其中E为材料的杨氏模量。根据图9所示的约定。l为正位移w，方向为单位向量k，因此，中性轴以上的纤维为正s，表示张力，中性轴以下的纤维为负s，表示压缩。
在梁的内部部分，一个关于y轴的力矩平衡通向
(9.4)
其中y和y是沿y方向积分所对应的空间极限，我们使用了式(9.3)，和1 2
(9.5)
量I表示通过形心的梁截面关于y轴的面积惯性矩。一般来说，方程(9.5)中二重积分的极限不必是常数;也就是a =a(x), b =b (x), y 1= y 1(x),和y 2= y 2(x)。在这种情况下，面积的转动惯量
沿长度变化，因此，一般来说，I =I(x)。曲率kappa;对于向下的凹曲率，1/R是正的
0 x
(9.6)
假设斜率很小，即|sigma;w/sigma;x | lt;lt;1，其中part;w/part;x是x点中性轴的斜率，那么Eq.(9.6)简化为
将式(9.7)代入Eq。(9.1)(9.4)得
(9.7)
(9.8)
因此，应变和弯矩的大小与梁位移的二次空间导数成正比。弯矩与梁位移的二次空间导数成线性比例的表述是伯努利-欧拉定律，它是线性弹性薄板理论的基础。
式(9.8)仅考虑弯矩对梁两端的影响。此外，如果存在横向荷载f (x,t)，则梁内存在抵抗该力的垂直剪力。在图9.2中，若沿j方向取点o的力矩之和，且忽略梁单元的转动惯量，则结果为
导致
△x→0时,剪切力增量△V→0,我们就得到
(9.9)
1彭德培，《固体工程力学》，中国机械工业出版社，1999年版
图9.2
梁单元在横向荷载作用下的变形。
o
V
z
j
△x
在利用(9.8)式后，就得到
（9.9）
因此，剪切力等于沿x轴的弯矩的变化。因此，如果M(x)沿x是常数，那么V =0.
9.2.2势能，动能，做功
我们构造了系统势能，系统动能，并确定了外力做的功，在第9.2.4节中进一步使用。
势能
变形梁的势能有多种来源，包括应变能。对于受弯曲轴向应变的梁，如果应变能是系统势能的唯一贡献，则梁的势能为2
(9.10)
我们用过的方程。(9.1)、(9.3)和(9.7)。3
动能
假设梁的平动动能是对系统动能的唯一贡献，可以把它写成
(9.11)
当A=A(x)为梁的横截面积，r =r(x)是梁材料的质量密度。如果还考虑梁单元的转动惯量，则需在式(9.11)中加入一个与转动动能相对应的附加项，如式(1.23)所述
2参见，例如，索科洛尼科夫，弹性数学理论，麦克劳希尔，纽约，第1-3章(1956)。
3由于符号V用于表示剪力，符号U用于表示势能，这与前面几章中使用的符号不同。
做功
单位长度上施加的横向保守载荷f(x,t)所做的功为c
(9.12)
如果重力是作用在梁上的唯一分布的保守载荷，则
图9.3
在弹性地基上受轴向拉伸载荷作用的梁单元。
(9.12 b)
如果梁也受到轴向拉伸力(x,t)的作用，如图9.3所示，那么中心线的长度不再保持不变，而是延伸到一个新的长度。4 假设变形的大小很小，且不影响加载p(x,t)，则梁单元长度的变化量为(△s- △x)则此时5
(9.13)
因此，轴力对外做功为6
(9.14)
式(9.13)。由于拉力作用于梁的横向位移w，所以所做的功是负的。如果轴向力为压缩力，则将p(x,t)替换为△p(x,t)
轴向载荷在旋转叶片、流动管束和结构柱中很常见。
注意，从几何中，我们得到
导致
对于小的斜率，也就是|△w/△x|lt;lt;1这就导致了
或者说
6为了构造这个积分，我们注意到对一个线段做的功是-p(x,t)(△s-△ x)，lim △x→0被认为,在这个极限中,△ x被dx替代
最后，我们考虑梁所在的线性弹性地基，如图9.3所示。7 梁的横向位移在地基上产生一个力，其大小为f f (x,t) =k f w(x,t)，其中k f 为基础单位长度弹簧常数。 这个弹簧力与梁的运动相反。弹性地基对外做功为
W（t）=-1/2 f(x,t)dx
2
L
0
kf w21x,t2dx
1
2
L
0
kf w21x,t2dx
再次，我们引入了一个负号来说明作用在梁上的地基力与梁的位移是相反的。
系统的拉格朗日
为了构造拉格朗日函数，我们从表达式中构造了函数
(9.16)
0
同时
(9.17)
我们已经介绍了紧凑表示法
（9.18）
在方程式(9.18)中， 分别表示波束速度、波束斜率、波束角速度和波束曲率。在式(9.17)中，W(t)是保守力所做的功，它是假设外载荷f(x,t)所做的功是保守的，而 轴向载荷p(x,t)所做的功是保守的。cf cp8
在收集了Eqs给出的空间积分后。(9.10),(9.11),(9.12)、(9.14),(9.15)和U (t), t (t), W (t), W (t)和W (t)分别,我们发现从式子(9.16)
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