第六章 单个液体燃料液滴的气态扩散火焰和燃烧
符号 符号释义 符号单位
液滴加速度
等式（6-108）中一个无量纲的参数
等式（6-116）（6-129）（6-147a-c）中的斯伯丁转化系数
等式（6-161）中的邦德数
组分的逸度
燃料液滴在每单位区域的燃烧速度 热对流传递系数
以质量计量的恒定喷射速率
以能量计量的恒定喷射速率
以动量计量的恒定喷射速率
第一类贝塞尔函数的阶形式
第一类贝塞尔函数的阶形式
第一类贝塞尔函数的阶形式
在球形对称状态下的液滴蒸发速率
基于粒子半径的努塞尔数
当所在点速率为中心线速率的一半时，该点的半径值
在喷射边界的半径值
在喷射边界的损失速率
韦伯数，见于等式（6-160）
火焰高度
压缩因子
每一份反应混合物中第种物质的摩尔数，见于等式（6-12）
与类似的因数，数值由每份反应混合物中第种物质的摩尔数计算而来
定义于shvab-zel dovich公式中的耦合函数
蒸发系数
液体燃料的蒸发热
等式（6-83）的守恒性质
等式（6-25）无量纲轴向距离
等式（6-25）定义的无量纲半径或者是等式（6-59）中定义的无量纲变量
氧化剂与还原剂的摩尔当量比
纯组分的离心因子
扩散时物质穿透的平均深度
等式（6-95）中定义的涡度
在广义定义中，扩散火焰被定义为燃料与氧化剂原始状态是隔离状态（非预混状态）的火焰。比如，盛放在器皿中的油类暴露在空气中的燃烧，蜡烛的燃烧，燃油液滴在氧气中的燃烧，固体物质在富氧环境中的燃烧，以及在冲压式喷气机中纯固体燃料的燃烧都会产生扩散火焰。在狭义定义中，扩散火焰被定义为非预混状态的，稳态亦或非稳态的，绝大多数的化学反应只在狭窄的区域带中（这个区域带有时仅是一个接触面）发生的近似等压的火焰。
物质间的混合速率低于化学反应速率，或者可以理解为混合所需要的时间远高于化学反应时间。这与达姆科勒数相对应（达姆科勒数是扩散或混合时间与化学反应时间的比值）。扩散火焰可以是层流火焰也可以是湍流火焰，在这一章中，我们详细讲述层流火焰。
6.1 伯克-舒曼层流扩散火焰理论
典型的层流扩散火焰最早是由伯克和舒曼定量描述定义的，他们使燃料和空气以相同的线性流动速度流经同轴的圆柱形管道来得到这种火焰。
这种扩散火焰从观察到的外形可以分为两类。第一类，若管道的半径比 被设计成可以提供富足的空气，富足到除了供完全燃烧外还有剩余的空气，这种状态下就会形成富氧火焰，火焰的边界会聚拢在圆柱形管道的轴上。另外一类则是空气的供应不足以完全燃烧，则会形成贫氧火焰，火焰会向管壁外部延伸。（见图6.1）
扩散火焰的特点可以这样概述，假定存在一个明亮的燃烧表面，而化学反应就是在这表面上同时瞬时的发生。典型的氢气燃烧扩散火焰的各部分名称和轮廓图见于图（6.2）。
这样的火焰中有个特别有趣的事实是几乎没有燃料和氧气会穿过明亮的火焰边界，也就是说化学反应的过程是在一个非常狭窄的区域中完成的，那么我们就有可能鉴别出这个发生反应的火焰表面。近似的说，在这个发生反应的表面上，燃料和氧气的供应比就是化学计量比。
按时间计算的物质守恒方程如式（3-32）所示
前面的负号含义是指物质在反应中的消耗率。在轴对称条件下的圆柱几何计算中，物质的关系恒等式即为
在这个公式中， 物质的轴向扩散被忽略了，因为与 物质的径向扩散相比，它的轴向扩散影响小得多，也就是如下不等式:
在这个式子中，是物质的质量分数，是物质的密度。因变量与温度有关，它可以从随机分子速度和平均游离路径的关系式中推导出来。
在这个式子中，可以发现温度对的影响不是很大，在一阶近似中，可以认为与温度无关。通过查询第三章第十节的shvab-zel dovich步骤，我们可以发现物质守恒方程可以被描述为同一形式的能量方程，式子（6-1）中表示对流的那一项被重新整理为：
考虑到稳态时与时间无关，此时用到整体连续方程：
用它来简化式（6-1）中的对流项，则有：
如果单步化学反应：用来表示扩散火焰中所有的化学反应，则物质的守恒方程可以写为：
公式中的含义是指和的化学计量当量比。
式（3-78）的能量守恒方程若忽略粘性耗散和体积力的影响，则其整体形式可以简化为：
若是在稳态、定压、径向速度很小以及可以忽略轴向热传导的条件下，上述式子则为：
那么能量方程简化为：
式子中的是每单位质量的燃料放出的热量。回顾shvab-zel dovich公式中，我们用到:
将路易斯数设为之后，能量方程变为:
式（6-2）与 相乘后，再与式（6-6）相加，我们得到：
从焓与化学反应热的和的角度来看，上式是一个齐次微分方程。
在扩散火焰更为复杂的化学反应中，我们还是可以根据shvab-zel dovich公式来获得如式（6-7）形式的等式方程式。更详细的步骤程序我们将在下面讲到。
在整体坐标系中，能量和质量方程式为
上式中是物质的消耗率，而 是生成每单位质量物质放出的热量。
有时我们把整个化学反应用下述式子来表示：
式中的是氧化剂和还原剂的摩尔化学计量比
若将式子（6-9）除以，我们得到式子：
应当注意到在整个式子中，如果我们用来表示氧化剂，则有：
如果我们用来表示还原剂，则是：
在整个反应系统中所有物质的质量扩散方程可以用一种形式来表示，但我们要作如下设定：
则式（6-11）简化为：
根据第三章第十节给出的shvab-zel dovich公式，我们可以把能量方程整理为：
令
整理得：
比较式（6-14）和式（6-13），我们注意到和都满足同一个微分方程
式（6-13）和式（6-14）都可以用以下式子代替：
式中线性算子 的定义：
式子（6-15）中的非齐次非线性比率的项都可能会在简化中消除。我们设定 作为非齐次方程的相关变量，则有：
通过使用耦合函数可以算出线性齐次方程中的其他变量：
式中或者.在解决扩散火焰问题时，shvab-zel dovich公式程序是非常重要有效的，在这些问题中，我们常常可以发现通过解流动变量之间的线性方程，燃烧速率可能在解非线性微分方程时就能计算出来，而此时非线性微分方程并未求解完全。方程（6-18）看似简单，但是如果没有附加的近似条件它常常是很难求解的。总的来说， 和是由 或决定的，所以线性算子间接的取决于，因此式子（6-18）实质上是非线性方程。
6.1.1 基本假设和解决方案
伯克和舒曼首先做了如下的假设：
1.在喷口位置，假定空气和燃料的速度都是恒定的，相等的，并且都是同步的通过各自的管道。这是通过设计不同的管道半径之比来控制摩尔燃料比来实现的，管道半径比为 .
2.燃料和空气在火焰区域管道上部位置的速度与它们在喷口位置的速度相同。
3.是恒定的。
4.与径向扩散相比，在轴向上的扩散可以忽略不计，可以用如下不等式表示：
5.燃料和空气的混合主要是由扩散导致的，也就是每种组分在径向上的速度近似为零，亦即.
6.化学反应发生在当量比为 的情况下（发生场合为火焰表面）。
当考虑到质量分数对化学反应的影响时，我们只用关注微分方程式子（6-18）：
其中：
在圆柱形坐标系中，上述微分方程变为：
式（6-21）的边界条件为：
其中：
伯克和舒曼用无量纲坐标系为和作了如下解释：
他们在解答过程中对几个简化的参数也作了定义：
参数 在最简化的方程中用简化的相关变量来代替，其中 ：
依据以上参数，式（6-21）通过式（6-24）整理可得：
通过分离变量的方法，我们可以发现部分方程的解满足阶贝塞尔微分方程：
如图所示的 和函数是上述微分方程的解，他们被称为第一类贝塞尔函数（如图所示的是 阶和阶），贝塞尔函数的数学形式表达式为：
则阶函数的表达式为：
方程的简化相关变量的最后解用幂级数形式表示为：
式子中 是方程的迭代根（同时约定 ，）
为了描述火焰形状，伯克和舒曼假定整个反应都是在火焰表面发生的，且假定：
来定义火焰表面。因此，在式（6-31）中设定就可以将 和联系起来，他们之间的这种联系函数可以定位火焰表面的轨迹。通过这种方法计算获得的火焰表面如图（6.1）中所示的两种类型。
火焰高度的获得是通过求解方程（6-31），求解时若是富氧火焰则设定无量纲半径，若是贫氧火焰则设定（无论是哪种火焰，）.当 随着上升时，火焰高度通常会增加到足够大，致使因子 急速下降，在式子（6-31）的这种计算中，通常可以使计算结果的前几项维持不变。若忽视除了之外的所有项，可以得到粗略的近似解：
此式子可以适用于贫氧火焰的无量纲火焰高度的计算。 的第零项.
考虑到伯克和舒曼部分假设条件中的化学反应剧烈的性质时，他们从方程（6-32）中计算得出的火焰形状和火焰高度（如图6.3所示）出乎意料的非常吻合实验数据。
在后继学者的研究中，Penner、Bahadori、Chung和Law等人重新对伯克舒曼问题进行探讨并且把轴向扩散的影响考虑其中。在Penner和Bahadori的研究中，他们考虑到扩散火焰有不同的扩散传输系数和不确定的化学反应的性质，因此他们得到的方程闭式解比伯克舒曼的还要复杂些。在Chung和Law的研究中，首先他们假设路易斯数近似为，然后通过加扰动的方法求出方程的解。方程的零阶解是通过分离变量得到的，方程的一阶问题是通过Green函数求解的。当考虑到气流扩散影响时，他们的分析结果表明火焰会呈现更狭长的形状。他们的分析结果同时表明当情况满足大佩克莱特数时伯克舒曼的解答方法一般都是有效的(佩克莱特数是雷诺数和普朗特数的乘积，或者在物理上定义为热对流速率比上热传导速率)
6.2 燃料射流的现象分析
在工程学研究中，有时通过现象分析可以迅速的找到解决问题的方案。在接下来的叙述中，我们将使用现象分析的途径来研究一种层流火焰，这种火焰其高度与容积流动速率成正比，与质量扩散速率成反比，可用如下公式表示：
我们也会将上述规律用于一种湍流火焰：
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