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涡旋压缩机的几何形状
Jens Gravesen
Christian Henriksen
摘要 涡旋压缩机是一种用于压缩空气或制冷剂的精巧机器，它最初是在1905年由Leoneon Creux发明的，古典设计由圆形渐开线给出的两个嵌套相同的卷轴组成，其中一个相对于另一个旋转了180°。不是指定曲线的参数，而是指定曲线的半径曲率作为切线方向的函数，并使用平面的内在方程曲线，可以以允许所有相关几何量的方式更改设计以封闭的分析形式计算。
关键词 涡旋压缩机，内在方程，平面曲线，切线方向
AMS科目分类53A04, 53A17, 00A69
PII. S0036144599362121
介绍 涡旋压缩机是用于压缩空气或制冷剂的巧妙机器
，这是1905年由L#39;eon Creux发明的.当时制造可用型号的技术不够先进，直到20世纪70年代，这个想法可能带来的的商业利益才被重新重视; 参见，例如。该设备由两个嵌套的相同卷轴组成，其中之一相对于另一个旋转180°，在古典设计中，两个卷轴是圆形渐开线，如图1.1所示。
今天，涡旋式压缩机广泛用于压缩空调机中的制冷剂，与传统的活塞泵设计相比，它拥有着有许多优点。例如，只需要少量的运动部件和无阀门，而且旋转运动可以完全平衡，减少振动和噪音。
传统设计的一个问题是压缩准备时间太长，所以需要大量的转弯来实现高压缩需求来用于制冷和冷冻。不幸的是，对于给定的总截面面积，增大螺旋线的紧密度首先降低了可以在每个周期中摄入的气体的扼流量，然后加大了加工滚动的工作困难，最后提高了泄漏率。
在1998年9月在丹麦技术大学举行的欧洲工业研究小组上，来自丹佛斯A / S的Stig HelmerJoslash;rgensen阐述了找到更好的涡旋压缩机设计所面临的问题。
JENS GRAVESEN AND CHRISTIAN HENRIKSEN
图 1.1涡旋压缩机示意图，红色滚动条保持固定，绿色是以循环运动的方式运动，这会按压储存在缸内并且朝向压缩机的中心的黄色气体。在这个图中，只需要一个循环，但是据我们所知所有的商用卷轴压缩机都是由一个又一个的转弯制成的，因此需要两个周期完成压缩。
至少有两种可能的方式来改良压缩机：第一种是改变滚动体的几何形状，第二个是改变运动的轨道。在本文中，我们将忽略后一种可能性，只考虑更改到几何的滚动。
在这里忽略滚动的两端，它是由两个平面曲线界定的，我们想要设计的对象，一个滚动的内部和另一个窗体的外部我们称之为配对双方。在运动期间，两个交配侧面彼此接触在许多限制一系列压缩室的点上，正是这些室的体积决定了压缩和阻塞体积。正如在古典设计中，我们还将让两个卷轴相同并旋转180°。 这意味着两个配对的边也是一样的。
所以我们有一个涡旋压缩机的设计方法：
bull;设计移动卷轴的一侧。
bull;将固定卷轴上的配合侧确定为移动卷轴新设计的一侧的封闭端。
bull;通过适当的点反射来确定另一对配对。一旦完成，我们有以下问题要解决：
bull;确保设计的几何完整性; 即两个卷轴不能彼此重叠或自行掩盖
bull;确定几何压缩和扼流圈体积; 即在假定这两个量没有联系的情况下确定它们。
目标是将几何机械和流体机械建模相结合并将其全部放入优化循环中。
涡旋压缩机的几何形状
图。 2.1 一些基本的几何概念：弧长s，切线方向ϕ，曲率= DS / Dϕ半径和曲率中心C
目前正在与丹佛斯A / S合作进行这项工作，但在本文中，我们将仅限于讨论几何压缩机建模。关键的想法是用所谓的自然或内在方程来表示定义形状的涡旋压缩机的曲线。这样做的话，全部相关的几何量可以以封闭的分析形式计算。
我们应该提到除了压缩机的几何模型，研究组也进行了流体机械建模; 见[4]和[6]。
2.涡旋压缩机的几何形状 通常通过参数化给出平面曲线t→x（t），但它也可以由其内在方程给出，即连接弧长S和切线方向phi;的方程式; 见图2.1。我们使用（简单）微分方程
曲率半径在哪？换句话说，我们指定曲率半径作为切线方向的函数。 然后我们可以重新获得弧长
我们介绍正交帧
通过切线方向phi;的定义，我们有t（phi;）= e（phi;）。 如果x（phi;）通过切线方向参数化得到，那么
我们可以通过整合来确定x
请注意，弧长和参数x都可以确定，如果phi;（phi;）是多项式或只是phi;中的分段多项式，则为闭合形式。参数化是由切线方向决定。
图2.2如果原点O在切线的左边，角度theta;会增加
重要的是要确保曲线没有自交并且呈螺旋形。以下经典结果表明，后者是径直增加的积极影响所带来的结果。
定理2.1（Kneser定理）。 令x为曲线，由内在函数给出
方程=phi;（phi;）。 令c（phi;）是渐变的（即，曲率中心的轨迹）对于x，让Dphi;成为由曲率圆限定的开放盘，
并且Dphi;为Dphi;的闭合。如果（phi;）是严格增加的正函数，那么圆盘Dphi;形成严格增加的顺序，
并且曲线从每个盘的内部传递到外部，
为了证明，请参看[5，p。 48]。 我们还有以下引理。
引理2.2。 与上述Kneser定理相同的假设，选择原点Oisin;phi;Dphi;，令（r，theta;）表示极坐标。 那么角度theta;是aphi;的渐增函数。
证明。 考虑图2.2;如果矢量x = - →OP和速度矢量x之间的角度delta;=phi;-theta; 在区间（0，pi;）中，那么theta; gt; 0。这是O在x的左边的情况。当时曲率圆在x的左边，和O一样在任何曲率圆内，证明完成。
如果在Kneser定理中，我们用支撑半平面代替圆形圆 那么我们有以下引理。
引理2.3 让x和遵循上面的克内斯定理; 然后
证明 观察到圆形圆包含在支撑半平面上，所以如果phi;le;phi;0，则从Kneser定理得出结论。 如果phi;=phi;0 phi;1和phi;1isin;[0，pi;]，则我们有
因为？ 是积极的。
我们以后需要以下的引理。
引理2.4。 让x和如上面的克内斯定理; 然后
证明 由于是渐增的我们可以得到
这给出了第一个不等式。 类似地，由（2.7）和
我们得到第二个不等式。
备注2.5 对于Lemmas 2.3和2.4的增加不需要严格保持。 换句话说，如果是phi;的增加的正函数，那么引理成立。
我们现在将曲线x转换为半径为r的圆形轨道。那么我们可以得到转换曲线xt（phi;）= x（phi;） d（t）。 如果我们使d（t）= -rf（t），那么，d表示通过切线方向参数化的圆轨道。在时间t，移动涡卷的侧面xt和固定涡旋盘的配合侧y在某些点相互接触，所以y是包络线{xt | tisin;R}。如果y在时间点t在点与xt相交，那么我们可以确定y的参数为
由于xt和y互不相交，它们的切线是平行的，即我们有条件，或者是等效的。由于phi;是x的切线方向并且t是d的切线方向，我们有
请注意，在这种情况下，确定函数phi;（t）是微不足道的，但如果我们不使用它的切线方向作为为参数，则确定方程phi;（t）为非线性并且一般只能用数字求解。乍看起来，我们似乎每个nisin;Z都有一个最值yn，但是由于d（t）周期为2pi;我们有yn 2（t）= yn（t 2pi;），所以我们实际上只有两个不同的最值，分布在xt的两边，我们写作
图3.1压缩机室的容积
其中我们使用了d（t-pi;）= -d（t）的公式。这确保最值通过切线方向参数化，即，
其中下标表示手边的曲线，和公式(2.8)不同
因此，我们有如果x是递增的正函数，那么y也是，所以如果我们选择y 作为x的配对侧，那么我们避免了配对固定轴上的奇点问题。
3.压缩室的数量。这个被一对平面矢量u和v标志的区域由平面的乘积或者行列式给出，我们用[u，v]表示它。压缩室由两个曲线段限定（见图3.1），而从Green的公式来看，x和y 上两个片段之间的区域似乎是
如果我们想要三圈滚动，那么phi;必须穿过长度为6pi;的间隔，所以我们让phi;isin;[0,6pi;]。如果Delta;1表示第一次循环中的压缩，Delta;2表示第二次循环中的压缩，Delta;表示总压缩，那么我们有
4.恒定壁厚。寻找具有恒定壁厚的卷轴似乎理所当然，其特征在于以下简单的结果。
定理4.1。 令x和为移动滚动体的边，令y = x-rf和为固定涡旋盘的相应配合侧。 当且仅当所有四条曲线都具有共同的形状，闭合和凸渐屈线时，卷轴具有固定的宽度。
图 4.1具有恒定宽度的滚动条
证明。 “if”部分是微不足道的，所以假设所有四条曲线是平行的并且因此而具有共同的渐曲线c。 渐曲线是凸的，即具有非零的曲率，这是从卷轴的侧面是平滑的曲线这个事实得来的。所以我们需要证明的是，渐屈线是简单闭合的，也就是说。,它是封闭的，没有自我中断。
如果两个卷轴的宽度分别为delta;x和delta;y，则我们有x = x-delta;xf
y（phi; 2pi;）= y（phi;） delta;yf（phi;）; 见图4.1。 这意味着两条曲线y和phi;→y（phi; 2pi;）平行。再一次使用平行曲线具有相同渐屈线的事实，我们得到c(ϕ)= c(ϕ 2pi;)，所以常见的渐屈线是一个封闭的曲线。ϕ pi;/ 2是切线方向渐屈线,当通过切线方向参数化时它的周期是2pi;，但它不能有任何的自行交叉，也就是说它是一个简单的曲线。
具有恒定宽度的卷轴有一个特定的简单体积函数。因为x是c的渐屈线，我们有x(ϕ 2pi;)x(ϕ)=minus;cf(ϕ),c是封闭渐屈线的长度。所以(3.1)减少至
此外，如果我们写出那么
因此
由于我们有
并且压缩室的体积的表达式最终减少到
图。 5.1（a）我们在一点上反映一对匹配的边（x，y），以获得另一对匹配的边（y，x）。动涡旋盘的原始侧x通过绘制平行曲线在内侧加厚，两条平行曲线通过半圆连接。然后固定卷轴的原始侧y上的反射图像x的末端连接到平行虚线。在这里我们刚刚使用了一条直线段，但在实践中可以使用更平滑的解决方案。（c）过程是通过反射转移到固定卷轴，我们有两个实体卷轴。
如果我们确定了渐屈线的长度c，那么可以影响压缩的项是
，如果我们想要一个大的压缩量，那么这个表达式就必须尽可能的小。在这篇文章中，我们不会进一步追求恒定宽度的卷轴，但将继续进行并考虑更普遍的设计。
5.卷轴的另一面。到目前为止， 到目前为止，我们通常只考虑卷轴的一对配对面。现在我们将通过在适当的选择点C中反映x和y来构建剩下的两个方面;见图5.1。经过考虑我们有
其中x和是移动涡卷的侧面，y和是固定涡卷的侧面
。观察可知x和y通过切线方向参数化。
不知何故，我们必须将x的末端连接到的末端;然后通过C中的反射获得固定的涡卷。外端没有问题，所以我们集中精力连接x（0）到。我们用半径delta; to x(0)附加一个小半圆来做到这一点，然后沿平行曲线继续回到x，最后通过直线连接到。见图5.1。从x到的连接当然可以用许多其他方式完成，也可以平稳的方式完成，但我们简洁的选择使我们能够轻松地分析交集问题（参见定理5.1）。为了更精确，如果，那么我们使，并且
观察到扩展也是沿着切线方向参数化，而且半圆是x | [-pi;，0]。总的来说，我们从动涡旋体一侧的曲率半径开始，，并且圆形轨道的半径，。然后，构造移动涡卷x的一侧：，固定涡卷的一侧。通过反思我们得到另一侧和。如上所述，以半径delta;的半圆延伸x，得到。仍然反映在C中，我们得到的延伸。有了这个符号，我们就有了下面的(充分的)条件，可以确保滚动的物理可行性。
定理5.1。如果，并且
那么
其中d（·，·）表示两条曲线之间的距离。
不等式（5.5）确保了上述的我们可以在内部“养肥”x使其厚度为而不与x碰撞。不等式（5.3）和（5.4）确保涡卷可以在半径为r的圆圈中自由旋转。
证明。 通过对称，我们有。 所以要证明（5.3）我们只需要证得，我们首先证明
引理2.3（参考2.5）我们有。 所以让我们考虑一下并且使，如果，那么，当时，我们可以再次使用引理2.3并获得
所以（5.6）成立。如果phi;isin;[-pi;，0]，那么，所以
由于半圆的端点xdelta;（0）清楚地包含在支撑半平面中，我们有，在
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