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评论杂志 2001年 工业与应用数学研究学会
43卷 第一部分 113 - 126段
涡旋压缩机的几何形状研究
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作者： 延斯·格拉维森
克里斯丁·亨里克森
译者： 王坦
摘要：涡旋压缩机是利用压缩的空气或制冷剂的巧妙的机械设备。最初由里昂·可勒在1905年发明。经典的设计包括两个通过相同的圆渐开线型线嵌套涡旋盘，其中一个是通过相对于另一个180◦旋转得到。因为不是通过一个的曲线的参数化，而是用曲率半径和使用的平面曲线的内在方程代替切线方向的函数的，所以该设计的方式中封闭的解析形式来计算的所有有关几何数量可以改变。
关键词：压缩机，本征方程式，平面曲线，切线方向
AMS主题分类。53a04，53a17，00a69
PII. S0036144599362121
引言：涡旋压缩机是利用压缩的空气或制冷剂的巧妙的机械设备。最初由Leon Creux.The在1905年发明那时技术还不够先进，难以制造的可行模式。但直到20世纪70年代，在这个想法的商业利益才复兴。见，例如，[7]。设计包括两个相同的圆渐开线型的涡旋盘，两个涡旋盘偏心一定距离相对旋转180°对插在一起。经典的设计包括两个相同的圆渐开线型涡旋盘如图例1。
今天，涡旋压缩机在空调上广泛用制冷剂压缩。有比传统的活塞泵设计的许多优点。例如，只有少数移动部件、没有吸排阀门要求、旋转运动平衡性好，有较低振动和噪音。
传统设计中的一个问题是压缩发生的相当缓慢。因此为了制冷和冷冻需要大量的轮流来实现高压缩的要求。不幸的是对于给定的总截面积，增加螺旋形密封性难度，第一减少了月牙形封闭工作腔每个循环吸入的气体体积，第二，使得加工涡旋盘作业更加困难，第三增加了气体泄漏的速率。
在1998年9月丹麦技术大学举行的第32届欧洲行业研究组会议上，来自丹佛斯AS，斯蒂格赫尔·默詹斯·约根森为涡旋压缩机的问题展示了更好的设计方案。
至少有两种可能的方式来改变压缩机：首先是改变涡旋型线，第二是改变的运动轨道。在本文中，我们将忽略后者的可能性，并只考虑变动涡轮的型线。
*由编辑收到的1999年10月1日;接受出版（以修订格式）8月9日，
2000;电子发布2001年2月2日。
http://www.siam.org/journals/sirev/43-1/36212.html
dagger;数学，丹麦技术大学，大厦303，DK-2800灵比系
丹麦（J.Gravesen@mat.dtu.dk，Christian.Henriksen@mat.dtu.dk）。
113
图1.1为涡旋压缩机的示意图。当红色滚动保持固定的，绿色的轨道在一个圆周运动，这被压缩的黄色气体在向压缩机的中心移动。在该图中只需要一个周期，但就我们所知的所有商业涡旋压缩机多一个转制成，因此需要两个周期来完成压缩。
忽略了涡卷的端部，它由两个平面曲线组成，这就是我们要设计的对象。里面的涡旋盘和外边的涡旋盘组成了我们平时叫的啮合型线。在运动中，两个配合端在若干个点相互接触并且分成若干序列个月牙形压缩室，也是这些点确定了多点啮合和多组月牙形封闭的工作腔的体积。作为经典的设计我们通过旋转180°，因此两个涡旋盘形状是相同的，这意味着，双方的两个配合运动是相同的。
所以我们有以下涡旋式压缩机的设计过程:
bull;设计的动涡旋盘。
bull;确定动涡旋盘固定边作为动涡旋盘为啮合边界。
bull;确定另一个边上合适的点作为啮合点。确定之后，我们有以下问题需要解决:
bull;确保连续接触而不发生嵌入或分离现象。
bull;确定压缩室几何形状和压缩体积，即。，在确定没有泄露的情况下确定这两个量。
目标是把几何与力学和流体力学建模把这一切变成一个优化循环。这是目前丹佛斯公司A/ S，但在本文中，我们将用几何的内容对压缩机的建模。关键思想是确定啮合型线。图2.1一些基本的几何概念:曲轴转角theta; ，切线T，曲率中心c，及曲率半径cx，曲柄转角psi;
关键是利用平面曲线方程和微分几何理论写出型线曲线方程，这样做，所有相关的几何量可以封闭的解析形式中计算。
我们应该提到除了压缩机的几何建模，液体机械建模也是由研究小组完成;看[4]和[6]。
2．涡旋式压缩机的几何形状。
一般平面曲线由参数化方程t→x(t)给出，但它也可能是由微分方程形式给出，
即。如方程，用弧长和切线方向psi;确定;参见图2.1
我们使用(简单的)微分方程表示：
这里的为曲率半径。换句话说，我们根据切线的方向确定曲率半径。那么我们可以得到的弧长公式：
现在我们引入了正交坐标系
，
根据的切线方向psi;我们有t(psi;)= e(psi;)。如果x(psi;)是参数化的切线方向的函数，那么
综上所述，我们可以确定X的函数
注意，弧长和参数化x的方程是封闭解，如果(psi;)是一个多项式或只是psi;的分段多项式，
psi;是切线方向。
图2.2如果原点O靠近左边的切线。角theta;增加
重要的是要确保曲线没有自交，而且是一个螺旋型。以下经典结果表明，如果随着正函数增加而增加那么就会是一个螺旋形。
定理2.1(克内泽尔定理)。假设x是一个曲线，由禀性公式=(psi;)。让c(psi;)渐近线(即轨迹的曲率中心)x，让为由曲率圆确定的开圆盘，
让为的闭合情况。如果是一个严格的正函数，那么圆盘是一个严格增序列，
那么曲线通过从每个圆内部转变到外部
通过证明，如例[5，48页]。另外我们有以下引理。
引理2.2。与以上所述克尔泽尔定理相同的假设，选择原点，并且让(r，theta;)表示极坐标。然后角theta;是psi;的严格增加的函数。
证明：考虑图2.2；如果角delta;=psi;minus;theta;在向量和速度向量为区间(0，pi;)之间，当，这种情况下曲率圆在左侧，同时O在任何曲率圆中，即结论正确。
如果我们在克内泽尔定理中用密切圆取代半平面，那么
然后我们有以下引理。
引理2.3。让x和在上诉克尔泽尔定理中，那么
证明：观察到密切圆在半平面中，所以如果psi;le;psi;0，由克尔泽尔定理产生的结论。如果psi;=psi;0 psi;1，psi;1isin;(0，pi;)，然后我们有
因为是正的。
稍后我们将需要用以下引理。
引理2.4。让x和克尔泽尔定理中的；然后
证明。假设是一个递增的函数：
就是我们给出的第一个不等式。同样，由(2.7)即：
我们获得第二个不平等。
注意例子2.5。的增加不需要严格的遵循前面说道的例子2.3和2.4。换句话说，如果是psi;的一个递增函数，那么引理成立。
我们现在将曲线x转化为半径为r圆曲线。也就是说，在时间t时，我们得到曲线方程。如果我们令，而和d用来描述了一个由切线方向确定的参数化的圆形轨道。在时间t和动涡旋盘移动轨迹和与之交配的定涡旋盘轨迹y，接触在某个点，因此y是一个集合{ Xt | tisin;R }。如果y在时间接触到Xt在点Xt（ϕ(t)），然后我们可以用参数表示y
当Xt和y接触并且没有嵌套时，他们的切线是平行的；即，，我们有条件的。或者等式。当psi;是X方向的切线并且t 是d方向上的切线时我们有：
注意，在这里它是个简单的psi; (t)函数，但是如果我们不把切线方向的参数化，那么方程确定psi;(t)是非线性的，通常只可以解决数值问题。
乍一看我们似乎有一个Yn随着每个nisin;Z的轨迹方程，但随着d(t)周期2pi;变化时，我们，所以我们实际上只有两个不同的轨迹方程，一个Xt在X两边的变化，我们写成
图3.1压缩机室的体积
我们在条件d(tminus;pi;)=minus;d(t)。这是在切线方向参数化时确定的：
我们在下面用角标标注的圆方程。区别在(2.8)中体现：
因此。特别是，如果是递增函数，那么。如果我们选择y 作为随着X一边的变化量，然后我们避免任何由固定涡旋盘上的奇异点产生的问题。
3．压缩室体积。
在一对确定的二维平面向量u和v域之间区，，我们表示它为[u，v]。由两个曲线段约束的加压室(见图3.1)，和x和y 两个部分之间的区域，由格伦准则：
如果我们想要三个压缩圈，那么psi;要通过一个6pi;长度的区间，所以我们让psi;isin;(0、6pi;)。如果Delta;1表示压缩在第一次循环，Delta;2表示在第二周期，Delta;表示总压缩，我们有
4．固定的壁厚。
自然确定壁厚要通过下面几个特点：
定理4.1让x和为动涡旋盘的移动边界，，让y = xminus;rf和是定涡旋盘的边界。那么壁厚就有四个曲线封闭所共同确定。
图4.1卷轴在恒定的宽度。
证明。“如果”部分是简单的，所以假设所有四个曲线是平行的，因此有共同的渐近线线c。渐近线是凸起的，即非零的曲率，遵循的事实的卷轴是平滑曲线形式。所以我们需要证明的是渐屈线简单封闭，它是封闭的、没有自嵌现象。
如果两个涡轮盘的宽度分别为delta;x和delta;y，分别，我们有和；参见图4.1。这意味着两条曲线和是平行的。再次使用平行曲线有一个共同的渐近线的事实，我们看到，所以这个共同的的渐屈线是一个封闭的曲线。而且psi; pi;/ 2是该渐近线的切线，它是当切线方向参数化时是一个2pi;的变化过程，而且它没有自交，换句话说它是个简单的圆。
涡轮盘有个固定的壁厚时我们有个简单的体积函数方程。当x是c的渐近线，我们有 是渐近线的长度。因此（3.1）归纳为：
此外，如果我们写然后。
因此
表达的压缩室体积归纳为：
图5.1(a)我们反映一对(x，y)的集合映射到另一对合集。(b)的原始(外)侧x移动随着动涡旋盘移动在增厚在里面了画一个平行的曲线(虚线)，两个平行曲线是由半圆连接。然后结束的反射影像原始(内部)的x y固定滚动连接到平行的虚线。这里我们有只是用一条直线段(虚线)，但在实践中可以使用一个更平稳的解决方案。(c)方法是转移到固定滚动通过映射我们就有了2个定涡旋。
如果我们固定渐近线的长度，那么这个会影响压缩是。如果我们想要一个大压缩比，然后这个表达式要尽可能小。在本文中，我们将不会更深的研究寻求恒定宽度，但会继续考虑总体的设计方案。
5．另一侧的涡旋盘
目前为止，我们已经只考虑一对涡旋盘中的一个涡旋。现在我们将建立由2个剩下的反射x和y去选着合适的C点。 参见图5.1。在反射下我们有：
x，是动涡旋的一侧，y，是定涡旋的一侧。观察到和是切线方向的参数化。
我们连接x，的末端，定涡旋通过反射在c获得。外端没有任何问题，我们注意
在x(0)，处的连接。我们这样做是通过附加一个小半圆半径delta;到x(0)，然后继续沿着曲线平行到x，最后沿着一条直线连接到x(pi;)；参见图5.1。连接从x 到当然可以以其他方式相连接，也有更平滑的方式，但我们的简单的选择让我们对相交问题能够做一个简单的分析(cf定理5.1)。更精确，如果x:[0，ϕs]→R2，然后我们把和
观察的延长线也是切向方向的参数化公式，在x |(minus;pi;，0]时是半圆。总结，我们开始从动涡旋半径曲率的一侧半径圆形轨道，risin;R 。然后我们构造的一边动涡旋盘和另一侧定涡旋盘，我们通过映射得到和。我们延长x以半径为delta;的如上所述，取得。还在C的反射中，我们得到一个扩展的向量有了这个符号，我们有以下(足够的)条件，确保涡旋线是可行的。
定理5.1。和
d(··)表示两个曲线之间的距离。
不等式(5.5)确保如上所述，我们可以“增加”x在里面有厚度而且没有碰到。不等式(5.3)和(5.4)确保滚动可以自由的运动在轨道半径为r的一个圆中。
证明。通过对称有。我们证明(5.3)只需要证明。我们首先有以下条件：
由引理2.3(cf。引理2.5)我们有。因此，让我们考虑，把。如果psi;ge;0，那么，delta;le;(0)我们可以再一次使用引理2.3，获得
作为端点中包含的半圆显然是在半平面内，我们有见图5.6，也证实了这个公式；见5.2，我们证实了（5.6）。，psi;sube;或等同于，我们对时有：
通过对称性，我们有：
我们已经证明。所以让我们
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