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全密闭涡旋式压缩机的建模：
建模步骤
陈宇 James E. Braun（博士，专业工程师，ASHRAE成员）
Eckhard A. Groll(博士，ASHRAE成员)
这篇文章主要介绍的是全密闭涡旋式压缩机的一种综合模型，该模型还结合了压缩过程中的各种模型，包括涡旋内局部传热及散热模型、摩擦损失模型、发动机效率模型以及壳体内部与环境之间的热传递模型。在研究设计参数的变化对压缩机性能的影响时，该模型是十分有实用，本文还列举了一些这方面实例。而在本文的附件中则记录了该模型的详细验证过程以及一份关于压缩机设计优化方面的调查研究报告。
前言
对压缩机的研究通常即包括理论法和实验法两种方法。压缩机建模已经从压缩机众多不同的研究方法中脱颖而出，形成了自己的研究领域。实际上涡旋式压缩机的每一个工作过程都已经建立了模型，如运动件包括摩擦损失的动力学过程（Ishii等1986、1987、1988a、1988b、1988c、1990、1992、1994；Hayano等1988年），压缩过程（DeBlois和Stoeffler 1988;Yanagisawa1990; Nieter1988；Kim1998; Caillat等1994），制冷剂与压缩机零部件之间的换热（Jang and Jeong 1999; Wagner and Marchese 1992; Bush and Elson 1988; Suefuji 等 1992），制冷剂的内部流动和泄露（(Puff and Krueger 1992; Suefuji等 1992; Tojo等 1986; Zhu 等1992; Yong 1994），燃油的运输和分布（Drost and Quesada 1992）以及入口和出口处形成的脉冲流（Nieter and Gagne 1992）。
众所周知，Chen等人（2002a，2002b）以及Chen（2002）提出了第一个比较完整的全密闭涡旋式压缩机模型。这种模型是为R22涡旋压缩机建立的，包含了影响压缩机性能的所有的重要机制。而在R22压缩机上的实际测量结果也验证了该模型在预测质量流率、功率消耗和排温方面的能力。在比较宽泛的工作条件下，该模型能够在2%的误差范围内预测压缩机的质量流率、功耗，在2℃的误差范围内预测的排出温度。
早期模型的一个局限性在于它利用了占摩擦和电动机损耗的总机电效率。对于给定的压缩机，还需要根据整机的测量值采取一个合适的机电效率的经验关系系数，并将其代入到压力比与压缩机功率的函数关系式中。这就导致该模型在研究的设计变更以及修改时受到了限制。
而本文所提到的模型则对前期工作中基于电机制造商提供的数据建立的摩擦损失的物理模型和独立电动机效率的模型进行了改进。此外，该模型还考虑到了R-410A压缩机，并且做了其他的一些改进，包括用于评价壳体与环境之间热传递的简易热网络以及对建立涡旋管壁内温度分布模型的一个改进方法。而且这种改进后的模型也已经得到了新型的 R-410A封闭式压缩机的验证，除了验证了对整机性能（质量流率、功率、出口温度）的预测结果，还对涡旋内制冷剂的温度随轨道角变化的函数关系式的预测进行了详细的验证。
本文对该模型进行了简单的描述，本文主要写的是该模型针对Chen等人（2002a, 2002b）提出的模型进行的具有代表性的修改的一些细节，另外，本文也列举了一些实验结果。验证结果与一些涉及重要的设计参数的参数研究的结果则在一个配套文件（Chen等人.2004）中给出。
图一 所研究的涡旋压缩机结构图
1研究背景
1.1 压缩机
最先用于模型验证的压缩机是13.42立方厘米卧式涡旋压缩机，这种压缩机利用的是高压外壳，即整个压缩机外壳都处于排放压力下。图一即为压缩机的示意图。R-410A制冷剂被吸入到泵组件中的抽吸腔室，在流经一个吸入管，引导制冷剂流过压缩机的头部。制冷剂先在泵组件中被压缩，再流经吸入管通过排放口进入压缩机头部。固定的涡旋是由钢制成的，而旋转涡旋则是由铝制成的。压缩气流从压缩机的头部，流经泵组件旁边的小孔，也就是焊接在压缩机外壳上的三点，并绕过压缩机马达从压缩机的出口流出。电动机安装在压缩机的轴上，带动旋转涡旋旋转，并通过泵组件上的一个十字联轴节来防止涡旋的回旋。还有一个余摆线泵则通过压缩机轴上的钻孔给轴承泵组件供油。由于压缩机是水平式的，泵组件和电机的一部分位于油槽。
1.2 建模的整体步骤
整体建模的过程如图二所示，Chen等人（2002a，2002b）已经对其进行了详尽的说明。该模型是根据压缩过程模型和压缩机整体模型组织建立的。压缩过程模型能够利用轨道角函数快速计算出涡旋内各个位置的制冷剂的性能，包括在腔室以及气体、涡卷间热传递之间的泄露。压缩机整机模型能够确定摩擦损失，压缩机元件集成件之间的热传递，元件的温度，压缩机的功耗等。由于各个部件处的温度不同，制冷剂是不断变化的，而每次变化时压缩机整机模型都要调用压缩过程模型。压缩过程模型包括若干子模型：几何模型将压缩机的腔室和相关体积定义为轨道角的函数；压缩机腔室的存在则是由用例（CASE）模型确定的；在轨道角一定而压缩机的腔室结构发生变化时，则要用分配（ASSIGN）模型重新确定压缩机腔室的性能；压缩机任意两相邻的腔室之间流体的流进、流出和泄露则要用泄露模型计算；制冷剂与压缩机的蜗卷以及板之间的传热则要用传热模型计算。当轨道角逐渐增大时，这些子模型则按照一定的顺序被反复调用直到压缩过程模型收敛。然后压缩过程模型再将出口处的制冷剂的特性以及壳体内涡管与制冷剂之间的热量传递参数反作用于整机模型，整机模型再利用这些输出结果，结合摩擦损耗以及泵组件与集成元件之间的能量平衡，反复确定那些部件的温度。
图二 涡旋压缩机建模的整体结构
1.3 涡旋的几何形状
涡旋压缩机的几何形状是影响压缩机效率的主要因素之一。为了给压缩机建立一个切实可行的数学模型，就需要知道并完全理解压缩机的几何特性。Chen等人（2002a）就提供了一个利用轨道角函数计算面积、体积以及体积衍生物的详细模型。
对于本文所提到的这种特殊的压缩机，固定式和动式涡旋的渐开线的终止角和是不同的。对于动涡旋，内外渐开线的终止角是相同的。
（1）
然而如图三所示，对于固定式涡旋，它的内外渐开线分别在不同的角度和处结束，而且他们相隔2pi;rad。
（2）
（3）
图三 固定涡旋的涡旋式压缩机
从这里可以看出，固定涡管的内渐开线的结束角比动涡旋大，例如，固定涡旋件的内渐开线增大到了20.555rad，而这导致了固定涡旋和动涡旋之间的不对称。
从图三中还可以看出从一个固定的渐开角到22.555rad的终止角，不断延伸的内部固定涡旋增大了偏移距离。
2 压缩过程模型
2.1 压缩过程的微分方程求解
任意涡旋室的制冷剂温度、质量以及压力关于质量角theta;的变化都是通过具有移动边界和状态方程的开放性控制体积单元的质量和能量平衡来计算的。质量和体积的变化方程为：
（4）
（5）
公式4和5都适用于实际气体。而为了确认温度、压力和比容的热力学性质，还需要第三个状态方程，其表达形式为：
（6）
其中比容由腔室的体积除以制冷剂的质量来计算。
公式4和5可以被数值积分，并可以结合公式6确定每个涡旋室的温度（T）、压力（P）和质量（m）关于轨道角（theta;）的函数。为了评估公式4，还需要建立流进和流出各个涡旋室的质量流量以及热传递速率的模型以及定容条件下压力关于温度变化的表达式以及焓和的表达式。这些表达式可以从状态方程和Chen等人介绍（2002a）中导出。
2.2 热力学性质
Chen等人（2002a, 2002b）提出的模型是针对R-22压缩机而开发的。由Baehr and Tillner-Roth (1995)提出的维里状态方程则被用来预测R-22压缩机的过热特性。在本文中，针对R-410A压缩机我们采用了相同的函数形式，并且利用 EES (Klein, 1999)提供的制冷剂的属性数据，找到了适合的非线性回归方程，并由此确定了函数的相关系数。
2.3吸气的质量流量
当进气室随着轨道角增大时，制冷剂的蒸汽就被吸入到进气室中知道进气室的体积达到最大。之后，进气室的体积减小，使得进气室中的蒸气被压缩，导致进气室内压力上升，气体朝着远离出口的方向流动。就如Chen等人（2002a）所介绍的那样，吸入气体的回流率可以利用理想的可压缩气体的等熵流动方程来计算，并用流量因数来校正。
2.4进气温度
当进气通过连接管道从集气室流进进气室，气体就会被管道加热。该过程的模型是利用横截面不变且温度恒定的管道内湍流的传热系数来确定的（见Chen等人2002a）。
2.5排气过程
排气室总是与一个排放口相连接。如果排气室的气体压力比外部大，压缩气体将通过排放口和止回阀排出。排放口由止回阀关闭，以防止在关闭期间回流到压缩机。Chen等人（2002b）也对气体流过排放口以及该过程中阀的运动的一个简单准静态模型进行了描述。
2.6泄露
在涡旋压缩机泄漏的路径主要有两个。一个就是从顶部或者底部与涡旋之间的空隙泄露出来，这种泄露又称为径向泄露。另一个就是是由两个涡旋侧面之间的间隙泄露出来，这种泄露被称为侧向或切向泄漏。由于制冷剂从高压区域流向低压区域时会产生泄露，就需要将制冷剂再次加压，从而导致了压缩机体积效率的减小以及特定的压缩功增加。Chen等人（2002a）利用整体压力比的经验公式来假设了流动路径内的等熵流动以及等熵流动的特定区域。
2.7热传递
当制冷剂流过压缩机时，它在压缩机的涡旋、顶部以及底部都经历了热传递过程。Chen等人(2002a)利用一个螺旋板管式换热器相关的开发估算了对流换热系数。另外，假定涡卷内的温度分布与渐开角成线性关系，此外，利用排气室与进气室之间的温差除以渐开线角度差就可以近似得到沿涡旋线的温度梯度：
（7）
和分别为排气室和进气室处制冷剂的温度，和分别为排气室和进气室处渐开线的角度。
为了评估这些假设，就像配套文件 (Chen等人 2004)所描述的那样，将几个热电偶装在固定的涡旋壁上并用它们来测量不同工作条件下的温度分布。下面为从测量结果中得出的结论：
- 涡旋的外边缘处的温度显著高于吸气室中的制冷剂30℃至40℃。对于所研究的压缩机，整个压缩机的外壳处于排气压力之下，因此，压缩机涡旋的外缘通过吸气室内低温的制冷剂冷却，并外壳内排除的高温度制冷剂加热（通过涡旋盘）
- 由于Chen等人(2002a)并没有考虑到涡旋盘的传热，因此得出的吸气室附近的涡旋的温度偏低。
- 由于涡旋两端分别由排气室和压缩机壳体内的相同的高温流体加热（通过涡旋盘），使得涡旋在出口侧的温度与排气室内的制冷剂的温度近似相等。
- 从高温侧（涡旋中心）到低温侧（外边缘）之间的热量传递过程，既有沿着涡旋长度的热传递，还有通过涡旋盘进行的热传递，这就导致沿着涡旋的温差大大减小。由于Chen等人(2002a)等人忽略了通过涡旋盘的热传递，从而使得温度梯度的计算值偏高。
基于上述观察结果，假设在涡旋卷中心的温度等于在排气室以及壳体中制冷剂的平均温度，因此有：
（8）
沿着动式铝制的涡旋的温度梯度的计算公式为：
（9）
类似的，沿着固定式的铁制涡旋的温度梯度的计算公式为：
（10）
任意腔室中制冷剂与涡旋壁或者涡旋盘之间的热交换率可以用Chen等人(2002a)提出的方法来计算。
2.8压缩过程模型的实现
利用Conte and DeBoor提出的方法(1980)，方程4和5综合利用了欧拉公式，对于任意的轨道角都有：
（11）
（12）
其中和由公式4和5算出。
各个腔室的微分方程是相互关联的，需要同时解决。对此，Chen等人（2002a）提出了一个详细的程序来解决这些方程。
2.9质量流量/平均排气温度和焓/压缩功率
一旦压缩过程模型解决，质量流率、平均放电温度以及焓
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