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基于孙子定理，并专为解决实数及其快速算法相关问题的极大似然估计法
摘要
近年来，孙子定理一直被用来研究整数和实数。在这篇文章中，我们考虑了孙子定理在解决服从高斯分布噪声条件下实数的相关问题。在有色噪声可能有不同的变量时，我们建议使用基于孙子定理的极大似然估计法。而且，我们还呈现了一个基于孙子定理算法的极大似然估计算法，这个算法仅仅只是用来探寻L个元素的解的，其中L是余数的数量。接着，便会得到在剩余误差上，MLE、CRT具有鲁棒性的充分必要条件，这个方法具有更低的鲁棒性。最后，我们在理论分析和数字模拟两个方面比较了已被提出来的最新算法和已存在算法的性性能。结果表明，已被提出来的算法不仅拥有更好的性能，尤其是当余数有不同的误差变量时，而且还有更低的计算复杂性。
索引条目——CRT，相位展开，余数数字系统，鲁棒性。
1、介绍
这个传统的孙子算法用来重造一个正整数，这个正整数来自对一系列整数模量进行取模所得到的余数，这个有巨大的应用。例如在一些应用中，文献[28]中雷达图像的相位问题，实数需要从他们的余数中重造。连接实数重造问题与整数重造问题一个很明显的方式，就是用孙子定理从余数中重造出整数部分，然后小数部分可以是任何一个在-0.5到0.5之间较小的数字。然而，可能这个并不是最合适的，尤其当现实中余数有误差时。
对于传统的孙子算法，当所有的模可以被分成两个质数时，它就不再具有鲁棒性，因为在余数中小的误差可能造成大的重造误差。最近，文献[5], [12]–[14], [25], [28]–[30]中多次提到过鲁棒孙子定理，基本上来说，在这些数中，所有的模量都有一个公共的除数M，如果余数误差是在M/4之内，在文献[25]中，我们发现了用于整数的鲁棒孙子定理是可行的，并且它可以用于实数，还有一个改进的版本，它被称为多阶鲁棒孙子定理，这个是在文献[29]中发现的。用于实数和整数的鲁棒孙子定理最基本的想法是精确的确定来自错误余数中未知的折叠整数。在文献[23]中，一个处理孙子算法噪声问题的可行方法被提出来啦，在这个方法里，必须要求是质数。在文献[15]中，一种基于格子的方法被提出来啦，这个方法是通过使用相位测量法来估计一个真实的未知距离。有很多鲁棒孙子定理的相关应用，例如，文献[3]–[6], [8]–[15], [20], [22]–[34]提及到的。
在这篇论文中，我们使用了最近文献[5], [12]–[14], [25], [28]–[30], [32]中所用到的方法。尽管在文献[25]中，实数重造一直在噪声真实值余数方面有被考虑，它有可能不是最合适的。当余数噪声有不同的变量时，它就不是极大似然估计法，通常出现这种案例是因为他们的余数噪声变量可能与模量[8], [15], [24]成比例的。在这篇论文中，极大似然估计法被提出来，在极大似然估计法中，余数噪声可不必要有相同的变量。我们证实了极大似然估计法可以通过一个方法来获得，而这个方法是通过在L个元素中搜寻最合适的，这个L是余数的数目。因此这个方法有一个快速算法。相较于[25]，极大似然估计法因其快速优异的算法而有更好的表现，它也有更低的计算复杂性。这篇论文中另一个重要的贡献就是我们发现了一个结论的充分必要条件，这个结论是在剩余误差上，极大似然估计法具有鲁棒性，并且这个比我们之前发现的还要弱小。
整篇论文剩下的就如下所示了。在第二章节中，我们首先回忆了用于整数和实数的鲁棒孙子定理。在第三章中，我们解释了极大似然估计法，并且附带它的快速算法。在第四章节中，我们给出了极大似然估计法具有鲁棒性的充分必要条件。然后我们计算了鲁棒极大似然估计法和孙子定理相互结合的可能性。最后，在章节五中，我们给出了一些仿真结果来证明我们获得的理论。
2、基于鲁棒孙子定理的极大似然估计算法
在这个章节，我们首先简要地回忆下孙子定理的基本概念。接着我们针对实数提出了基于鲁棒孙子定理的极大似然估计法。在这个算法中，余数误差均假定服从正态分布。
- 孙子定理和鲁棒孙子定理中令人感兴趣的问题
设N为一个实数，M1,hellip;hellip;ML是L个正整数，这些正整数被称为模数，并且0lt;M1lt;hellip;lt;ML，r1，hellip;.rL是N除以Mi的余数，他们有如下的关系：
在这个式子中，，可由这个式子表示：，ni是未知整数，它被称为折叠整数，其中，i=1，hellip;.，L 。这个剩余定理所存在的问题仅在当折叠数ni是整数时才有意义。显然，对于整数N，传统的剩余定理所存在的问题只是个特殊的例子。在此之后，当N和Mi不是很小且为实数，并且整数N和ri大小很接近，研究整数余数问题和实数余数问题中的一个比研究另一个要方便的多。而且，上文中提到的实数重造问题可能会在某些情况下出现，例如上文中介绍的雷达成像中的相位
如果所有的除数Mi都是质数，N是一个正整数且小于除数，那么整数N能通过孙子定理被重造。如果这个除数本身只是单一质数，只要N小于所有除数的最小公倍数，那么整数N也是可以通过拓展的孙子定理来重造的。
在这篇论文中，我们感兴趣的问题便是以最优，最小鲁棒的方法来恢复一个来自错误余数中的实数N，在这个问题里，余数是一个具有误差的实数，它可被表示为：
表示的是误差并且相互独立。为了消除误差，我们考虑了一个特殊的余数冗余，在这个里面，所有质数Mi的最大公约数都大于1，并且剩下的被所有Mi的最大公约数因子化后的整数都是质数。这个鲁棒余数问题是怎样从错误的余数ri，除数Mi中估计N，这个问题在工程上有大量的应用。例如[10], [11], [27], [33].
在最近研究[12]–[14], [25], [28], [29], [32]中，用于整数和实数的鲁棒孙子定理最基本的想法是精确的确定（1）式中的未知数ni，如果它们不能被精确的确定，可能会造成重造过程中的误差。因此，这个问题就被转化成从从那些噪声余数中确定折叠整数ni，一旦ni确定了，未知实数N就能按照[25]被估算出来：
如果N是一个整数，那么在（3）式中，它的估计值将是一个被圆整的整数。
为了确定未知数ni，在研究[28]时，一个基于鲁棒算法搜索算法被提出来，并且这个还服从[12]–[14]的规律。在研究[14]时，有一个结论被证明啦，这个结论是如果这个余数误差范围小于四分之一的M，换句话说，，在这里，M是所有除数的最大公约数，然后ni能被精确确定。因此，我们能从（3）式中知道：
另外，在研究[14]时，一个快速搜索算法被提出来啦，在这个算法中，搜索的次数急剧减少。然而，当除数非常大时，这个算法的计算复杂性仍然很高。在研究[25]时，一个封闭式鲁棒孙子算法以及它的改良版本被用来评估折叠整数ni，在这里，使用了余数差别运算，但是没有使用搜索。值得注意的是这个参考余数是从闭环鲁棒孙子算法中任意选择的。通过使用最优的参考余数选择程序，鲁棒估算成功的可能性将会大大的增大，就像[25]一样。尤其是在最近，一个更加简单的鲁棒孙子算法形式在研究[30]时被提出来。在这个算法中，正整数N的估算值是直接从错误的余数中获得的。
以上算法和结论基于这个假设，这个假设是余数误差有相同的变量，在这里，有如下关系：
这个在实际应用中有点不切实际，因为不同的除数可能包含不同的噪声水平。就拿距离测量系统来说。对于相位测量，这个相位测量可被当作是距离测量，这个相关的噪声与相关的波长[8], [15], [24]成正比。在这篇文章中，我们假设对于每一个i，这个误差服从正态分布，并且这个变量可能不相同，也可能与除数有关系。在研究[25]所用的鲁棒孙子算法中，这个余数噪声被假设为服从高斯分布。值得注意的是，这个最佳的参考余数是基于参考一般的余数，而这个最佳的参考余数是减去其他余数得到的，而这个参考余数的确定仅仅只能在当噪声变量是一样的情况下才行。当余数噪声有不同的变量，在[25]中运用到的确定参考一般余数的方法可能没有作用，这个可能会导致最佳参考余数的错误选择。接下来将会有更多的内容。因为这样，我们提出了基于鲁棒孙子算法的极大似然估计法及其快速算法，在这个算法中，[18]中的一般余数的估算值是最佳的，尽管错误的余数可能有不同的误差变量。
设M是所有除数Mi的最大公约数，且设其中，均假设为质数。因为，设，让。因为，
其中表示一系列整数。从（1）中，我们有
所有的余数ri，除数M都有一样的值，这种情况就被称为一般余数[18]，可被表示为。让
并且让。减去，然后除以M，我们有
根据传统的孙子算法公式，可以被重新表示：
当且仅当。因此N可以被重新表示：
- 基于鲁棒孙子定理，且用于实数的极大似然估计法
在考虑极大似然估计法之前，我们首先介绍一个环形的距离函数，这个函数用于以下派生情况。对于实数X和y，这个环形距离函数可被表示成
其中，
并且代表被四舍五入后的整数。对于任何一个，其中表示一系列的实数，[x]是一个整数，它们之间满足以下关系：
对于任何的实数x及整数k，我们不难得出
以上值得注意的是，非绝对值仅仅只是为了方便才使用的，但是实际上是有效距离，这个有效距离涉及到之后的优化问题。对于任何的实数x，y，z和C，其中Cgt;0，我们有以下的性质：
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
如果，那么
性质6
现在我们考虑（2）式中描述的错误余数。根据[16]，我们有一个正态分布的概率密度函数，其平均值为，方差为，对于和给定的N，有
或者
其中，，通过式（11）中所给的环形距离定义，我们有
其中。方便起见，我们定义
对于，因为是独立的，所以对于一个给定的N，它们共同的概率密度函数为
因为通常比大，所以在式（21）中，时所得到的值要比时所得到的值小得多。也就是说，对于，要比小得多。因此，我们可以近似地认为：
很显然，N的概率密度函数误差是
在给定L个错误的余数，参数M以及除数后，我们现在展示如何通过极大似然估计方法重造N。从式（23）中，我们可以获得一个近似的log函数
这个极大似然估计法将会找出的最大值。其中，未知数，这个将会产生下列最小值问题：
其中，根据（15）式中的性质1，可被简化为。然后，是N经过极大似然估计法运算后得到的值。在图1中，我们展示了式（23）log函数的右半部分，其中，并且到分别是0.5，0.8和1，通过式（25），我们还能得到。
值得注意的是，式（25）最小化问题中的可变参数是实数，并可取范围内的任意实数。因此，解决式（25）中的最小化问题可能有很高的计算复杂性。在下节中，我们将会提出一个拥有更低计算复杂性的快速算法。
3、极大似然估计法的快速算法
从章节二中的（7）式中，我们可以知道：一般余数对及结果N的评估有重要意义。在噪声干扰的情况下，可以从除以得到的余数确定。但是，对于N除以Mi所得到的噪声余数，它们的余数除以M，换句话说：
这个结果可能由于误差而各不相同。为了获得最佳的N估计值，这个一般余数应该直接被确定为最佳值。由于是折叠的实数，我们不能通过简单的求取它们平均值方法来估算。而应该定义一个特殊的的平均运算，如下所示：
其中，X可取范围内的任何实数值。在一般余数被估算出来后，我们可以将当作是的估计值，也就是说：
重新回顾下，代表的是被圆整的整数。接着，可被表示为
因此，N可被表示为
下述结果表明：从上述的算法中获得的的确是极大似然估计法后得到的值。
定理1：假设所有的系数都是质数，如果，那么
证明：显然，式（29）可以理解为：
因此，存在着一个，使得
根据式（30）和性质1，有
根据性质2和式（28），我们可以得到
根据式（11）中环形距离的定义，我们有
由于，根据性质1和性质5以及式（26）中的定义，我们可以得到：
另一方面，对于一个实数，有，让
其中，且。从性质1和性质3以及式（32），我们有
根据环形距离的定义，我们可以得到
由于它遵循式（33）和式（34），所以有
在根据式（27）中的定义，我们有
结合式（31），式（35）和式（36），我们可以得到
由于它遵循式（24），所以有，从而证明理论。
从理论1中，我们可以知道N的极大似然估计值取决于一般余数的估计值。值得注意的是当式（27）中的所有变量都相等时，经过改良版孙子定理所得到的参考一般余数的估计值仅仅只是一个特殊情况。因此，当式（27）中的变量不相等时，即是在当余数噪声不再有相同的变量时的情况下，式（25）中的方法不在是最佳的。接下来我们将给出一个较为详细的比较。
对于计算复杂性，在范围内所有的实数中，未知数N的最佳
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