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柔性转子的主动磁轴承系统识别
摘要
主动磁轴承(amb)是广泛应用于特殊环境中的高速旋转机械。在对一个AMB系统的设计和调整中,系统的数学模型起着重要的作用。识别是一个获得AMB的模型系统的有用的方法。本文专注于对于柔性转子AMB系统的识别方法。基于理论体系模型和测量频率特性模型,该方法对未知参数进行了估计,并建立了AMB系统的传递函数矩阵模型。根据理论模型，本文将识别过程分解为几个步骤，并通过这些步骤对模型进行连续的简化。在这个过程中，子模型分别被标识并最终组合在一起。通过对3个AMB系统的实验验证了该方法的有效性。
1.简介
与传统轴承相比,主动磁轴承(amb)拥有几个吸引人的优势,如没有摩擦,不需要润滑,长期高速运行的能力。因此，AMBs被广泛应用于高速旋转机械中，尤其是在特殊环境下。典型的AMB系统包括以下部分:转子、轴承、传感器、功率放大器和控制器。然而，对于每个应用程序情况，AMB系统需要专门设计、安装和调整。这个过程是相当昂贵和耗时的。在设计和调整整个系统过程中，AMB系统的数学模型起着重要的作用。从建模的角度来看，柔性转子是AMB系统中最复杂的部分。在这里，“挠性”一词强调了转子的弯曲应该被考虑在内。转子模型可以用数值计算。然而，一个现实中的转子通常非常复杂，以至于灵活转子和AMB系统的计算模型不够精确。
识别是获得系统模型的一个有用的方法。从控制系统的角度分析,一个AMB系统柔性转子具有一系列的特点。首先,众所周知,一个AMB系统是开环不稳定的。在系统稳定性被假定的情况下，这阻碍了最成熟的识别方法的应用。第二,一个灵活的转子内部阻尼相当低, 这一事实导致了一系列数值计算问题。第三, 当需要估计参数的时候,该系统的模型是已知的,也就是说,这个问题可以被视为一个参数识别问题。一些作品已经对AMB系统的模式识别方法进行了研究。目前的一些研究集中在识别和线性化磁轴承系统的电磁力方程的位置系数。在其他研究中，当AMB被当做考虑整个AMB系统动态特性的刺激物时，研究人员通过直接使用频率特性函数发现当前的位置和刚度。[5]研究了一种采用改进的least-mean-squares(LMS)算法来直接识别趋势与位置刚度的识别方法。然而,这种方法需要对电磁力进行测量。在一些文章中，磁轴承系统的状态空间模型被确认。作为一个频域子空间识别方法的扩展，在[7,8]中，子空间系统辨识方法和频域工具变量法被用来确定4 * 4 MIMO AMB系统。在[9], 借助零均值白创新过程，一个实验性AMB系统的线性模型通过应用压电子空间识别算法被获得。除了上面提到的两种识别对象, 一些文献也研究了传递函数模型识别。例如在[10]中通过使用Matlab频域识别工具箱得到的频域数据所拟合的模型来获得一个磁轴承系统的传递函数.
在[11]中,通过减少测量到频率响应函数与转子模型响应的差异来进行模式识别。这两篇论文都是是基于复杂的曲线拟合技术[12]. 参考文献(13、14)应用了一种模型更新策略, 即首先建立转子的有限元模型并选择一些有限元参数。这些参数可能显著影响模型,他们几乎难以通过计算来确定。这些选定的参数根据实验结果来确定。
本文提出了一种柔性转子AMB系统的识别方法。该方法是在一些大尺寸AMB系统进行验证。本文在以下几方面不同于上述文献:(1)本文将考虑不稳定悬浮柔性转子的理论模型。根据理论模型, 本文将识别过程分解为几个步骤和并循序减少模型。使用这个模型的主要优势是, 识别结果具有特定的物理解释, 可以直接用来改进理论和/或数值模拟方法。相比之下,一般的识别方法应用于(7 - 11),且不涉及具体的识别模型。另一方面, (13 - 15)利用转子的有限元模型根据实验数据更新模型。这个过程依赖于初始有限元模型和模型不确定性的知识。本文中系统模型是直接由基于测量数据的方法得到的, 这个过程没有涉及关于转子的信息。因此这个方法不需要建立并理解有限元模型并且适用于复杂的转子. 这个方法的重点在于转子的位移与控制指令之间的关系并且不需要传感器. 由于在大多数工业应用中没有传感器,所以此方法特别适用于这些应用,而对于[2,5]中依赖传感器的方法则不适用.(3) 至于涉及大功率放大器的大型AMB系统，其设备的输出延迟是常见且重要的，但在以前的研究中被忽略了。本文考虑了三种大型AMB系统的延迟问题，并对所提出的方法进行了验证。
本文重点讨论了频域识别。在一项识别实验中，受磁轴承的刺激，转子的位移被传感器所测。然后计算得到轴承-转子系统的频率特性模型。更具体地说,(FRM)包含一系列频率点(omega;k)和相应的响应H(jomega;k)，后者指的是复杂矩阵形式的响应的大小和相位。另一方面, AMB系统中控制器的设计和评估过程经常使用传递函数矩阵模型(TFMM)。例如, TFMM中稳定裕度的定量评价时常被需要;对于先进的控制算法设计的显式TFMM也是必要的[13，14]。因此，识别的目标在于估算基于检测到的FRM{omega;k,H(jomega;k)}的AMB系统的TFMM的H(s).在本文中，F（A,B）表示死循环负反馈系统的传递函数矩阵,其中正向信道以转移功能矩阵A为特征，回馈信道为B，即
其中I为单位矩阵。
对于传递函数模型,我们使用符号“信道(k1,k2)”来表示该频道从输入k2到输出k1,即传递函数矩阵的(k1;k 2)th组件。本文中经常用到矩阵的元素智能操作。一些符号不需要做解释,例如“sin”和“ang;”指正弦和复数角。符号⊘用来表示除，例如A⊘B表示A,B中第（k1,k2）个元素相除，即。本文中上标“M”是指从测量或计算中获得的数量;上标“i”表示识别算法的估计参数；在理论推导中不使用上标。我们使用符号≊来表示两个物理量在测量理论上是相等的。然而,他们可能在实践中由于测量误差而不同。考虑到计算复杂度和其他技术原因,有时候我们必须近似一些关系。符号用来表示理论上近似的等效关系。符号表示弗罗贝尼乌斯规范矩阵。
2.主动磁轴承模型-柔性转子系统
2.1 组件模型
考虑在图1中显示坐标系统的转子。本文着重介绍全悬挂式转子的AMB系统。本文认为，转子的轴向和径向动力特性是可以解耦的。
此外，本文还考虑了识别实验过程中转子不旋转时的静态识别。因此实验中没有涉及陀螺效应[3], 而且在两个正交径向平面上的动态特性,即xz平面和 yz平面,也可以解耦。本文中,我们只考虑转子在一个径向平面 (比方说xz平面) 上的动力学模型。图2所示的是典型的轴承-转子系统的径向平面。如图2所示,两个径向轴承安装在轴向位置xi;1,xi;2而两个传感器在位置eta;1,eta;2。在柔性转子的动态分析,通常将一个转子看作为的弹性梁[2,16,14]. 在本文中，静态悬挂的转子也被认为是两端自由的梁。假设转子的长度为l,用{vk}表示其固有频率(NFs)，用表示相应的正常模式。假设一个集中力Fxi;作用于转子位置xi;, 通过对弹性梁的运动方程的模式和应用拉普拉斯变换[17],转子在位置x处的频域横向回应为
如果将转子的内阻尼考虑在内，则为
其中表示阻尼系数。
接下来，我们用表示从集中力到位移的传递函数。例如，表示从轴承2到传感器1处的位移的传递函数。此外，还应用了下列传递函数矩阵，
这些传递函数矩阵拥有相同的形式。例如
在这个表达式中，首项表示刚性模式，即，Ck为2*2矩阵。在实际中，等式(5)中通过0到n项的部分和进行估计。等式（5）中的转子模型可以被分为两部分：刚性部分和柔性部分。对于足够低的频率，转子表现为刚性。接下来项表示刚性部分，转子的柔性部分被定义为。应用这种柔性部分形式的好处是可以在进行柔性部分识别时忽略掉刚性部分.
本文使用的是磁轴承的线性模型[1,2],即电磁力被视为与控制电流和转子位移线性相关(6)
其中ki和kx分别为强制电流系数和强制位移系数,相对应的i为轴承控制电流,x为转子的侧向位移.
本文忽略了功率放大器和传感器的动力学性质,因此它们被视为增益单位.当考虑到控制器指令时,等式(6)可被写成如下形式,
其中kiu为功率放大器的增益,u1为控制器给功率放大器的指令.
本文考虑转子在径向平面(如图一的xz平面)上的运动,因此轴承,功率放大器和传感器的模型被写成矩阵格式:
其中kiu1和kiu2分别对应功率放大器的信道1和信道2的增益,ks1和ks2为传感器的增益.
2.2系统模型
由于AMB系统的开环不稳定性,只有闭环实验可以执行.然而控制器的模型是已知的,因此不难通过块变换来计算出开环模型.本文主要考虑由功率放大器,磁轴承,柔性转子和传感器构成的开环系统.轴向平面内的系统模型如图三所示.
接下来,我们用”开环轴承-转子系统(OLBRS)”来表示这个系统.在图三中,电磁力,控制器指令和传感器输出皆为二维向量.图三中的符号不再做解释,我们将其总结在表一中.
OLBRS的传递函数矩阵
图三中的反馈为正反馈,即指的是所谓的”AMB的负刚度”. 因此OLBRS是不稳定的,即具有不稳定极点。对于普通的AMB系统,不稳定极点的频率与无约束转子的第一弯曲模式的负反馈相距甚远.记该负反馈为v1.
2.3 测量与识别目的
通过正弦扫频实验和块转换,可以获得一系列的频率点(按递增序列排列)和对应的响应
.不稳定极点和v1可以从的波特图粗略估计得到.如前面所述,转子模型可以被分为刚性部分和柔性部分.因此根据不稳定极点和v1,频率点可被分为两个不相交的子集:刚性部分和柔性部分.刚性部分覆盖了不稳定极点所在频率且频率点与v1相距甚远,以至于的波特图近似于典型的AMB-刚性转子系统的波特图.柔性部分包含其他频率点.
本文的主要目的是通过利用测量得到的来估计OLBRS的H(s),换句话说即确定其中的系统参数.从控制系统的分析和设计的角度看,最重要的目标为OLBRS H(s).另外对于优化计算建模方法来说转子模型很有意义.另一方面,由于在图三中模型结构是已知的,所以有理由将对H的识别分为几个步骤.在这些步骤中和其他位置模型将被确认并结合到H中.更具体地说,前面提到的方法分为三个步骤:首先估计图三中的系统延迟,然后确定模型的刚性部分,并将结果用来剔除图三中的反馈,最终确定柔性部分.图3按这三个步骤依次减少，分别获得子模型并最终组合在一起。
本文首先给出了系统模型和度量的等价关系和近似等价关系，然后提出了这些关系中未知参数的估计方法，并通过识别方法来解释。本文的主要估计方法是最小二乘方法(LS)。在本文中，通常用一些复杂向量的模数最小化来估计真实的参数，从而可以通过将复杂的向量划分为实部和虚部来进行估计。附录A给出了技术细节. Moore-Penrose伪逆矩阵可以直接解决线性LS问题 [18]。求解非线性问题的数值方法也很完善。在这项工作中利用Matlab的非线性最小二乘法来解决这些问题。
3.开环轴承-转子系统的识别
3.1 系统延迟的识别
注意到一个典型的柔性转子的内部阻尼比很小, 所以矩阵和对于大多数频率点拥有一个有趣的属性,即矩阵和的部分非常接近复平面的实轴。更正式的说,对一个小的正数ϵ,定义
假设是频域范围上的勒贝格测度,实际中我们发现存在和使得
另一方面,图三中除了延迟,大部分单位都是实数.因此如果和近似于实矩阵, OLBRM的也会近似于实矩阵. 既然一个实数角度的正弦值为0,对于
基于以上事实,用下面的非线性LS价值函数来估算tau;
3.2 刚性部分的识别
一旦被估算,系统延迟就能被估算.定义,对于刚性频率部分,转子的弯曲可被忽略,即
图四中的块变换被用来减轻系统,其中
为恒定实矩阵
用表示刚性模型,注意到基于结构H2, 对H2使用负反馈Gamma;可以获得.
即
等同于
令,则为
将测量值代入上述等式,然后和可以通过附录A中的方法估计得到
3.3 柔性部分的识别
在刚性频率部分,转子视为刚体.另一方面,众所周知的是对于足够大的omega;, 非常小.在实际中,基于[19]中提出的方法,模型可以从实验中通过不同的偏置电流测得;从与典型柔性转子相关的实验结果来看,我们可以总结得到,对于一阶弯曲,已经足够小,以至于.类似的,对于足够大的omega;, .因此反馈可以近似于,或者等于图四中的矩阵Gamma;,即
通过消除H1中的反馈项,得到
对右侧除以,定义
此外还有
其中E为全一矩阵.用表示中的参数.
等式22涉及参数和.原则上,这些参数可以通过关系等式22(a)估计得到.然而这里我们引入了另一个等式22(b).事实上,在[13,14]中已被彻底的过,电流谐振频率在定义转子的柔性行为中起到关键作用, 因此，我们期望确定的模型与接近电流谐振频率的测量数据的精确一致.现实中我们发现在范围内变化显著,它在共振频率附近较大,在反共振频率附近较小.例如,在第四章的图九,对于和两种频率,比例.因此如果参数和通过等式(22.a)估计,那么附近的估算错误就会被附近的错误掩盖.作为结果,在实际中我们已经注意到在附近估算结果与测量值差距较小,而在附近差距较大.因此引入等式(22.b)来确保估算性能.
假设已被给定,等式(22)对线性相关且可以通过线性LS方法解决.这个线性LS问题的解决方法并不难,计算复杂度也不高.因此可以定义一个从到余项L的映射.通过非线性极小化,可以得到的估算值.下面的分段会讨论其细
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