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基于分数阶微分的图像去噪模型
传统的基于整数阶偏微分方程的图像去噪方法往往会造成图像边缘模糊，纹理细节表达不够清楚。因此，在图像去噪时，纹理效果不是很好。为了解决这个问题，提出了使用分数阶偏微分的Denoisingmodel方程，采用新的数学方法——分数阶微积分。图像处理的演变从先前的研究，我们知道，分数阶微积分与整数阶微分的性质相比有其独特之处，它可以在数字化的过程中非线性增强图像的纹理细节。本文提出了改进的分数阶微分算子，它扩展了传统的整数阶方程并提出Fractionalgreen公式和分数欧拉—拉格朗日公式，用于处理二维图像，然后是分数阶偏微分方程去噪模型。实验结果表明，所提出的Denoisingmodel保留高频边缘能力和复杂纹理信息明显优于传统的基于整数阶微积分的算法，特别是纹理细节丰富的图像。
1绪论
分数微积分一直是数学的一个重要分支，首次出现在过去的300年，但是，它仍然被很少人知晓，还主要用于工程方面。其最早可以追溯到1695年，有次德国数学家Leibniz和法国数学家L#39;Hopital讨论当导数的阶不是整数的时候，如0.5时，会是什么意思呢？可是那时候Leibniz并不知道其中的意思，回复到终有一天将会是一个很有用的结果。Thehausdorffmeasure分数阶微积分的已超过90年的研究，比分数度量的欧几里德测度似乎更加完整。在一般情况下，分数微积分欧几里得测度将整数步长扩展到分数步长。欧氏过程的随机变量测量被认为是粒子的位移通过随机运动，因此，可以使用分数演算来用于分析和处理的物理状态的进程。分数微积分有一个明显的特点，即大多数分数微积分是基于幂函数，其余是幂函数的变形形式，这一特性可能表明一些变化规律。科学研究已经证明了分数阶微分对许多自然现象提供了最佳描述。分数阶欧几里德度量中的微积分已被使用在许多领域，包括扩散过程、粘弹性理论与随机分形动力学。分数阶微积分理论应用在现代信号分析与处理，尤其是数字图像处理，是一个新兴分支领域，目前人们探索很少。基于分数阶偏微分方程的图像处理是图像处理领域的一个重要分支。
通过探索图像的本质，人们倾向于重建传统的图像处理方法，并通过证明严格的数学理论，这将是一个巨大的挑战。以实践为导向的传统图像处理，图像去噪是一项重要研究方向，下面有两种去噪方法：非线性扩散法与基于最小能量法的变分法。他们有两个对应的模型，即由Perona和马利克提出的（Perona Malik或PM）各向异性扩散和Rudin等人提出的总变异模型（Rudin Osher Fatemi或ROF）。PM模型模拟热能扩散过程的去噪过程，降噪结果为热平衡状态扩散，而ROF模型描述了相同的能量总变差。在进一步的研究中，一些研究人员应用PM模型和ROF模型的颜色图像，讨论了参数选择的模型，并找到迭代的最佳停止点。Rudin和他的团队提出变步长法求解Euler Lagrange方程。沃格尔和阿曼建立通过一个固定点迭代法的ROF模型来改变稳定性。碳和sigelle分解原来的问题利用马尔可夫方法建立独立的最优随机域水平集方法及其重建全局最优解。Wohlberg和罗德里格兹提出的用迭代加权法求解总变分从而提高计算效率的方法。同时，CATTacute;E等人提出运用高斯平滑过程中的初始阶段，以提高适用性的PM模型。然而，PM模型和ROF模型图像去噪中存在一些明显的缺陷，也就是说容易丢失图像的对比度和纹理细节，可能产生楼梯效果。一些改进的模型有提出解决这些问题的办法。保持对比和纹理细节，有学者提出更换了2范数与1范数。而Osher等人，提出了一种迭代正则化方法。Gilboa等人提出了一种基于数值的去噪方法，这种方法自适应保真项可以随空间变化而变化。
Esedoglu和Osher建议将图像使用各向异性来保持图像的边缘信息，以此消除阶梯效应。布洛姆格伦等人提出了扩展总变差去噪模型改变它的梯度。一些学者介绍高阶导数能量范数，集成的高阶演绎ROF模型，而其他学者提出了一个两阶段的去噪算法，因而相应的向量场应配合使用的曲线表面。上述方法提供了一些改进维护对比度和纹理细节和消除楼梯效果，但它们还是存在一些缺点。第一,改进的算法大大提高了计算机的计算量，实时处理时储存的数据量过大，计算量的限制将导致它们不切合实际。其次，上述算法基本上是基于整数阶的差分算法，从而可能导致边缘信息有些模糊，且纹理上的保留低于预期。因此，我们建议引入一个新的数学知识，即分数阶微积分，它在去噪领域上应用体现出强大的功能。
分数阶偏微分理论的求解，可以由整数阶微分方程的理论来推导。吉多蒂和冯将经典的各向异性扩散模型分数场，能量的扩展梯度算子范数从一阶到分数阶，以及数值实施分数阶方程频域，对图像去噪有一定的影响。然而该算法仍然有一定的缺点。第一,它只取能量范数的梯度算子从一阶到分数阶，仍然不能从本质上解决nonlinearlymaintain纹理通过各向异性扩散细节的问题。因此，纹理去噪后信息保留不好。其次，该算法不包括分数阶微分对能量范数和分数极值非线性保持纹理细节的影响。第三，该方法不能推导出相应分数阶欧拉—拉格朗日公式。根据分数阶微积分的特点和公式，直接根据复共轭转置替换希尔伯特伴随算子的特征，它将大大提高了分数的数值，实现了复频率场上的方程。最后，该分数阶微积分在傅立叶变换中的传递函数域，从它的形式上非常简单，但傅立叶的逆变换属于第一类欧拉积分，这在理论上是很难计算的。这个由algorithmsimply转换的一阶差分为和差分替换的分数微分算子，它并没有解决了computingproblemof欧拉积分。
2分数阶微分基础
分数阶微分的性质如下：首先，一个常数的分数微分是非零，而整数阶微分才是零。分数微积分从一个最大的奇异点变为平滑区域的跳跃点为零不变或不改变；注意，默认情况下，任何平滑区域的整数阶微分近似到零，这是显著的区别分数阶微分和整数阶微分。二，梯度起点处的分数微分的信号相位或斜率是非零，非线性提高高频元件的奇异性。随着分数阶的增加高频分量的奇异性也增加。例如，当0 lt; v lt; 1，可视为v = 1。整数阶微积分是一个特殊的情况下分数阶微积分。最后，分数阶微积分沿斜率既不是零也不是常数，而是非线性曲线，沿斜率的整数阶微分是常数。
抽象与应用分析从这个讨论中，我们可以看到分数微积分可以非线性增强复杂的纹理细节。分数微积分可以非线性平滑保持低频轮廓特征，非线性频率边缘和纹理细节在这些领域灰度变化频繁，和非线性增强高频在那些灰色区域的纹理细节改变不明显。基于分数阶偏微分方程的去噪算法提出。实验结果证明它不仅可以保持低频轮廓特征在平坦的地区还保持高频非线性边缘和纹理细节都在哪些领域灰度变化不明显或变化频繁。作为纹理丰富的图像，保留高频的能力边缘和复杂的纹理细节的建议分数阶去噪模型，效果将明显优于传统的基于积分的算法。首先介绍了三种常用的分数阶微积分，即G-L定义，Riemann Liouville，和Caputo。。其次我们二维图像的分数格林公式通过将经典整数阶扩展到分数阶分数欧拉-拉格朗日公式。在此基础上分数偏微分方程。最后，我们展示了该模型的去噪能力与高斯消噪相比，四阶电视去噪，双边滤波去噪，Contourlet消噪，小波去噪，非局部均值滤波（NLMF）去噪，分数阶各向异性扩散去噪。
分数微积分中常用的定义欧氏测度是G-L定义，Riemann Liouville的定义，和Caputo定义。G-L认为顺序差信号可以用：
(v为任何实数包括分数）。v表示G-L定义的分数阶微分算子，Gamma;为伽玛函数。方程表明，G-L的定义在欧氏度量扩展从整数到小数，从而扩展了阶数fromintegerG-L定义的分数阶微积分的计算，这是tothediscrete采样值和irrelates的衍生物或积分值。Riemann Liouville定义的v-顺序积分当V＜0显示为
分数阶微分的理论分析微分方程：分数总数变异和分数最速下降基于方法的多尺度去噪纹理图像模型。
分数阶Green公式的两维的图像，在欧拉-拉格朗日制定实施的前提是获取适当的格林公式。我们因此可以延伸fromthe整数阶公式对分数阶的分数阶欧拉进一步实施。拉格朗日公式的两维图像，考虑到简单的连通区域Omega;是平面，分段光滑的曲线边界；然后在differintegrable函数是连续在Omega;上的，和分数阶连续偏导存在与存在。如果我们考虑1代表一级微分算子，则V代表v顺序分数微分算子，minus;1表示一阶积分运算符，minus;V代表v-顺序分数积分算子时，注意到表示曲线曲面的v-顺序积分算子的Omega;平面。是v-顺序积分算子在沿曲线方向的剖面图。vminus;是v-顺序分数次积分算子在封闭曲线逆时针方向。
分数阶欧拉-拉格朗日公式是二维的的图像。实施分数阶偏微分基于去噪模型的方程，我们得到的分数阶。欧拉-拉格朗日制定的，因此我们的第一步，deduce分数是二维欧拉-拉格朗日公式基于上述图像分数阶的Green公式。考虑differintegrable函数在二维的数值空间是differintegrable，向量函数是分数阶微分算子是在这里，V是类型线性算子。当v = 0，那么表示一个等式。这是一个微分算子，也没有积分，再和分别代表中的单位向量和的方向。在一般情况下，两维的图像简单连通的矩形空间，从而在分段分式方程是相应的欧拉-拉格朗日公式。在（0,1）是什么，我们知道的这分数阶欧拉-拉格朗日公式是失去的分数阶积分的积分表面。我们只采用第一阶表积分，而分数阶是Omega;时我们讨论能常模分数偏微分基于结构方程模型在图像去噪中的应用。
基于分数阶偏微分方程纹理图像去噪方法。基于分数阶欧拉-拉格朗日公式是二维的的图像，我们可以实现分数阶偏微分结构方程模型在图像去噪方向，在一个图像区域表示的灰度值的像素。美国的图像和噪声来代表美国所需的干净的图像。由于噪声可以转换加性噪声进行处理，当它是multiplicative日志噪声和添加剂噪声进行频率变换和日志当它是卷积噪声的处理，我们在这里认为，我们只注意分数偏微分基于方程的去噪模型（分数阶）纹理图像的数学方法去噪。数值迭代时，我们需要执行低通滤波，完全去除微弱的噪声非常低频直流。我们知道从FDM提高了非线性调节效应，通过continuallymultiplying功能Pi;阶和增强非线性通过增加Gamma;为V3的调节作用。另外，我们从FDMis传统的势方程或椭圆方程，传统的热传导方程或抛物方程当，与传统的波动方程或双曲线方程。连续插值传统的势方程和热传导方程当0 lt; V3lt; 1与连续插值传统的热传导方程和波动方程当1 lt; V3lt; 2。FDM将传统的基于偏微分方程的图像处理整数阶的各向异性扩散方法，分数偏微分方程的导通方程数学物理意义上的方程。
要注意以下几点数值迭代实现。首先，是一个小编号确保收敛，并在这里取值为 0.005。第二，我们不需要知道或估计噪声的方差，但我们需要承担一个第一次迭代中的小正数。因此我们假设在下面的实验。我们采取上述算法并进行数值迭代。每个迭代结果可能结果是不同的，但它是近似噪声方差。第三，V1= 0数值迭代计算，因此我们需要| V1| = 0.0689，当| V1|le;0.0689保证是有意义的。完全去噪在非常低频和直流微弱噪声，FDM采取简单的方法，通过减少该地区的梯度不明显改变。我们thereforeneedto对低频和直接进行低通滤波数值迭代电流。做法如下，对于一维信号，我们认为如果噪声不严重，以确保去噪效果，并在其余条件下，我们认为是合理的。
3 分数阶部分的去噪能力分析
基于微分方程的纹理去噪模型图像。分析和解释分数阶偏微分方程的去噪对纹理图像的模型，我们进行对比实验采用复合一维信号组合，有矩形波、正弦波和锯齿波。数值迭代将停止在该点峰值信号噪声比（PSNR）是最高的。从主观视觉效果我们知道，首先，高斯去噪的去噪效果和四阶去噪相对较差其他，和高频奇异分量有了很大的扩散，我们可以看到fromfigures平滑。高频边缘的凸起矩形波和锯齿波显着平滑高频奇异能量明显扩散邻。
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