二叉树外文翻译资料

 2022-08-28 12:15:36

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第十二章 二叉树

期权定价领域中一个有用并很常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指在期权期限内可能会出现股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。在极限状态及步长足够小时，该模型与我们将在第14章讨论的Black-Scholes-Merton模型是相同的。实际上，在本章的附录中，我们证明了随着时间步长的减小，由二叉树给出的欧式期权价格收敛于Black-Scholes-Merton价格。

本章的内容之所以重要，有很多原因。首先，它解释了用于期权估值的无套利论点的性质。其次，阐述了二叉树数值计算方法，该方法广泛应用于美式期权和其他衍生品的估值。第三，介绍了一个非常重要的原则，即风险中性估值。

本文采用的一般方法与Cox、Ross和Rubinstein在1979年发表的一篇重要论文中的方法相似。有关使用二叉树的数值计算程序的更多细节，请参见第20章。

12.1 单步二叉树模型与无套利方法

我们首先考虑一个非常简单的例子。假设一个股票的当前价格为20美元，并且我们已知在3个月后股价将会变为22美元或18美元。我们有兴趣对欧式看涨期权进行估值，以便在3个月后以21美元的价格购买该股票。这个期权在3个月后将具有以下两个价格中的一个：如果股票价格变为22美元，期权价值将为1美元；如果股票价格变为18美元，期权价值将为0。情况如图12.1所示。

图12.1 股票价格的数值化实例

事实证明，在本例中，可以使用一个相对简单的方法来为期权定价。唯一需要的假设是市场上没有套利机会。我们构造一个股票和期权的投资组合，这样在3个月结束时投资组合的价值就没有不确定性。由此我们知道，由于投资组合没有任何风险，我们可以认为其收益率一定等于无风险利率。这使我们能够计算出建立投资组合的成本，从而计算出期权的价格。因为这里有两种证券（股票和股票期权）并只有两种不同的可能性，因此我们总是可以构造出无风险证券组合。

考虑一个有只股票的长存头和一份看涨期权短寸头构成的投资组合（是大写希腊字母“delta”）。我们将计算使投资组合无风险的的值。如果股票价格从20美元上升到22美元，股票价值变为22，期权的价格变为1美元，那么投资组合的整体价值为22-1美元。如果股票价格从20美元降到18美元，股票价值变为18，期权的价值为0，那么投资组合的整体价值为18。如果选择的投资组合的价值使以上两种情况的投资组合的最终价值相同，则该投资组合是无风险的。这意味着

即 =0.25

因此，无风险投资组合为

长寸头：0.25只股票

短寸头：1份期权

如果股票价格上涨为22美元，组合价值为

如果股票价格下跌为18美元，组合价值为

无论股票价格是上涨还是下跌，在期权有效期结束时，投资组合的价值总是4.5美元。这表明是在一个期权中对冲空头头寸所需的股票数量。这是本章后面和第18章将讨论的一个希腊字母。

在没有套利机会的情况下，无风险投资组合的收益率等于无风险利率。假设在这种情况下无风险利率为每年12%。那么该投资组合的价值必须为4.5美元的贴现值，即

股票今天的价值是20美元。假设期权价格用f表示，那么投资组合在今天的价值是

因此

即

这表明，在没有套利机会的情况下，期权的当前价值为0.633美元。如果期权价值高于0.633美元，那么构造投资组合的费用将低于4.367美元，而投资组合的收益率将高于无风险利率；如果期权价值低于0.633美元，那么做空投资组合将提供一种低于无风险利率的借款机会。

推广

我们可以将以上的结论推广，考虑价格为的股票和当前价格为f的股票期权（或任何依赖于股票的衍生工具）。我们假设期权持续时间为T，并且在期权有效期内，股票价格可以从上升到一个新的水平，，其中ugt;1，或从下到一个新水平，，其中dlt;1。股票价格上升时的增长比率是u-1，下降时的下降比率是1-d。如果股票价格上升到，我们假设期权的收益为；如果股票价格下降到，我们假设期权的收益为。情况如图12.2所示。

图12.2 在一个单步二叉树中的股票价格及期权价格

与前面相同，我们考虑一个有只股票的长存头和一份看涨期权短寸头构成的投资组合。我们可以找到一个使得投资组合不具有任何风险。如果股票价格上涨，期权到期时投资组合的价值为。如果股票价格下跌，价值就变成了，令以上两个值相等，即，我们得出（12.1）。

在这种情况下，投资组合是无风险的，为了不存在套利机会，它必须获得无风险利率。方程（12.1）表明，当我们在时间T的节点之间移动时，是期权价格变化与股票价格变化的比率。

如果我们用r表示无风险利率，那么投资组合的贴现值为

而构造投资成本的起始成本为

所以

即

将式（12.1）中的代入上式并化简，我们得出

（12.2）

其中

（12.3）

当股票价格变动由单步二叉树给出时，式（12.2）和（12.3）可以用来对期权定价。这个公式所需要的唯一假设条件是市场上没有套利机会。

在前面考虑的数值例子中（见图12.1），u=1.1，d=0.9，r=0.12，T=0.25，=1，和=0。根据式（12.3），我们得出

从式（12.2）中，我们得出

这一结果与本节前面得到的结果一致。

股票收益期望的无关性

式（12.2）中的期权定价公式不涉及股票价格上下波动的概率。例如，当股票上涨概率为0.5时，我们得到的期权价格与上涨概率为0.9时得到的期权价格相同。这是令人惊讶的，似乎违反直觉。我们会很自然地认为，随着股票价格上升的概率增加，看涨期权的价值也随之增加，同时这一股票上的看跌期权价格会下降。但事实并非如此。

关键的原因是，我们并不是在一个绝对的条件下对期权进行定价的。我们是根据标的股票的价格来计算它的价值的。未来股票上涨或下跌的概率已经包含在股票价格中：我们在根据股票价格对期权进行定价时不需要再考虑这些概率。

12.2 风险中性定价

我们现在可以在衍生品定价中引入一个非常重要的原则，即风险中性定价。这表明，在对衍生品进行定价时，我们可以假设投资者是风险中性的。这一假设意味着投资者不会增加他们从投资中获得的预期回报来补偿增加的风险。投资者风险中性的世界被称为风险中性的世界。当然，我们生活的世界不是一个风险中性的世界。投资者承担的风险越高，他们要求的预期回报就越高。然而，事实证明，假设一个风险中性的世界为我们生活的世界以及风险中性的世界提供了正确的期权价格。它几乎奇迹般地解决了一个问题：我们对期权买卖双方的风险规避几乎一无所知。

风险中性定价在首次出现时似乎是一个令人惊讶的结果。期权是风险投资。一个人的风险偏好不应该影响他们的定价吗？答案是当我们根据标的股票的价格为期权定价时，风险偏好并不重要。随着投资者越来越厌恶风险，股票价格下跌，但期权价格与股票价格的相关公式保持不变。

风险中性世界有两个特点可以简化衍生品的定价：

1．股票（或其他投资）的预期收益率为无风险利率。

2．用于期权（或其他任何工具）预期收益的贴现率为无风险利率。

回到式（12.2），参数p应解释为风险中性世界中上涨的概率，因此1-p是这个世界中下降的概率。该表达式是风险中性世界中期权的未来预期收益，式（12.2）表明，期权当前的价值是其在风险中性世界中以无风险利率贴现的未来预期收益。这是风险中性定价的应用。

为了证明我们对p的解释的有效性，我们注意到，当p是上涨的概率时，T时刻的预期股价由下式给出

将式（12.3）代入上式得到（12.4）

(12.4)

这表明，当p是上涨的概率时，股票价格的平均增长率是无风险的。换句话说，当p是上涨的概率时，股票价格的行为和我们在风险中性世界中预期的完全一样。

风险中性定价是衍生品定价中一个非常重要的普遍结果。它指出，当我们假设世界是风险中性的，我们就可以得到所有世界的衍生品的正确价格，而不仅仅是在风险中性的世界。我们已经证明，用一个简单的二叉树模型去描述股票价格变化时，风险中性定价是正确的。可以证明，无论我们对股票价格的变化做出何种假设，结果都是正确的。

为了将风险中性定价应用于衍生品的定价，我们首先计算如果世界是风险中性的，不同结果的概率是多少。然后我们计算衍生品的预期收益，并以无风险利率贴现预期收益。

再论单步二叉树例子

现在我们回到图12.1中的示例，并说明风险中性定价的结果与无套利定价的结果相同。在图12.1中，股价目前为20美元，3个月后将上升至22美元或下降至18美元。这里考虑的期权为欧洲看涨期权，执行价为21美元，期限为3个月，无风险利率为每年12%。

定义p为在风险中性世界中股价上涨的概率。我们可以从式（12.3）计算p。或者，我们可以说，在一个风险中性世界里，股票的收益率期望必须是无风险利率12%。这意味着p必须满足

即

因此p=0.6523

在第3个月后，看涨期权价值为1的概率为0.6523，看涨期权价值为0的概率为0.3477。因此，其期望值为

在风险中性世界，这应该以无风险利率贴现。因此，期权今天的价值是，即0.633美元。这与先前得到的值相同，表明无套利方法与风险中性定价给出了相同的结果。

现实世界与风险中性世界

我们应该强调p是风险中性世界里股票价格上涨的概率。一般来说，这与现实世界里股票价格上涨的概率是不同的。在我们的例子中p=0.6523。当价格上涨的概率为0.6523时，股票和期权的收益率期望均为12%的无风险利率。假设在现实世界中，股票的收益率期望是16%，代表在现实世界里股票价格上涨的概率。那么，所以=0.7041。

在现实世界中，期权的收益期望由下式给出，即0.7041。不幸的是，在现实世界中，要知道适用于收益期望的正确贴现率并不容易。市场要求的股票回报率为16%，这是股票投资现金流期望的贴现率。看涨期权的头寸比股票的头寸的风险更大。因此，适用于看涨期权收益的贴现率大于16%，但我们不知道它应该大于16%多少。使用风险中性定价解决了这个问题，因为我们知道在风险中性世界里，所有资产的收益率期望（和所有收益期望的贴现率）就是无风险利率。

12.3 两步二叉树

我们可以将以上的分析推广到两步二叉树，如图12.3所示。这时股票起始价格为20美元，在树中的任意一步之间，股票价格可能上涨10%或下跌10%。我们假定树中每一步的步长均为3个月，无风险利率为每年12%。我们考虑6个月的期权，执行价为21美元。

这里分析的目的是计算在树的初始节点时的期权价格。我们可以重复利用本章前面建立的定价原理来实现。图12.4显示了与图12.3相似，但是每个节点都有股票价格和期权价格（股票价格是上面的数字，期权价格是下面的数字）。树的最后一个节点的期权价格很容易计算。它们等于期权的收益。在节点D，股票价格为24.2，期权价格为24.2-21=3.2；在节点E和F，期权不在货币范围内，其价值为0。

在节点C，期权价格为0，这是因为节点C的价值来自节点E或节点F，而在这两个节点上期权价格均为0。为了计算节点B的期权价格，我们考虑由图12.5所示的二叉树上。使用本章前面介绍的符号，u=1.1，d=0.9，r=0.12，T=0.25，因此p=0.6523。由式（12.2）给出了节点B处的期权价值为。

最后我们需要计算初始节点A的期权价格。为此，我们考虑二叉树的第一步。我们知道节点B的期权价值为2.0257，节点C的期权价值为0。因此，由式（12.2）得出在节点A上的期权价值为，那么期权价值为1.2823美元。

请注意，此示例的构造使u和d（股票上涨及下跌的比率）在每一节点上均相同，而且树中每一步的步长也均相等。因此，由式（12.3）计算的风险中性概率p在每一个节点上也是相同的。

图12.3 两步二叉树中的股票价格

图12.4 两步二叉树的股票价格及期权价格（每个节点的上数是股票价格，下数是期权价格）

图12.5估计节点B上的期权价格

推广

我们可以通过考虑图12.6中的情况来概括两步二叉树的情况。股票价格最初是。在每一步中，它要么上涨到初始值的u倍，要么下跌到初始值的d倍。期权价值显示在树上。（例如，股票价格上涨两次后，期权价值为）。我们假设无风险利率为r，步长为年。

因为步长是而不是T，所以式（12.2）和（12.3）变为

(12.5)

(12.6)

重复应用式(12.5)，我们得到

(12.7)

(12.8)

(12.9)

将式(12

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