论马氏体制转换期权定价经济下风险最小化组合外文翻译资料

 2022-07-27 14:33:48

论马氏体制转换期权定价经济下风险最小化组合

摘要

我们认为一段连续时间内马氏体制转换经济模型里的风险最小化问题受本时间段内可观察到且有限的马氏链所影响，它的状态代表了不同的市场体系。我们采用凸风险度量的一种特殊形式，将熵风险度量看做个案，作为风险度量的一种。风险最小化问题被看做是马氏体制转换版的双人零和随机微分博弈。本模型的一个重要特征便是允许灵活控制代表金融风险的扩散过程和代表宏观经济风险的马氏链。从随机微分博弈和随机控制的角度来说，这都很新颖有趣。 本文提供了验证Hamilton-Jacobi-Bellman解决该博弈的定理，并对某些特殊案例也给予了讨论。

关键词：风险最小化;凸风险度量;随机微分博弈;HJB体制转换方程;测量方式变换

1介绍

在现代银行业和金融业，风险管理是个重要课题。最近一些金融危机，包括亚洲金融危机、美国长期资本管理公司的崩溃和巴林银行及美国奥兰治县的动荡，可能都是由于风险管理操作不当所致。这些引发了监管人员或央行人员对于银行和金融机构风险行为和风险管理操作的担忧。在风险管理的众多课题中，采取合适的风险度量方法是第一步，也是十分重要的一步。监管人员推荐使用风险价值的方法（VaR）来进行风险度量。在风险度量和管理方面，VaR是一种规范且普遍的工具。它给出投资组合可能损失的统计估计，这样一来投资组合所有者便有心理准备负担起既定时间内在某个可能区间浮动的损失。它广泛为银行和金融机构所使用，用于资本分配和给不同交易大户室设定风险上限。为了对VaR概念及其实际使用有大致的了解，我们查找了J.P.摩根的《风险度量》—技术文件，尽管风险度量和管理靠VaR, 但最近一些报告指出它没有满足一些人们想要的理论属性。在一份Artzner al.（1999年）撰写的重要论文中，作者研究出了构建风险度量的理论方法。他们展现并论证了一系列人们所需且理论上一致的风险度量方法应满足的属性。他们介绍了前后连贯的风险度量方法组，它们能够满足这些性能，因此也成为了前后连贯的风险度量方法的代表。众多属性中，次可加性似乎是最终要的一个。这项性能的本质是两种风险位置的合并总能降低风险。风险降低情况则各异。Artzner al.注意到VaR总体上并不能满足次可加性这项特性。这也鼓励着人们探索一些理论上前后一致的风险度量方法。 Follmer、Schied (2002)、Frittelli和Rosazza Gianin (2002) 认为在许多例子中，一种交易组合的风险可能随着组合的规模而以非线性的方式增长，这是由于大规模组合带来的额外流动性风险。 他们减少了对次可加性和正齐次性的关注，并用凸面性替换了它们。他们拓展了连贯风险度量的含义，并介绍了凸风险度量组。基于“情形”潜在空间的概率度量，他们为凸风险度量证明了表示定理。

近年来，文献中出现了很多金融里体制转换模型的应用。进行此类方面工作的人包括Elliott，der Hoek(1997), Pliska(1997), Guo(2001), Hinz(2002), Buffington，Elliott(2002a,2002b), Elliott et al.(2003), Elliott and Kopp (2004), Elliott et al. (2005)以及其他人。在数份研究各种体制转换模型的金融应用的工作中，定量风险管理中体制转换模型的应用收到的关注相对较少。其中便包括Elliott et al(2006)和Elliott et al(2008)进行的工作。然而，这些研究工作专注于风险度量的某些方面，不涉及风险管理和管控课题。定量风险管理中的体制转换效应对于长期金融风险管理尤为重要，因为一长段时间内可能出现经济或市场情况交替。除开风险度量，在定量风险管理操作中一个同等重要的课题是如何优化交易仓位，最小化或管控好仓位风险。

本文中，我们讨论的是投资者在一段持续的时间里马氏体制转换模型情况下选择投资货币市场账户还是股票所涉及的风险最小化问题。这里，股票价格浮动遵循马氏转换体制几何布朗运动，包括货币市场账户利率在内的市场参数、增值率和股票的波动都受本时间段内可观察到且有限的马氏链所影响。可观察到的马氏链的状态可理解为一个地区的信用评级或主权信用评级，这可以透露出该地区经济情况。我们也可将可观察到的马氏链状态理解为一些可观察到的经济指数的代表，如国内生产总值和零售价格指数。连续时间内的马氏体制转换模型提供了一种自然且灵活的方法将经济情况的结构变化纳入资产价格动态。从经验主义的角度看，它比常系数模型更好。从经济角度来看，马氏转换体制模型能够灵活描述随着时间变化投资机会随机变化的的情况，而常系数模型里没有这项重要特征。我们认为对于投资者终端财富的特殊形式凸风险度量方法是有风险的。这种方法包括作为个案的熵风险度量。该度量方法是凸风险度量的一个经典例子，并且与效用函数相对应。当前设定中，在凸风险度量的形式下，风险最小化问题被看做是马氏体制转换版的双人零和随机微分博弈，也就是市场和投资者。在这场博弈中，投资者选择交易策略，使面临的风险最小化，而市场则反向回应，给出风险最大化情形的真实概率度量。市场此处扮演的是虚拟对手。

此处认定的模型与Mataramvura 和Oslash;ksenda的不同。我们认定是马氏体制转换模型，带有随机的投资机会组，他们认定的则是常系数跳跃扩散模型。 在我们模型中，投资者面临两种风险源，一种是描述股票价格随机冲量的扩散风险，另一种是描述经济状况不稳定性的体制转换风险。因此，两种风险源，一种是市场或金融风险，一种是（宏观）经济状况变化带来的风险，都应予以考虑。在评估和管控投资者面临的风险时，尤其是为了达到长期风险管理的目的时，将这两项风险考虑在内是十分重要的。这里，我们灵活处理，在风险评估和管控时将股票价格随机波动的最差情形同经济情况的最差情形计算在内。这使得我们的评估和管控更加审慎。为了达到这一点，我们采用了经过两次密度加工的产品（这句有问题），一个是给代表扩散风险的布朗运动，另一个是给代表体制转换风险的马氏链，其目的是产生一系列真实概率度量。这样一来，市场便有了两个选择变量——与布朗运动有关的度量方法的变换带来的具有风险的市场价格和马氏链的比率矩阵，如此市场便可选出反应了最坏股票价格波动和经济情况的真实概率度量。从随机微分博弈和随机控制的角度来说，这都很新颖有趣。本文提供了验证Hamilton-Jacobi-Bellman解决该博弈的定理，并对某些特殊案例也给予了讨论。

本文结构如下：章节2—马氏体制转换金融模型下的资产价格动态，章节3中，我们把风险最小化问题构建成马氏体制转换随机微分博弈，章节4给出了博弈解决办法的验证定理，章节5给出了该模型中一些特例的结果，末章总结全文。

2 资产价格动态

此处认定的是一段时间含有两项原始资产的金融模型，分别是货币市场账户和股票。在给定时间（时间t属于0到正无穷）内这些资产可进行连续交易。为了描述金融模型中的不确定因素，我们用了一个完整的概率空间，此处的P代表参考概率度量，一系列连续的真实概率度量便是由此产生。我们采用了一段时间内，有限状态的马氏链来描述宏观经济状况可观察状态的变化。让表示在有限状态空间上的连续时间有限状态马尔科夫链，马氏链的状态代表着不同市场体制。在不损害整体性情况下，我们确定了该链的当前空间为一套有限的单位向量。,其中，并且的第个分量是，对于每个，称为X的规范状态空间。

令表示P的链X的生成器族或速率矩阵。表示在时间t链X从状态j到状态i的转变的瞬时强度。注意，对于每个tisin;T，，，又，所以。对于任何这样的矩阵，写入，这样的标记被Dufour 和Elliott (1999)所采用。有了该链目前空间的权威代表，Elliott et al. (1994) 提供了下列 X的半分解：

其中是在概率测度下关于由X产生的过滤的值。

令表示向量或矩阵y的转置。是中的标量积。货币市场帐户B的瞬时市场利率由马尔可夫链确定为：

其中，，然后，货币市场账户余额的演变由以下因素决定：

链X分别将股票的升值率和波动率分别确定为：和，其中且，其中，

令表示在概率空间中的它自己的自然过滤的增强的标准布朗运动。我们假设W和X是随机独立的。股票的价格过程的演变遵循马尔可夫政策开关GBM：

现在，我们明确模型的信息结构。让和指代由马氏链和布朗运动分别产生的右连续完整滤子，对于每个tisin;T写成，由和生成的放大的sigma;域。回想马尔科夫链的状态被解释为一些可观察（宏观）经济因素的理论，因此，包含由股票价格和直到时间t由马尔可夫链概括的可观察（宏观）经济信息产生的信息。在这里，我们假设投资者在每个tisin;T观察到

接下来，我们开始描述一位投资者财富累积的过程，其将资金投入货币市场账户和股票。设为投入股票资金占总财富的比例，同时，然后，代表投入货币市场账户占总财富的比例。我们假设是G渐次可测的，并且cagrave;dlagrave;g（即右连续与左限制，RCLL）。换句话说，投资者是基于股票价格带来的信息和由马氏链归结出的、可观察到的（宏观）经济信息才决定投入股票资金占总财富的比例。在经济和金融文献中，探索金融和宏观经济间的相互作用是很有趣的。在研究风险最小化问题中将价格信息和可观察的宏观经济状况都考虑在内的理论依据便在于此。

我们进一步假设pi;是自给自足（没有收入和消耗），即：

且依概率测度几乎处处成立

对于所有这样的过程的集合写入A. 我们称A为一组可接受的投资组合流程。令表示在时间t，投资组合为pi;的总财富。 然后，财富过程的演变受下式控制：

我们的目标是找到组合pi;，使得该终端财富的风险降至最低。 这里，我们使用被Fouml;llmer和Schied（2002）引入了的凸风险度量作为风险措施。

3 风险最小化

本章中，我们描述了凸风险度量这一概念。然而，我们给出了上一章节中所著的投资者的风险最小化问题，并且将这个问题理解为马氏体制转换版随机微分双人零和博弈。

凸风险度量概念概括了Artzner et al. (1999)介绍的连贯风险度量概念。设S为下界空间， G为可测随机变量。凸风险度量的定义和代表已由Frittelli和Rosazza Gianin (2002)给出，连贯风险度量的定义和代表已由Delbaen (2002)给出。凸风险度量rho;是一个函数，满足以下三个性质：

1.如果且，那么；

2.对任意,如果, 对于所有的，

3.对任意的且，则；

这三种属性分别具有平移不变性、单一性和凸面性。值得注意的是在凸面风险度量中通常认为。

Fouml;llmer，Schied（2002），Frittelli和Rosazza Gianin（2002）提供了凸性风险度量的合适表示，可以通过适当选择概率测量的族，并从该表示生成任何凸的风险度量。令表示相对于是绝对连续的概率测度Q的族。即，如果对于任何，，则，定义函数：对于所有，，。然后，Fouml;llmer和Schied（2002）提供了的凸度风险度量的以下表示：

这里表示Q下的期望。函数被称为“惩罚”函数，和的不同选择产生不同的凸风险度量形式。

我们考虑一种特殊形式的凸性风险度量，让表示风险最小化问题中的实值函数，然后，我们假设罚函数具有以下形式：

注意，Q相对于先验概率P的相对熵由下式给出：

其中表示期望，所以，当时，

在这种情况下，具有罚函数的凸风险度量变成具有风险容忍度alpha;的熵风险度量，即：

熵风险度量首先在Frittelli和Rosazza Gianin（2002）中被考虑到，后来在Barrieu和El Karoui（2005,2007）中被考虑到。它是凸性风险度量的经典例子，并且与指数效用函数相关，如下所示：

这里，表示为确定性等价。现在，我们通过两个密度过程的乘积产生真实世界概率测量族，其相对于P是绝对连续的，一个用于布朗运动,一个用于马尔科夫链。

对于每个,令表示实值的适应的随机过程，使得

定义马尔可夫机制转换过程为：

其中,因此，的每个分量是适应的过程,然后链的状态可以选择哪个分量在时间t处生效,在数学上，然后通过取标量积获得对的依赖性。对于所有这样的矢量过程的空间写入。

考虑一个G适应过程:

(1)

然后，应用伊藤微分规则到(1)中

所以，是局部鞅，事实上

因此，Novikov条件得到满足, 是鞅，且

对于每个定义一个实值，适应的随机过程,使得对于每个tisin;T，

  1. 如果，；
  2. 对每一个,所以

假设是链的第二族发生器或速率矩阵,使得对于每个

其中

如在的情况下，的所有分量适应滤波，当处于时间t时,链的状态选择哪个分量有效。因此通过取标量积来获得对的依赖性。

对每一个写成，这里，是关于可测的矩阵值随机元素，然后

我们希望引入一个新的（真实世界）概率测量，其中C是链X的发生器族,我们遵循Dufour和Elliott（1999）的方法。首先，我们介绍一些符号，令C表示任何这样的族C(t)的空间，tisin;T，对于任意两个矩阵A(t)和C(t)，，由定义的矩阵全部写入，,且为奇偶矩阵。

定义：

(2)

这里，

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