房地产价格与货币政策的计量模型研究外文翻译资料

 2022-11-03 18:55:43

2

单向误差分量回归模型

2.1简介

面板数据回归与常规时间序列或横截面回归的不同之处在于，其对其变量具有双下标。

yit = alpha; X itbeta; uit i = 1,..., N; t = 1, ..., T (2.1)

用i表示家庭，个人，公司，国家等，t表示时间。因此，下标i表示横截面尺寸，而t表示时间序列尺寸。 alpha;是标量，beta;是Ktimes;1，Xit是对K个解释变量的第i次观察。 大多数面板数据应用程序使用单向错误组件模型

uit = micro;i nu;it (2.2)

其中mu;i表示不可观察的个体特异性效应，nu;it表示剩余干扰。例如，在劳动经济学的收入公式中，yit将测量家长的收入，而Xit可能包含一组变量，如经验，教育，工会成员，性别，种族等。注意mu;i是时间 - 不变量，它考虑了不包括在回归中的任何个体特异性效应。在这种情况下，我们可以认为它是个人的不可观察的能力。剩余扰动vit随个体和时间而变化，并且可以被认为是回归中的通常扰动。或者，对于利用跨时间公司数据的生产函数，yit将测量输出，并且xit将测量输入。不可观察的公司特定效应将被mu;i捕获，我们可以认为这些是公司高管的不可观察的企业或管理技能。经济学中误差成分的早期应用包括关于投资的Kuh（1959），关于生产功能的Mundlak（1961）和Hoch（1962）以及对天然气需求的Balestra和Nerlove（1966）。在向量形式（2.1）可以写为

y = alpha;iota;N T Xbeta; u = Zdelta; u (2.3)

其中y是N Ttimes;1，X是N Ttimes;K，Z = [1 / N T，X] =（alpha;，beta;），并且iota;NT是维数N T的向量。此外，（2.2）可以写为

u = Zmicro;micro; nu; (2.4)

其中观察值被堆叠，使得较慢的索引在个体上，并且较快的索引是（v 1，...，u NT，...，u N1，...， 随着时间的推移。 其中IN是维度N的单位矩阵，T是维度T的向量，并且otimes;表示克罗内克积。 Zmu;是1和0的选择器矩阵，或者简单地是可以包括在回归中以估计mu;i（如果它们被假定为固定参数）的各个虚拟变换器的矩阵。 mu;=（mu;1，...，mu;N）和nu; =（nu;11，...，nu;1T，...，nu;N1，...，nu;NT）。注意，Zmu;Zmu;？ =INotimes;JT其中JT是维度T的一个矩阵，P =Zmu;（Zmu;le;Zmu;）-1Zmu;= ，投影矩阵在Zmu;上减少为INotimes;JT，其中Jmacr;T= JT / T。P是对每个个体的时间观察求平均的矩阵，Q = INT-P是一个矩阵，偏离个人手段。例如，在虚变量矩阵Z上回归y获得具有典型元素yi的预测值Py。 =Delta;tT = 1 yit / T，对于每个个体重复T次。该回归的残差由具有典型元素yy i的Q y给出。 ？。 P和Q是（i）对称幂等矩阵， = P和P 2 = P。这意味着rank（P）= tr（P）= N和rank（Q）= tr（Q）= N（T-1）。这使用等幂矩阵的秩等于其轨迹的结果（参见Graybill，1961，定理1.63）。另外，（ii）P和Q是正交的，即PQ = 0，以及（iii）它们与单位矩阵P Q = IN T相加。实际上，这些属性中的任何两个意味着第三1.68）。

2.2固定效应模型

在这种情况下，mu;i被假定为待估计的固定参数，并且其余扰动随nu;t独立和相同分布的IIDne;0，sigma;v2？。 Xit独立于所有i和t的nu;it。 如果我们专注于一组特定的N家公司，比如IBM，GE，Westinghouse等，固定效应模型是一个合适的规范，我们的推断仅限于这些公司的行为。 或者，它可以是一组N个OECD国家或N个美国国家。 在这种情况下的推理取决于所观察到的特定N个公司，国家或国家。 可以用（2.4）到（2.3）给出的扰动来代替

y = alpha;iota;N T Xbeta; Zmicro;micro; nu; = Zdelta; Zmicro;micro; nu; (2.5)

然后对（2.5）执行普通最小二乘法（OLS）以获得alpha;，beta;和mu;的估计。 注意，Z是NTtimes;（K 1），并且单个虚拟元的矩阵Z is是NTtimes;N。如果N大，（2.5）将包括太多的单个虚拟元，并且要被OLS反转的矩阵是大的 和尺寸（N K）。 事实上，由于alpha;和beta;是感兴趣的参数，可以通过用Q先模拟该模型并对所得到的变换模型执行OLS来从（2.5）获得LSDV（最小二乘方虚拟变量）估计量：

Qy = Q Xbeta; Qnu; (2.6)

这使用QZmu;= Q 1 N T = 0的事实，因为PZmu;=Zmu;。 换句话说，Q矩阵消除了各个效应。 这是对于第k个回归者的典型元素（Xit，k-Xmacr;i，k），对于Delta;X= QX，典型元素（yit-ymacr;i）对theta;y= Qy的回归，k = 1,2 ，。 。 。，K这涉及一个（Ktimes;K），矩阵，而不是（N K）times;（N K）的如在（2.5）的反转。 所得到的OLS估计器是

beta; = X Q X minus;1 X Qy (2.7)

其中var（beta;beta;）=sigma;nu;2（Xomega;QX）-1 =sigma;nu;2（Delta;XDelta;X）-1。 可以使用在Davidson和MacKinnon（1993，第19页）中讨论的分区逆或Frisch-Waugh-Lovell定理的结果从（2.5）获得beta;beta;。 这使用P是关于Zmu;和Q = IN T-P的投影矩阵的事实（见问题2.1）。 此外，使用广义逆的（2.6）上的广义最小二乘法（GLS）也将产生beta;beta;（参见问题2.2）。注意对于简单回归

yit = alpha; beta;xit micro;i nu;it (2.8)

和随时间的平均给出

macr;i. = alpha; beta;xmacr;i. micro;i nu;macr;i. (2.9)

因此，从（2.8）减去（2.9）得到

yit minus; ymacr;i. = beta;(xit minus; xmacr;i.) (nu;it minus; nu;macr;i.) (2.10)

此外，在（2.8）中的所有观察值的平均值给出

ymacr;.. = alpha; beta;xmacr;.. nu;macr;.. (2.11)

其中我们利用了限制，即Sigma;iN = 1mu;i = 0。这是对虚拟的任意限制

可变系数以避免虚拟可变陷阱，或完美的多重共线性;见套装（1984）用于该限制的替代制剂。事实上只有beta;和（alpha; mu;i）是可估计的从（2.8），而不是分别不是alpha;和mu;i，除非施加像lambda;iN=1mu;i= 0的限制。在这种情况下，从回归（2.10）获得beta;beta;，可以从（2.11）恢复alpha;和mu;i=ymacr;i。 - alpha;alpha;-beta;beta;xmacr;i。从（2.9）。对于大型劳动力或消费电池板，其中N非常大，回归如（2.5）可能是不可行的，因为一个包括（N-1）个假人回归。这种固定效应（FE）最小二乘法，也称为最小二乘虚拟变量（LSDV），遭受大的自由度损失。我们估计（N-1）额外参数，太多的假人可能加剧多重共线性的问题回归者。此外，该FE估计器不能估计任何时不变的影响变量，如性别，种族，宗教，学校教育或工会参与。这些时不变量通过Q变换，与均值变换的偏差（参见（2.10））被擦除。或者，可以看出，这些时不变量由个体跨越虚拟变量（2.5），因此任何回归包尝试（2.5）将失败，信号完美多重共线性。如果（2.5）是真实模型，LSDV是最好的线性无偏估计量（BLUE），只要nu;it是具有均值0和方差 - 协方差的标准经典干扰矩阵sigma;2

注意，作为T→infin;，FE估计器是一致的。然而，如果T是固定的

N→infin;，这是短期劳动力板中的典型，那么只有beta;的FE估计量是一致的个体效应的FE估计量（alpha; mu;i）不一致，因为它们的数量

参数随着N增加而增加。这是由讨论的附带参数问题Neyman和Scott（1948），最近由Lancaster（2000）回顾。注意当真实模型是固定效应，如（2.5），OLS对（2.1）产生偏见和不一致的估计回归参数。这是一个省略变量的偏差，由于OLS删除的事实个体虚拟实际上是相关的。

固定效应测试。 可以测试这些虚拟变量的联合意义，即H0; 通过执行F检验，mu;1 =mu;2 = ... =mu;N-1 = 0。 这是一个简单的Chow测试，其中受限剩余平方和（RRSS）是合并模型上的OLS的残差平方和无限制残差平方和（URSS）是LSDV回归的残差平方和。 如果N很大，则可以执行Within变换，并使用残差平方和作为URSS。 在这种情况下

F0 =(RRSS minus; URSS)/(N minus; 1)URSS/(N T minus; NK)HOsim;FNminus;1,N(Tminus;1)minus;K(2.12)

计算警告。 对于那些使用由（2.10）给出的Within回归的计算注意。 从一个典型的回归分析得到的该回归的s2将残差平方和除以NT-K，因为截距和假模不包括在内。正确的s2，例如（2.5）中LSDV回归的s * 2， 将相同的剩余平方和除以N（T-1）-K。因此，必须调整从中获得的方差通过将方差 - 协方差矩阵乘以（s * 2 / s 2）或简单地乘以[N T -K] / [N（T-1）-K]来计算内回归（2.10）。

标准误差的鲁棒估计。 对于内估计量，Arellano（1987）提出了一个简单的方法来获得鲁棒估计的标准误差，允许一个一般方差协方差矩阵nu;it，如白色（1980）。 可以将面板作为每个人的公式：

yi = Zi delta; micro;iiota;T nu;i (2.13)

其中yi是Ttimes;1，Zi = [iota;T，Xi]，Xi是Ttimes;K，mu;i是标量， =（alpha;，beta;），iota;T是维数T的向量，nu;i是Ttimes;1。一般来说，对于i = 1,2，...，E i。 。 。 ，N，其中lambda;i是维度T的正定矩阵。对于iisin;= j，我们仍然假设E（nu;ivne;j）= 0。 T假设小，N大，如在家庭或公司面板，并且渐近结果执行N→infin;和T固定。 在这组方程（2.13）上执行Within变换

yi = Zi delta; micro;iiota;T nu;i (2.13)

其中Delta;y= Qy，Delta;X= Q X和Delta;nu;=Qnu;，其中Delta;y=（Delta;y1，...，Delta;yN） 和Delta;yi=（IT -JT）yi。 如White（1980）所述，在每个方程具有相同beta;的约束下，计算该系统上的鲁棒最小二乘法，得到beta;的估计量，其具有以下渐近分布：

N1/2(beta; minus; beta;) sim; N(0, Mminus;1 V Mminus;1) (2.15)

其中，M = plim（lambda;times;Xtimes;lambda;）/ N，V = plimtimes;iN = 1（Sigma;Si1times;itimes;Xi）/ N。 Q diag [alpha;i] QX =Delta;X·diag [alpha;i]·X（参见问题2.3）。 在这种情况下，V由下式估计：＆Delta; V =＆Sigma; i N = 1＆ Delta;Xi/ N，其中Delta;ui=Delta;yi-Delta;Xibeta;beta;。 因此，估计beta;的鲁棒渐近方差协方差矩阵

var(beta;) = (XX)minus;1 i=N1 Xiuiui Xi (XX)minus;1 (2.16)

3随机效应模型

在固定效应模型中存在太多的参数，并且如果mu;i可以假定为随机的，则可以避免自由度的损失。 在这种情况下，mu;i〜IID（0，sigma;2mu;），nu;it〜IID（0，sigma;nu;2）和mu;i独立于nu;it。 此外，对于所有的i和t，Xit独立于mu;i和nu;it。 如果我们从大群体中随机抽取N个个体，则随机效应模型是适当的规范。 这通常是家庭小组研究的情况。 在面板的设计中要小心，使其成为我们试图推断的人群的“代表”。 在这种情况下，N通常较大，并且固定效应模型将导致自由度的巨大损失。 个体效应的特征在于随机和推断涉及随机抽取该样本的群体。

但在这种情况下，人口是多少？ Nerlove和Balestra（1996）强调了Haavelmo（1944）的观点，人口“不是一个无限的个人，一般来说，

无限的决定“，每个人可能会做。 此视图与随机效应规范一致。 从（2.4），可以计算方差 - 协方差矩阵

= E(uu) = Zmicro;E(micro;micro;)Zmicro; E(nu;nu;) (2.17)

= sigma; 2micro;(IN otimes; JT) sigma;nu;2(IN otimes; IT)

这意味着同方差方差var（uit）=sigma;2mu; sigma;v2，以及等关系块对角线协方差矩阵，其仅在相同个体的干扰之间表现出随时间的串行相关。 事实上，

cov(uit, u js) = sigma;micro;2 sigma;nu;2 for i = j, t = s= sigma; 2micro; for i

= j, t= s

否则为零。 这也意味着uit和u js之间的相关系数是

rho; = correl(uit, u js) = 1 fori = j, t =

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