GM(1,N)模型的优化方法的发展外文翻译资料

 2022-11-22 16:23:57

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GM(1,N)模型的优化方法的发展

摘要

以GM(1,N)为代表的多变量灰色模型是一种重要的具有因果关系的预测模型。然而，因为GM(1,N)的结构要比单变量的灰色预测模型GM(1,1)更加复杂，因此，建立一个有效的GM(1,N)模型是比较困难的。GM(1,N)模型的模拟和预测误差通常是要好于那些GM(1,1)模型 。在对传统GM(1,N)模型建模过程的研究中发现了三个严重的缺陷，分别在“建模机制”，“参数估计”和“模型结构”三个方面，这也是导致模型精确度低的主要原因。在本文中，将会提出一个新颖的GM(1,N)模型,通过对传统GM(1,N)模型提出线性修改项和灰色行动数量集来提高模型的表现。新模型有着更合理的建模过程和更稳定的结构这解决传统GM(1,N)模型的三个缺陷。另外，新模型与单变量离散灰色预测模型DGM(1,N)和多变量灰色预测模型GM(0,N)完全地相互兼容。为了证实模型的效用，它曾经被用来模拟材料的抗拉强度。新模型的平均相对模拟和预测的百分比误差是0.0707%和5.7369%，与之相比的是，传统精确的GM(1,N)模型和经典的GM(1,1)模型，它们的则分别为6.0011%，18.4280%和1.1020%，12.5190%。结果表明新模型有最好的表现，一方面，它证实了缺陷分析的正确性，另一方面也证实了传统GM(1,N)模型结构改革的有效性。

1.引言

灰色预测模型（邓，1982年）是灰色系统理论的最重要组成部分之一，它是解决小样本与贫信息中形成的不确定性问题的有效方法。过去的三十年里，灰色预测模型已广泛应用于各个领域，如农业、工业、社会、经济、交通、能源、和卫生保健（刘和 Forrest, 2012;李等, 2016）;并且成功地解决了一大批生产、科研、管理中的重要问题。随着灰色预测模型的应用，原始的灰色预测的模型GM(1,N)被发展成许多新的预测模型类型如灰色模型与 N 变量和一阶或零阶方程，分别为GM(1,N)或GM(0,N)；具有一个变量和二阶方程的灰色系统模型GM(2,N)；具有一个变量与一阶方程的离散灰色模型DGM(1,N).具有一个变量和一阶方程的非齐次指数序列的灰色模型，NDGM(1,1) 和 Verhulst 模型等。预测的对象，还能扩展到序列预测、区间预测，大灾变预测、波形预测等等（曾等，2015年）。

灰色预测模型可以分为两类，单变量模型和多变量模型（刘和林，2010年）。单变量灰色预测模型和GM(1,1)模型一样，同样是一个变量和一阶方程，并且模型对象是一个单一的时间序列。它通过挖掘隐藏在序列中基于灰色生成方法的系统运行规则来预测系统发展趋势。很明显，单变量灰色预测模型并没有考虑到系统中的相关因素的影响，因此它在简单的建模过程中具有优势。目前，广泛研究的单变量灰色预测模型在灰色系统领域中占有领先的地位。然而，这种模型通常以指数形式或以S 形状为特征而且不能反映在系统的发展趋势中的外部环境变化的影响，所以它有很大的局限性

多变量灰色预测模型表示为GM(1,N)。这种模型组成的系统特征序列（或因变量序列）和(N-1)相关因子序列（或独立变量序列）。建模过程中队系统的变化，要充分考虑相关因素对其的影响，而且它还是典型的因果预测模型。GM(1,N) 模型与多元回归模型具有一定相似性，但他们有着本质的区别。前者基于灰色系统理论而后者基于概率统计。多变量灰色预测模型补充了一重结构的缺失和限制了单变量模型的模拟能力。但是，这种模型主要作为一种工具用来分析系统特征序列和序列相关的因素（王，2014; Hsu, 2011;郝等，2013;陈和陈，2011 年;通等，2011）。模型重要的预测能力很少被成功的应用。最主要的原因是在建模机理和模型结构有很大的缺失，这往往会导致比那些在实际应用中的GM(1,1)模型有更大的误差。

为提高GM (1，N) 模型的模拟和预测的性能，Tien（2012 年）对传统 GM (1，N) 模型的结构进行了最优化，在这一领域具有重要的作用。吴等人，（2015 年）提出了新颖的 GM (1，N) 模型，这个新型模型是基于新的信息优先原则而向相反方向积累的生成算子。郭欢等优化了GM (1，N) 模型的背景值。（郭和萧，2013;裴等，2015;熊等，2011a，2011b）。郭等，（2015 年）结合动态系统和传统的 MGM(1,m) 模型的自我记忆原理和优点，提出新型的多变量灰色自记忆。王（2015年）研究了时滞GM (1,N) 模型，并基于此，毛等人（2015 年）提出了考虑累积积分阶数的时间滞后 GM (1，N，) 模型。张（2014 年）通过引入矩形控制函数，构造了基于矩形控制下的多变量的离散灰色预测模型。他和王（2013 年）提出了基于辛普森公式的数值积分的新颖的 GM (1，N) 模型。熊等人（2011a，2011b）研究了多变量的MGM (1，M) 模型与非等时距序列。

上面给出的作品研究的传统 GM (1，N) 模型的模型结构、建模方法、参数的优化方法和因素的时滞问题，和重要的调查结果得出，都需要改进 GM (1，N) 模型。然而，GM (1，N) 模型仍然存在一些严重的缺陷。(I) 作为N 变量的灰色预测模型和一个一阶方程，当 N = 1 现有的 GM (1，N) 模型不能转化为相应的 GM （1，1）模型。这表明， GM (1，N) 模型的结构也存在一些缺陷。(II) 最终GM (1，N) 模型的响应时间表达式，通过一个理想的简化过程，可能会导致GM (1，N) 模型的不稳定。（III）参数估计与参数应用程序之间的错位是传统GM (1，N)模型的第三个缺陷。

在本文，大家对传统GM(1，N)模型的机制缺损、参数缺陷和结构缺陷都有较系统地研究，并基于此，传统 GM (1，N) 模型进行了改进和新的多变量灰色优化模型，提出了引入线性校正期限（kminus;1）和灰色行动数量词。线性校正一词反映了因变量和自变量的线性关系; 之间的线性关系灰色的行动数量词显示在因变量序列中，这些数据改变了关系。这些关系的强弱可以通过其系数调整。新模型具有更为合理的建模过程和更稳定的结构，这解决了传统 GM (1，N) 的三个缺陷模型。此外，新的模型对于离散的单变量灰色预测模型 DGM （1，1）和N 个变量与零阶方程的多变量灰色预测模型GM (0，N)是完全兼容的。新模型的性质是通过研究并证明了的。新模型用于模拟材料的拉伸强度和其精度与那些其他的模型进行了对比。结果表明，新模型具有最佳的性能，从而验证了传统 GM (1，N)模型的缺陷分析是正确的和对结构改革的 GM (1，N) 模型是有效的。

除了灰色预测模型，在软件计算的领域还有其他大量的预测方法，如数据驱动输入变量选择（Taormina和Chau，2015年），多子群粒子群优化算法 (张和Chau (2009a，2009b)，ARIMA的复合模型（自回归综合移动平均模型）和 EEMD （经验模态分解） (王等，2015年)，半-SLLE的方法（局部线性嵌入）（张和Chau（2009a，2009b））和各种技术的组合预测模型（Chau和吴，2010年）。这些方法成功地用于预测流、年径流时间序列、日降雨或流动 (吴等2009年)。灰色预测模型和上述的模型之间的主要区别是前者对于样本的个数要求并不严格，然而，后者往往需要大样本数据（通常大于30个样本）。

本文的其余部分是有组织如下。第2节中我们介绍传统 GM (1，N) 模型，并分析其主要缺陷。在第 3 节中，我们提出了优化 GM (1，N) 模型，和研究参数估计方法，导出时间黄金甲表达式证明一些属性拟议的 GM (1，N) 模型。在第 4 节中，我们使用到寺蓄积模型和预测材料的拉伸强度。第5节中，我们得出结论。

2.分析传统 GM (1，N) 模型的缺陷

GM (1，N) 模型是一个与 N 变量一阶方程的灰色系统预测模型（刘和林，2010年）。较之传统的单变量灰色预测模型，如 GM （1，1）和DGM（1，1），GM(1,N)模型综合考虑系统中的相关因素影响;因此它在模拟运作规律和系统的发展趋势比那些单变量的灰色预测模型系统更有用。定义的 GM (1，N) 模型是，如下所示。

定义 1.让系统特征序列（或因变量序列）。

让 ( i = 2,3,...,N) 为被解释变量序列（或独立变量序列），与序列

有很强的相关性。

让为的1-AGO序列(累加生成算子)

让为的紧邻均值生成序列，

其中

这叫做GM(1,N)模型。

注意：在一般定义中，文中的lsquo;Nrsquo;是值得变量的数量，lsquo;nrsquo;表示的是序列中元素的数量。为了避免lsquo;Nrsquo;和lsquo;nrsquo;的混乱，文中的lsquo;nrsquo;由lsquo;mrsquo;代替来表达元素数量的意思，这有助于我们更清楚准确的对GM(1，N)模型进行定义。

定义2. 在GM(1,N)模型中，叫做系统发展系数，称为驱动项，称为驱动系数，称为参数列。(刘和林，2010)

定理1.(刘和林，2010)设为系统特征数据序列，(i=2,3,hellip;,N)为相关因素数据序列，为的紧邻均值生成序列，参数列的最小二乘估计满足

其中，

定义3.(刘和林，2010)设，则称

(3)

定理2.(刘和林，2010)设，，和矩阵B,Y,如定义1和定理1中所述，则

（a）的白化方程的解为

（b）当，被看作为一个灰色常数。则GM(1,N)模型的近似时间响应序列为

这里被看作为，这是GM(1,N)的原始值。

（c）GM(1,N)的逆积累的恢复为

通过对定义的深入研究和传统GM(1,N)模型的建模过程，发现在建模机制、应用和模型结构中的参数中存在一些缺陷。这些是影响传统GM(1,N)模型稳定性的主要原因如下所示。

Ⅰ. 机制缺陷. 众所周知,推导在理想条件下的GM(1,N)的白化方程的解的到近似的时间响应函数，传统的GM(1,N)模型的建模程序，存在简化处理。特别的，在(i=2,3,hellip;,N)的变化范围非常小的前提下，被看作是个灰色常数，而且式子(5)可以由式子(4)推导出来。实际上，(i=2,3,hellip;,N)的变化范围变得非常小的条件是非常难以遇见的，因为(i=2,3,hellip;,N)经常表示为不同的变量和有不同的变化特征、动态规律和发展趋势。因此，在定理2中式子(4)到式子(5)的推导太过于理想以致于与真实情况并不一致。这是一个导致GM(1,N)不稳定的重要的因素，这是属于机制缺陷。

Ⅱ.参数缺陷. 参数列是通过基于式子1的原始估计矩阵(OLSE)来估计的。这可以保证在存在的基础的模型序列中系统特征序列，AGO序列(i=2,3,hellip;,N)和紧邻均值生成矩阵有着最小的误差。然而，式子(5)的GM(1,N)模型的时间响应表达式并不能从式子(1)中推导出来，但是可以从GM(1,N)模型的影子方程中推导出来。换句话说，来自于式子(1)的参数列被看作是式子(5)的参数。参数估计和参数应用之间的混乱是另一个导致GM(1,N)模型性能的不稳定的重要因素，这属于参数缺失。

Ⅲ.结构缺失.从式子(1)中很容易可以看粗，GM(1,N)模型是一个因素和状态的模型并且其结构相对比较简单。一方面，它缺乏挖掘模型自身的灰色行动数量并且认为不是变量k的线性关系影响的GM(1,N)模型的性能。另一方面，GM(1,N)模型是N个变量一阶方程的灰色系统预测模型，然而，当N=1时，传统的GM(1,N)模型并不能转化为相应的GM(1,1)模型。这就能反映出在传统的GM(1,N)模型的结构中，有着很多的问题。这导致了GM(1,N)模型一个低的预测精度，这些是属于结构缺陷。

3.一个优化的GM(1,N)模型及其特性

在这节中，一个旨在修改机制缺陷、参数缺失、结构缺失的传统GM(1,N)模型的新型GM(1,N)模型提出了。

定义4. 设为系统特征序列(或因变量序列)，(i=2,3,hellip;,N)为相关因素序列(或自变量序列)，是的1-AGO序列(累加生成算子)，设为的紧邻均值生成序列，则

称为传统GM(1,N)模型的优化模型，短期OGM(1,N)模型。和在式子(7)中相应的称作线性修正项和灰色行动数量项。

定理3.设，(i=1,2,hellip;,N)如定义1中定义的那样，所以参数序列的最小二乘估计满足OGM(1,N)模型为

其中

B= ，Y=

定理3和定理1相似的证据被遗漏了。

定义5.在定义4中，对于OGM(1,N)模型，与定理3中的参数列相同，则称

为OGM模型的差分模型。

定理4. 在定义4中，对于OGM(1,N)模型，其时间响应表达式为

其中，，

证明.根据定义4，我们可以得到

其中k=2，3，hellip;，m. 从定义1

将式子(11)和(12)带入式子(7),我们可以得到

重新整理式子(13)，我们得到

让，

则，式子(14)成为

自式子(15)，当 k=2，

当 k=3，

将式子(16)带入式子(17),我们可以得到

因为不能得到的一般表达式，所以计算过程仍将继续。

当k=5时，

将式子(18)带入式子(1

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