由矩阵索引的高斯过程的集中不等式外文翻译资料

 2022-11-26 20:14:47

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由矩阵索引的高斯过程的集中不等式

Nora Serdyukova

University of Concepcioacute;n, Chile

摘要：获得由矩阵索引的特定类型的Itocirc;积分的集中不等式。这种类型的随机过程出现在非参数多变量函数估计的框架中

关键词：集中不等式，Itocirc;积分，非参数函数估计

1介绍

测量集中度是经典问题之一，并在过去四十年中得到广泛的研究。最近，它已成为非参数统计学中最强大的工具之一，特别是在机器学习和自适应估计中，参见Boucheron等。（2013年）及其中的参考资料，概述了该领域的最新进展。

值得一提的是，矩阵索引的随机过程的集中不等式尚未得到充分研究。本文的目的是在结构适应性方法的背景下，仿照如Goldenshluger和Lepski（2008,2009）和Lepski和Serdyukova（2013年，2014年）给出相应的结果。统计学中，作为广义线性模型的自然松弛的单指数建模F（theta;）= f（）意味着链接函数f和索引向量theta;都是未知的，因此必须进行估计。在这种情况下，矩阵E的元素（见（1））是矢量theta;的分量，一些与非参数估计参数有关。本文的组织结构如下。证明在第3节中给出。

2集中不平等

令D为和{W（t），tisin;D}布朗样本中的有界区间。令索引集合，0 a，A infin;，是一组dd矩阵，使得

| det（E）| ge;a，le;A，forall;Eisin;。

这里，= | | 表示矩阵上限范数，矩阵E的最大绝对值输入。

假设函数L：→R在上具有紧支撑，积分为1，= 1，并满足Lipschitz条件

这里是欧几里得规范。令yisin;固定。在参数集上，由高斯随机函数定义

其中是标准范数。令c=和

命题1.对于任何zgt; 0

此外，对于任何qge;1

这个结果推广了Lepski和Serdyukova（2013）。

3证明

由于（）是一个零均值高斯随机函数，考虑到明显的关系，= []or;[]，我们有

用ϱ表示由（）对产生的内在半度量，即

不失一般性，我们假设,那么，与Lepski和Serdyukova（2013）类似，我们有

.

.

.

.

利用假设ge;a，第一项很容易被有界控制：

.

至于第二个项，令

.

由柯西 - 施瓦茨不平等，我们得到

.

作为2ge;1，我们有

.

首先，我们注意到，对于任何E =和E=isin;，通过使用行列式的定义和三角不等式以下约束：

.

其次，因为L满足Lipschitz条件与常数Upsilon;，我们有

从a和b的基本不等式可以看出。因此，对于任何E，E，，le;A，我们有

和与（3）-（5）对于任何dge;2的边界一起导致

考虑立方体赋有矢量确界范数。令表示在|中测量的的度量熵。我们显然有

因此，通过表示以测量的的度量熵，我们得到（6）

因此，

注意到对于任何EE，我们根据Lifshits（1995）中的定理14.1，

=:

其中。在这里，我们使用了。定理的第一个断言如下：（2），（7）和Borel-Tsirelson-Sudakov集中不等式。例如定理14.1（1995）。

为了证明第二个断言，我们首先注意到任何qge;1

因此，

其中zeta;〜N（0,1）。所以我们终于有了

参考文献

Boucheron, S., Lugosi, G., Massart, P., 2013.Concentration Inequalities. Oxford University Press, Oxford.

Goldenshluger, A., Lepski, O., 2008. Universal pointwise selection rule in multivariate function estimation. Bernoulli 14, 1150–1190.

Goldenshluger, A., Lepski, O., 2009. Structural adaptation via L p -norm oracle inequalities.Probab. Theory Related Fields 143, 41–71.

Lepski, O., Serdyukova, N., 2013. Adaptive estimation in the single-index model via oracle approach.Math.Methods Statist. 22, 310–332.

Lepski, O., Serdyukova, N., 2014. Adaptive estimation under single-index constraint in a regression model. Ann. Statist. 42, 1–28.

Lifshits, M.A., 1995. Gaussian Random Functions. Kluwer, Dordrecht.

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