金融互相关的随机矩阵理论方法研究外文翻译资料

 2022-07-28 14:13:56

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金融互相关的随机矩阵理论方法研究

摘要：众所周知，经济中任何两个公司都是相关的。甚至属于行业不同部门的公司也可能由于“间接”相关性而相互关联。我们如何分析和理解这些相关性？本文回顾了关于股票之间互相关的最近结果，特别是，我们使用随机矩阵理论（RMT）的方法，其起源于需要理解复杂交互系统的组成元素之间的相互作用，以分析收益率的互相关矩阵C。我们分析了1994 - 1995年这2年期间最大的1000只美国股票的30分钟收益。我们发现统计结果中大约20个最大特征值（2％）显示与RMT的预测存在偏差。为了测试其余的特征值是真正随机的，我们测试诸如特征值间隔和特征值相关性的通用性质，并且证明C与随机矩阵的高斯正交系综合具有通用性质。C的特征向量的统计结果证实了最大的几个特征值与RMT预测的偏差。我们还发现这些偏离的特征向量在时间上是稳定的。此外，我们使用从本地化理论借鉴的反参与率概念来量化对特征向量有意义地参与的企业的数量。

copy;2000年由Elsevier Science B.V出版。保留所有权利。

关键词：随机矩阵理论；互相关；经济物理学

1.简介

在金融时间序列中尺度不变分布和相关函数的增加的证据已经吸引了几个物理学家的注意。这种兴趣的原因之一是寻求引起尺度不变性的机制。在物理系统中，无尺度行为通常由在诸如温度的可调参数的“临界”值附近变为长距离的相关性引起。我们可以理解在类似条款的财务数据中的尺度不变性吗？要回答这个问题，重要的是分析和量化包括该系统的不同单元之间的相关性的性质。因此，理解构成市场的不同单位之间的相关性的问题是科学关注的。此外，精确量化不同股票的收益之间的相关性对于量化股票投资组合的风险，期权定价和预测具有实际重要性。

不同的股票价格变化之间的定量关系的问题可以用以下简单的问题表达。考虑一个包含许多气体分子的盒子，并且假设有记录每一个气体分子速度的一些机制。接下来，假设在一些气体分子之间存在一些随机的成对键。我们如何识别，哪些分子是连接的？问题简单解决：我们从分子的速度（i=1，）的记录开始计算，互相关矩阵,其中表示的标准偏差，表示的整个时间序列的时间平均值。如果我们有无限多的记录，我们将识别非零非对角项，其对应于连接的成对i，j分子。

把问题复杂化一个层次，假设我们没有随机成对的键，而是连接分子簇的键。 我们如何从速度的记录中，找出哪些群集是连接？一种方法是确定矩阵的主成分或特征值（和特征向量）。的特征向量的参与者将包含关于连接分子的簇的信息，类似于N体系统的问题，通过弹簧互连，其中哈密尔顿算子的特征向量包含关于不同振荡模式的信息。

接下来，假设由键连接的簇不只是停留在相同的时间，而是进化，即新分子与已经存在的簇连接，并且作为一个簇的一部分的一些分子变为其他簇的一部分。在这种情况下我们能做什么？我们仍然可以分析互相关矩阵的主成分，其将包含关于在分析的时间段内平均保留在特定群中的哪些分子的信息。如果这些键在时间上的稳定性低，则我们期望测量的相关性大部分是随机的。

最后，如果我们加上问题，用于计算矩阵元素的时间序列的有限长度，则在分析的时间段上，很难确定哪些群集在平均上保持绑定。

2.股票之间的相关性

识别相关的股票的问题与上面讨论的复杂示例不同。

我们有价格波动的时间序列股票（i=1，），我们计算的相关矩阵C有元素

（1）

其中是公司i的价格变化的标准差，表示所研究的时间段内的时间平均值。量化任何两只股票i，j之间的相关性的困难来自以下：

bull;与大多数物理系统不同，没有“算法”来计算两个公司之间的“相互作用强度”；问题是，虽然每对公司i，j都应该直接或间接地交互，但是交互的确切性质是未知的。

bull;相关性不必只是成对的，而是涉及集群的股票。

bull;任何两只股票i，j之间的相关性随时间变化。

bull;对于每只股票i，我们只有有限记录{}，从中可以估计平均相关性。

3.为什么是随机矩阵？

随机矩阵理论（RMT）已被应用于调查全球金融指数和当地股票市场的价格变化的互相关的统计特性。它是在复杂的量子系统中，亚基之间的相互作用的确切性质尚不清楚的背景下发展起来的。对于复杂的量子系统，RMT预测表示所有可能的相互作用的平均值。RMT预测识别系统在考虑非随机性偏差，提供有关潜在的相互作用线索。将互相关矩阵的特征值与随机矩阵的特征值进行比较，我们发现一些特征值偏离RMT预测。最大特征值及其对应的特征向量分量表示整个市场对刺激的集体“响应”。我们发现，危机期间最大的特征值高于任何其他时期，这表明危机期间指数之间存在强烈的相互作用。对应于所有周期中的最大特征值的特征向量的分量是正的，表示对所有金融指数是共同的影响。与第二大特征值对应的特征向量的分量是正和负交替的，并且在危机期间，它们中的一些改变它们的符号。对应于剩余特征值的特征向量在RMT预测的范围内，并且由于危机，它们不显示任何显着差异。

当在测量的相关性中存在随机性时，或者以时间变化的相关性的形式，或者通过用于计算相关性矩阵元素的有限长度，我们如何识别股票的相关群集？ 理解具有随机项的矩阵的性质的问题是具有丰富的历史，其源于1950年魏格纳核物理学的研究工作，随后由戴森和梅塔发展，并且许多结果是众所周知的。在核物理学的境况下，当模型计算未能解释实验数据时，问题是理解复杂核的能级。

这个问题由魏格纳解决，他做出了大胆的假设，即包含核的成分之间的相互作用是如此复杂，以致它们可以被建成随机的模型。结果，魏格纳假设描述重核的哈密尔顿算子H在矩阵表示中具有可以被假定为相互独立的随机数的元素。仅基于这一假设，魏格纳导出H的特征值的统计的性质，其与实验数据非常一致。

RMT预测表示所有可能的相互作用的平均值。与RMT的识别特定系统的普遍预测相偏离，考虑的系统的非随机性质，提供了关于潜在的相互作用的线索。

图1.（a）重核的特征值（能级）间隔的直方图。实线示出了复杂核的能级间隔的魏格纳预测，其使用具有独立随机项的对称哈密顿矩阵的唯一假设来计算。[来源于H.I.Liou等人的著作；对于更多的实例，可参见T.A.Brody等人的著作]。（b）股票价格波动的交叉相关矩阵C在展开后的特征值的最近邻间距分布。黑体线是实对称矩阵的维格纳分布。

维格纳认为这类矩阵是实对称矩阵，其元素是根据高斯概率分布，高斯正交系集（GOE）来分布。对于这样的矩阵，维格纳表明

(s)=exp(-) （2）

其中(s)，有时称为维格纳分布，是能级间距s的分布。这种理论预测随后在经验数据上测试成功（图1a）。

在这里，我们审查如何使用这个框架来量化和了解不同股票之间的相关性。 我们首先计算特征值间隔s，其中表示展开后的排序特征值，并且比较间距分布P(s)与维格纳分布(s)（图1b）。

我们发现结果非常一致——这表明经验交互相关矩阵C确实与实对称随机矩阵（或GOE矩阵）一致。我们还应用更灵敏的测试，如数字方差lambda;并找到与GOE矩阵的RMT结果的一致性，从而确定C与RMT预测的一致性。

从这个结果中我们能推断出什么？从科学角度看，C的特征值统计与RMT结果的一致意味着C具有包含相当程度的随机性的条目。随机性可以是非稳态相关的结果，也可以是所使用的有限时间序列的结果。检验单独的时间序列的有限性不能是与RMT一致的原因，我们将用于计算C的时间序列T的长度增加4倍，我们仍然发现间距分布与RMT预测值一致，表明RMT一致也是由于非平稳相关。从实践方面来看，C统计的RMT一致反对在各种应用中广泛使用经验测量的。

4.与RMT预测的偏差

上面给出的结果是与RMT预测一致的相关矩阵的通用性质。与RMT的偏差表示特定系统的属性，并且源于集合模式的存在。例如，我们发现某些核的水平距离与魏格纳分布的偏差与核的集合模式有关。我们如何检测集体行为？一种方法是研究C的特征值分布。

对于由不相关时间序列构建的C，精确计算特征值分布。因此，我们可以比较P(lambda;)分布与不相关时间序列的预测。图2a给出了C的P(lambda;)分布。我们注意到，分布的“体积”与在参考文献中计算的RMT界限一致。这种比较还指出在随机矩阵界限之外的明显存在几个特征值（图2a）。特别有趣的是最大特征值，其大约是对于随机相关矩阵所预测的值的25倍——表明了不同股票之间的相关性的真实信息。

已经证明大部分特征值满足RMT预测，现在我们继续分析C的特征向量。我们首先分析特征向量的统计结果。随机相关矩阵特征向量分量的分布为零均值和单位方差的高斯分布。对与偏离随机矩阵界限的特征值对应的特征向量的检查示出了与高斯预测的系统偏差。特别地，最大特征值不服从高斯分布，倾向于服从均匀分布（图2b）——这表明所有的公司参与。这个概念可以通过从本地化理论中借鉴的逆参与率概念准确地量化，其中我们发现所有分量确实大致等同于最大特征向量。这意味着每个公司都与其他公司有联系。在股票市场问题中，这个特征向量传达了整个市场“一起”移动并指出贯穿整个系统的相关性存在的事实。

图2.（a）1994 - 1995年两年期间TAQ数据库中最大1000只股票的归一化互相关矩阵C的特征值的概率密度。分析结果预测了不相关时间序列的互相关矩阵在0.37区域内的特征值分布。在随机矩阵界限之外的阴影区域中存在几个特征值。插图显示了1994-1995年记为A，B，C和D四个六个月的子期所计算的相关矩阵的最大特征值，这个虚线表示在整个两年期内最大特征值，这大约是不相关时间序列预测的最大特征值的25倍。（b）RMT界限内的特征值的特征向量分量的分布显示出与高斯行为的一致性，而RMT界限之外的特征值显示出与RMT的高斯预测的显著偏差，这意味着不同的公司之间存在“集体”行为或相关性。最大特征值将对应于整个市场内的相关性。显示的对应于最大特征值的特征向量分量的分布，其符合所有公司贡献的近似均匀分布。

图3.的彩色编码像素表示，其展示了对应于来自周期A和B（相隔六个月）的15个最大特征值的特征向量的标量积：这里，在水平轴上从左到右表示周期A的15个最大特征值的升序，并且类似地，在垂直轴上，从上到下以升序显示周期B的15个最大特征值。 颜色编码是这样做的，蓝色对应0且红色对应于1。对应于最大的四个特征值的特征向量表现出相当大的稳定性（即使对于大约1年的较大时间尺度）。其余的特征向量朝向RMT边界（在水平轴上向左，在垂直轴上向上）显示出较小的稳定性。

此外，我们还检查对应于偏离RMT边界的特征值的特征向量的时间的稳定性。为了测试时间稳定性，我们首先将整个两年期分为四个六个月的子期A，B，C和D。对于每个子期，我们计算一个交互相关矩阵，并计算其特征值和特征向量。然后，我们从每个子时段中看出大约有15个最大特征向量偏离RMT界限。 让我们用（i=1，）表示周期A的15个特征向量（以特征值的升序），并且类似地用（j=1，）表示周期B。我们通过标量积测量时间稳定性

（3）

其中是1515矩阵，N = 1000是每个特征向量的分量数。如果向量是完全稳定的，则我们期望以元素1成为对角阵。没有稳定性将意味着的所有元素都是零。我们从图3中看到，的颜色编码版本，其显示出对应于最大的4，5个特征值的特征向量。当我们朝着RMT界限移动时，特征向量表现出降低的稳定性。

5.相关和缩放？

在前面的章节中，我们提出了不同公司之间不同模式的相关性的证据。例如，互相关矩阵的最大特征值显示出了贯穿整个市场的相关性。在某些条件下的物理系统中，子单元之间的长程相关性引起系统的尺度不变性。上述观察到的互相关是否会引起尺度不变行为？

最近的研究表明，个别公司和标准普尔500指数的收益分布具有以指数 1 的相同的渐近幂律行为。这是令人惊讶的，因为指数收益的分布没有显示收敛于高斯行为——即使形成的单个收益的500个分布在统计学上也不稳定。更确切地说，

（4）

其中，其中表示公司i的市值。从具有有限方差的随机变量的中心极限定理，我们期望的概率分布将显示出收敛到高斯分布，只要在不同i与收益之间没有显着的依赖关系。相反，我们发现的分布与个体公司的分布具有相同的渐近行为。

参考文献表明，当是时间差时，标准普尔500指数收益和个人股票收益之间观察到的缩放行为消失——表明存在造成规模变化行为的非平凡交互相关。使用RMT方法，我们已经看到，最大的特征值是迄今为止对所有股票最常见的影响因素。因此，本着经常使用的市场模式，调和最大特征值的一种可能方式是表达

(t) （5）

其中M(t)表示对所有股票共同的影响，和是可以通过回归估计的参数，以及(t)是一个股票特定项。使用这种简单的市场模型，人们可以将标普500的缩放行为和个人股票收益归因于市场M(t)，这是所有股票的共同影响。

最近的研究还从物理学角度分析了一个每个单元取决于另一个的复杂系统的经济数据。斯坦利和塞林格首先定位和确定了一个数据库——称为COMPUSTAT——列出了美国所有公开交易的公司的年销售额。有了这些信息，斯坦利和同事计算了企业规模从

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