相依随机变量的一种矩最大值不等式外文翻译资料

 2022-12-07 16:23:19

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相依随机变量的一种矩最大值不等式

Zbigniew S. Szewczak

Nicolaus Copernicus University, Faculty of Mathematics and Computer Science, ul. Chopina 12/18, 87-100 Toruń, Poland

摘要：我们证明了相依随机变量之和最大值的矩不等式，并应用它得到一类相依随机序列的柯尔莫哥洛夫 - 布朗克涌 - 普罗霍罗夫强大数定律。

关键字：矩最大值不等式，ϕ，delta;，ϱ系数，强大数定律

  1. 结论

设，是对概率空间中定义的（可能是非平稳）随机序列。令

,,

,

其中是由值产生的-域，结果包含如下定理。

定理1.假设，且.如果，则

（1.1）

对于某些C只依赖和.

不等式（1.1）给出了阶数为的和最大值的矩同阶数为的和最大值的矩的比较，对于独立的随机变量的相应结论可以在Kwapień和Woyczyński（1992）（也可参见3.5节和书目便签页。 92文献）的第27页找到。下一个定理是定理1的结果，给出Utev（1991）定理2.2在（另见林和路，1996年，引理2.2.10，第37页）的结果。

定理2.假设.如果，则

（1.2）

对于某些C只依赖和.

这样的结果，对于q= 2，引出塔尔不等式（见推论1），在验证一致可积（见布拉德利，2007年，第I卷，第386，（6）和第三卷，第240页，（42）），完全收敛性（例如参见贝尔克斯和韦伯，2007年，定理3的证明）以及强大数定律的证明（见定理3的证明）中起着重要作用。

回顾最大相关系数

从定理1.1 Utev（1991）和定理2我们得到罗森塔尔不等式（见布拉德利，2007年，第一卷，第389和Utev，1991，推论2.3）。

推论1.假设是一个中心化的随机序列，使得且.如果，则，对于某些C只依赖，和p

（1.3）

邵（1995）推论1.1中在无条件下获得了类似的结果，而用n代替和在条件下。在推论1下，条件（1.3）得到相依的柯尔莫哥洛夫 - 布朗克涌 - 普罗霍罗夫-威猛强大数定律。

定理3.假设是随机序列，使得，，对于一些且，.让，是一个递增的实数序列,这样对于一些

(i),

(ii)

然后，，几乎可以肯定。

备注1.很显然，定理3（和（1.3））满足，如果我们替换条件为

然而，即使在严格平稳例，它似乎是未知的不管序列是有界或没有（也见布拉德利，2007年，第三卷，第457，P2问题）。

让，是一个定义在概率空间上的一个非齐次马尔可夫链。考虑随机变量，实函数是定义在的状态空间上。定义Dobrushin（Dobrushin，

1956）系数由

这是众所周知的

， （1.4）

（见Sethuraman和Varadhan，2005年和Szewczak，2012）。由此，定理7.5（a）在210页 ，第I卷布拉德利（2007）和定理3，我们得到

推论2.假设是马尔科夫链，使得，对于一些且，如果，，是一个递增序列满足条件定理3的（i）和（ii），那么几乎处处有。

对于，我们从推论2得到柯尔莫哥洛夫 - 布朗克涌定理马尔可夫链（见洛维，1960年，推论，259页）。

备注2.在极限理论里，对于相依随机变量的条件（见例如定理4.1萨姆尔（1984）），（见例如定理11.16的第368页，第I卷布拉德利，2007年），（见例如定理1.3科恩，1965年）或（见例如命题1.2.15在Iosifescu和Theodorescu，1969年）是经常被假设成立的。这些条件对所涵盖的随机变量结构提供了一个额外的信息，特别地消除了所谓的伸缩病理（参见例如实施例2雅库博夫斯基和Szewczak，1990）或确保柯尔莫哥洛夫0-1定律（见命题5.16第178页，第一卷在布拉德利，2007年（1.4））。

2．证明

定理1的证明.由命题9 szewczak（2010）（参见（16）在71页–72）对任何确定的正数

.

设.从而

.

这是典型的霍夫曼–J rgensen不等式相关变体。固定某个和，我们有，

因此右边项随着以及，我们得到

现在，在霍夫曼 - 约根森不等式中取和，可得

此外，如果我们取，那么由马尔可夫不等式和不等式，

另一方面，如果我们有

所以，由此对于

因此

.（2.5）

因此，我们已经证明（1.1）。

定理2的证明.回想Szewczak（2010）69页上倒数第5，第4行上的公式

.

如果我们把后，由马尔可夫不等式

.

因此，整合双方得到

现在，观察到对任何

，

因此

.

因此通过cr-不等式（见洛维，1960年，第155页）

.

变换和再次使用cr不等式得到

.（2.6）

最后插入此项到（1.1），并使用李亚普诺夫不等式（见比林斯利，1995年，第81页，（5.37））得到（1.2）定理证实。

定理3的证明.让为在引理2中Wittmann（1985）。如果，那么，由推论1

因此，我们可以按照132页上的证明。在魏特曼（1985）得到的结论。在一般的情况下，观察到

和从开始不断增加

.

现在，我们可以分别考虑对于每个。由于和（i）和（ii）对指标满足，通过前面的步骤，我们有

,如

对于每个。因为因此我们几乎处处有。通过

及（i）定理3得到证明。

致谢

我要感谢评审人的意见，让本文大大的改进。

参考文献：

Berkes, I., Weber, M., 2007. On complete convergence of triangular arrays of independent random variables. Statist. Probab. Lett. 77, 952–963.

Billingsley, P., 1995. Probability and Measure, third ed. Wiley, New York.

Bradley, R.C., 2007. Introduction to Strong Mixing Conditions, Vols. I–III. Kendrick Press, Heber City.

Cohn, H., 1965. On a class of dependent variables. Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 10, 1593–1606.

Dobrushin, R.L., 1956. Central limit theorem for nonstationary Markov chains I. Theory Probab. Appl. 4, 65–80;

Dobrushin, R.L., 1956. Central limit theorem for nonstationary Markov chains II. Theory Probab. Appl. 4, 329–383.

Iosifescu, M., Theodorescu, R., 1969. Random Processes and Learning. Springer, New York.

Jakubowski, A., Szewczak, Z.S., 1990. A Normal Convergence Criterion for strongly mixing stationary sequences. In: Reacute;veacute;sz, P. (Ed.), Limit Theorems in

Probability and Statistics (Peacute;cs, 1989). In: Colloq. Math. Soc. J. Bolyai, vol. 57. North-Holland, Amsterdam, pp. 281–292. 1990.

Kwapień, S., Woyczyński, W.A., 1992. Random Series and Stochastic Integrals. Birkhauuml;ser, Boston.

Lin, Z., Lu, C., 1996. Limit Theory for Mixing Dependent Random Variables. Kluwer Academic Press, Boston.

Loegrave;ve, M., 1960. Probability Theory, second ed. Van Nostrand, New York.

Samur, J.D., 1984. Convergence of sums of mixing triangular arrays of random vectors with stationary rows. Ann. Probab. 12 (2), 390–426.

Sethuraman, S., Varadhan, S.R.S., 2005. A martingale proof of Dobrushinrsquo;s theorem for non-homogeneous Markov chains. Electron. J. Probab. 10, 1221–1235.

Shao, Q.-M., 1995. Maximal inequalities for partial sums of ϱ-mixing sequences of random variables. Ann. Probab. 23, 948–965.

Szewczak, Z.S., 2010. Marcinkiewicz laws with infinite moments. Acta Math. Hungar. 127, 64–84.

Szewczak, Z.S., 2012. On Dobrushinrsquo;s inequality. Statist. Probab. Lett. 82, 1202–1207.

Utev, S.A., 1991. Sums of random variables with ϕ-mixing. Siberian Adv. Math. 1 (3), 124–155.

Wittmann, R., 1985. An appliction of Rosenthalrsquo;s moment inequality the strong law of large numbers. Statist. Probab. Lett. 3, 131–133.

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