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基于灰色理论和神经网络的新预测法
摘要:在本文中,我们提出了名为GGNNM(1,1)的新的预测模型。首先,在传统的GM(1,1)模型的基础上建立广义的GM(1,1)模型。然后将广义的GM(1,1)模型和神经理论相结合建立GGNNM(1,1)模型。同时给出求解该模型的算法,最后通过例子进行预测显现出该模型的合理性和可行性。
关键词:预测,广义GM(1,1)模型 神经网络 GGNNM(1,1)模型
- 引言
如今,许多学者致力于研究灰色模型和神经网络模型,并且得出结论,可以将这两种模型结合加以改进得出更多预测模型,例如CGNN模型[1],GNNM(1,1)模型,GNNM(2,1)模型[2],
PGNN模型,SGNN模型和GNN模型[3]等。根据这些模型的应用效果,我们可以得到两个结论,第一个是灰色神经网络(GNN)比神经网络模型更易于计算,并且前者的预测精度高于后者;第二个是和灰色预测模型相比,GNN模型具有预测精度高和错误可控性的优点。然而GNN模型在实际应用中的范围很受限制,这个缺点是来自于前传统GM(1,1)模型适用范围的限制,基于传统的GM(1,1)模型以及各种改进的GM(1,1)模型[4-9],本文先提出一种新的广义GM(1,1)模型,然后结合了广义GM(1,1)模型和神经网络理论相结合建立GGNNM(1,1)模型,并给出了该新模型的求解方法。
二、GGNNM(1,1)模型的建立
2.1广义GM(1,1)模型
首先,在传统的GM(1,1)模型的基础上建立广义的GM(1,1)模型。通常前矩阵是一个上三角矩阵,其中主对角元素都是1,在主对角线上方它的每一行元素都是从左往右递减,根据这些特征,我们给出如下定义:
定义1 为一个n阶上三角矩阵,即
(1)
其中,i=1,2......n,就称为一个戈矩阵。
定义2 令为一个序列,为戈矩阵,通过,我们可以得到:
(2)
称为一个加戈系列的,接着我们提出一个新的广义GM(1,1)模型,在式(1)和(2)的基础上,广义GM(1,1)模型可以表示为
(3)
根据GM(1,1)模型的现有结果,广义GM(1,1)模型至少包括以下已知模型,即传统的GM(1,1)模型[4],PGAGO GM(1,1)[8]预测模型,MGAGO GM(1,1)[9]模型,广义PGAGO GM(1,1)和MGAGO GM(1,1)模型。通过以上分析,我们可以得出结论,广义GM(1,1)模型相比于现有的GM(1,1)模型是一个通用模型,根据参数识别法[8][9],可得如下结论。
定理1 设C,D,E,F 为广义GM(1,1)的中间参数,其中
A和B的参数表达式可以表示为
(4)
证明:设
将k=2,3...n带入(3)中,我们可以得到
(5)
系统的方程(5)可以表示为,用取代,k=2,3...n,所以误差可以表示为,假设
当e趋于最小时,a,b应该满足以下条件
(6)
在(6)式中得到C,D,E,F的表达式,在此基础上可以得到(4)式的结果
定理2 广义GM(1,1)模型的白噪声可表示为
(7)
预测公式可以表示为:
(8)
证明方法同定理1
2.2广义灰色神经网络模型GGNNM(1,1)
基于神经网络在智能计算的优势,我们将神经网络理论集成到广义GM(1,1)模型中建立新的预测模型,即GDNNM(1,1)模型,主要建模步骤如下:
- 将白噪声表达式(7)映射到一个BP神经网络,首先转换表达式(7)
(9)
表达式(9)映射到一个BP神经网络
- 确定节点权重值和神经网络阈值。
节点权重赋值如下:
阈值为
- 确定BP神经网络中每一个神经细胞的激活函数,根据式(9)得到神经细胞的激活功能层LB为:,同时,神经细胞的激活功能层LA,LC,LD都是
- 计算每个节点的输出值,通过步骤1,2,3可以得到
- 训练网络
利用反向传播法训练网络,当网络收敛,从训练BP神经网络中提取相关系数,得到一个白化微分方程,通过求解方程达到预测的效果。
- 应用举例
现在我们知道原始数据如下:
- 建立广义GM(1,1)模型
显然,是的一个跳跃点。所以我们可以建立一个PGAGO(1,1)模型,
PGAGO的矩阵为
参照建模[10]的方法,我们可以得到的值,如下:
表1 三种模型的预测结果
k |
|
GM(1,1) |
GNNM(1,1) |
GGNNM(1,1) |
预测值 |
预测值 |
预测值 |
||
1 |
0.727 |
0.727 |
0.727 |
0.727 |
2 |
0.761 |
0.728 |
0.761 |
0.760 |
3 |
0.646 |
0.714 |
0.741 |
0.645 |
4 |
0.735 |
0.7 |
0.722 |
0.735 |
均差 |
6.533 |
5.51 |
0.0024 |
将的值带入公式(4),得到
a=0.01738 b=0.6151
将a和b的值带入公式(7),我们可以得到GM(1,1)的白噪声序列,如下:
(10)
- 建立GGNNM(1,1)模型
根据公式(10),我们使用上述步骤建立GGNNM(1,1)模型,最后的预测结果如表1.
此外,我们还将使用传统的1-AGO GM(1,1)模型和GNNM(1,1)模型[5]来进行预测,预测结果也在表1中,根据表1所列结果,我们可以得出,GGNNM(1,1)模型的预测结果是最优的,其精度可达99.9976%,是可行的,先进的模型。
- 结论
本文提出了一种GGNNM(1,1)的新预测模型,根据所举例子的预测结果表明GGNNM(1,1)模型具有一些优势,具体表现在以下三方面。
- GGNNM(1,1)模型结合了广义GM(1,1)模型和神经网络理论,将广义GM(1,1)模型的白噪声映射到一个BP神经网络上,训练网络过程中,节点值不断地进行修正,灰色模型的参数a与b的值不断改进,所以广义GM(1,1)产生的影响在过程中逐渐提高,因此,GGNNM(1,1)模型在预测精度上有了进一步的提高。
- LB层神经细胞激活函数为一个存在高增益区的S型函数,这表明网络可以通过训练达到收敛状态。
- 另一方面,我们使用加戈系列建立GGNNM(1,1)模型,原始数据的随机性减弱,数据的变化规律很容易找到。此外,我们充分利用BP神经网络的优点如分布式信息存储、较强的容错能力以及自适应去建立GGNNM(1,1)模型,总之,该模型综合了广义GM(1,1)模型的优点以及神经网络的方法,拥有更好的预测效果和重要的理论价值以及实用价值。
致谢:这项工作是由中国国家自然科学基金资助格兰特(No.70671050)和湖北省教育厅重点项目教育(No.d200627005)。
参考文献:
1. Ma, X., Hou, Z., Jiang, C.: Electricity Forward Price Forecasting Based on Combined Grey Neural Network Model. Journal of Shanghai Jiaotong University 9 (2003) 14–23
2. Shang, G., Zhong L., Yan,J.: Establishment and Application of Two Grey Neural Network Model. Journal of Wuhan University of Technology 12 (2002) 78–81
3. Chen, S., wang, W.: Grey Neural Network Forcasting for Traffic Flow. Journal of Southeast University (Natural Science Edition) 4 (2004) 541–544
4. Deng, J.: The Foundation of Grey Theory. Wuhan, Huazhong University of Science and Technology Press (2002)
5. Hung, C., Lu, M.: Two Stage GM(1,1) Model: Grey Step Model. The Journal of Grey System 1 (1997) 9–24
6. Geng, J., Sun, C.: Grey Modeling via Jump Trend Series. The Journal of Grey System 4 (1998) 351–354
7. Chen, C.: A New Method for Grey Modeling Jump Series, The Journal of Grey System 2 (2002) 123–132
8. Rao, C., Xiao, X., Peng, J.: A GM(1,1) Control Model with Pure Generalized AGO Based on Matrix Analysis, Proceedings of the 6th World Congress on intelligent control and automation 1 (2006) 574–577
9. Rao, C., Xiao, X., Peng, J.: A New GM(1,1) Model for Prediction Modeling of Step Series. Dynamics of Continuous Discrete a
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