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新型递归离散多变量灰色预测模型及其应用研究
马新1,刘智斌2
- 中国科学研究所 西南石油大学,成都 610000
- 西南石油大学,成都 610000
摘要:灰色系统是处理不确定问题的有效工具。灰色系统的预测模型非常流行,并已被广泛应用于各个领域。模型是一种新的多变量灰色预测模型,具有正确的解决方案,引起了人们的极大兴趣,但的准确性仍有待提高。在本文中,一种新的多变量灰色预测模型——递归灰色预测模型是基于白化方程的离散多元灰色预测模型。利用数学分析方法,讨论了与的关系和区别,并揭示了在某些应用中不准确的原因。通过三个数值算例,比较了在两种离散条件下,与常规的有效性。数值结果表明,在大多数情况下优于现有的。
关键字 灰色系统;;;灰色模型递归方法
1.引言
灰色系统理论是邓聚龙在1982年提出的一种处理不确定问题的新方法。灰色系统基于“灰盒”的思想,样本小,信息较差[2],这意味着信息不够完整。利用一阶累积生成运算(1-AGO)技术,将拟光滑非负级数转化为近似指数律,即灰指数律[3,4]。几乎所有的灰色预测模型都是用原序列的1-AGO序列构建的,模型的模拟和预测序列都是通过一阶逆累积生成运算(1-IAGO)得到的。目前,模型仍然是最受欢迎的灰色预测模型,已被应用于各个领域[5]并且被推广到其他有效的灰色预测模型,如 [6], [7], [8], [9], [10]和 [11]。的建模程序以连续微分方程开始,称为灰色系统的白化方程。通过对白化方程进行离散化,可以使用最小二乘法来评估参数。然后可以通过模型模拟和预测该系列,并使用白化方程和参数的解。
另一个重要的灰色预测模型是模型[3],它处理多变量预测问题。模型中的项n通常大于或等于2,表示序列的数量。在灰色系统中,模型是一阶灰色预测模型的一般模型,但由于其在应用中的不稳定性,与没有相似的流行度。模型的改进已经吸引了大量的研究,并且已经提出了几个准确的广义模型,例如[12], [13],[14],[15]和[16],这些模型也已应用于许多领域[17,18]。模型已被证明是广义模型中的优秀模型。通过比较和的白化方程的解,[19]已经证明是一个错误的模型,其作为解决方案是错的。
然而,在最近的研究中显示的一些应用中,仍然是不准确的,因此研究人员已经提出了一些改进的方法。何等人[20]指出了的不适定问题并应用正则化方法来提高其准确性。王[21]已经指出本质上是一个线性模型,并提出了非线性模型,它可以更好地反映因果关系。王[22]已经提出了基于纳什均衡方法的改进的。
为了提高现有的准确性和适用性,我们提出了一种新的递归离散多元灰色预测模型,简称为。表示为基于的白化方程和梯形公式的差分方程,并且通过递归方法求解。通过数学分析对与之间的关系和差异进行了讨论,并揭示了导致不准确的原因。与相比,进行了三个数值例子来验证的有效性。本文的其余部分组织如下。第2节简要概述了现有的模型;第3节介绍了的建模过程;第4节比较和之间的关系和差异;第5节举出了三个数值例子,并得出第6节的结论。
2.现有的模型
本节中,我们将简要概述模型。在观察的假设内,来自某个动态系统,具有个输入和一个输出在一定间隔时间内有效。[12]建议模型为以下线性微分方程:
(1) |
其中,
(2) |
和
(3) |
分别是和的1-AGO数据;是构建模型的条目数,是延迟期数,是要预测的条目数,并且和是要估计的模型参数。式(1)也被称为模型的白化方程。如果省略偏差并且,则模型得到传统的模型,这被证明是错误的[19]。当且时,模型服从于:
这是模型。
(4) |
的近似值被视为
背景值和被定义为
(5) |
和
(6) |
然后式(1)可以近似写为以下差分方程
(7) |
的参数由1到的最小二乘估计可以写成
(8) |
其中
,
的响应函数可以通过求解白化方程来获得式(1),如
(9) |
其中,
(10) |
在的原始研究中,右边的卷积积分式(9) 已经使用梯形公式进行了离散化,然后可以通过以下离散函数评估1-AGO系列:
(11) |
(12) |
右边的卷积积分式(9)也可以使用高斯公式和1-AGO进行离散化
系列也可以通过以下离散函数进行评估:
(13) |
高斯公式通常比梯形公式更准确[13],以及离散函数[19]也被用于最近的研究中[14,16,21,22]
预测值给出为
(14) |
如上所述,一旦给出样本数据,系统参数就在式(1)可以获得。然后可以使用离散函数使用系统参数和输入序列预测输出序列。
3.模型
在不失一般性的情况下,我们基于白化构建模型,考虑整合式(1)在区间,我们有对于1-AGO的定义,我们有
(15) |
令,有
(16) |
集成在式(16)因此可以使用梯形公式计算
(17) |
和
(18) |
那么可以得到差分方程
(19) |
考虑左侧式(19)
(20) |
替换式(19)通过式(20), 我们有
(21) |
这也是
(22) |
通过设置
模型可以表示为
(23) |
3.1. 模型的参数估计
模型的参数和可以通过式(23)使用最小二乘法写成
(24) |
其中
-
- 评估1-AGO系列和预测数列
可以使用递归方法获得模型的解。根据式(23),我们有初始条件
我们得到的解
为
(25) |
||
(26) |
可以使用以下方法评估1-AGO序列式(26),然后预测的序列可以获得
(27) |
4. 比较与
4.1.与之间的关系
两个模型之间的关系将在本小节中讨论。考虑以下麦克劳林公式
(28) |
和
(29) |
代替上述公式(28) 和(29) 用一阶逼近参数变换成式(22), 我们有
(30) |
替换参数式(30)进入, 我们有
(31) |
使用离散函数的定义(10)和背景值(18), 式(31)可以改写为
(32) |
可以看出式(32)与离散函数相同。如果我们用和改变符号。这表明当采用麦克劳林公式的一阶近似时,式(28)与式(29)在这种情况下,可以与大致相同,可以被视为模型的不同表达。一阶近似是,当很小时(通常)。特别是当→0时,参数变换中的近似值(30)可以算是相等。因此,当具有相同的样本数据时,从和获得的预测值将几乎相同。
4.2 与之间的差异
在上面的小节中可以看出,虽然以与大致相同,值得注意的是,当很小时,这两个模型会有很大不同非常大。此外,将显示大将在本小节中引起的另一个问题。
如图所示第3节,离散函数中使用的参数(11)和(12)从差异的最小二乘解得到式。当然,离散函数(11)和(12)应该与差异巧合式(7)相似,否则模型将不准确。
为方便起见,我们首先分析离散函数之间的差异式(7)。将代替离
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