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压缩感知理论中正交匹配追踪算法在高斯噪声环境下的应用
概要
信号在收集和传输的程中会受到噪声的污染。为了减少噪声对图像产生的影响，压缩感知理论提出了一个鲁棒性重构算法。这个算法通过从单个的采样信号恢复全部的原始信号，通过L子采样重建整体压缩信号。在本文中，正交匹配追踪算法(OMP-PKS)应用于去除L噪声的影响，对CS图像信号进行重建。由42个标准测试图像的实验结果表明,本文提出的方法与基于洛伦兹的迭代阈值的基追踪，OMP-PKS和分布式压缩感知去噪法相比，都取得了更高的峰值信噪比，有着更好的视觉效果。
关键词： 压缩感知（CS），正交匹配追踪（OMP），分布式压缩传感，基于模型的方法
1.介绍
CS 是一种新型压缩采样理论，其基本原理是：基于信号稀疏性先验条件，
依据观测矩阵将信号映射为观测值，最后利用重构算法高概率重构原始稀疏信号。当它映射到空间基时，空间基是稀疏且不连续的。不连续的基被称为测量向量。现在CS已经广泛应用于包括雷达成像,DNA微阵列,图像重建和图像压缩等方面。
CS理论包含三个方面：(1) 构建稀疏信号，(2)稀疏信号的压缩，(3)压缩信号的重建。本文的重点是用CS对图像数据进行重建。重构主要是为了恢复产生稀疏信号的压缩信号(称为压缩测量信号)。它可以写成如下的优化问题:
s和y分别表示稀疏信号和压缩测量信号，Phi;是随机测量矩阵，其列向量称为采样测量向量(也称随机测量向量)，是s的范数。Phi;的其中一个构造方法如下：
(1)定义测量矩阵Omega;，设测量矩阵向量作为其列向量。
(2)随机删除Omega;中一行，使Omega;的秩等于Phi;中一个的秩。
(3)设置Omega;后删除为Phi;的行。
(4)将Phi;每一列正常化。
规范的非凸约束最优化求解是NP难问题,无法在实践中解决。 现在主要有两个解决问题的方法:(1)基追踪算法(BP)和(2)贪婪算法。在BP算法中，标准是不约束的标准。条件变成的最小范数。当满足有限等距约束(RIP)条件时，BP方法是一种有效的重构方法,它不需要精确的稀疏信号。然而,它需要很多的计算。在贪婪的方法中,使用的启发式规则是优化的地方。一个流行的启发式规则是非零元对应的随机测量向量的系数y有高相关性。贪婪算法的例子有OMP,正交化OMP(ROMP)等。贪婪重构算法的好处是十分快速。
噪声压缩测量信号需要yminus;s约束的放松。大多数算法提供在范围内可接受的y和s之间的误差。这个误差范围的确定基于噪声的特点例如有界噪声、高斯噪声、有限频域噪声等等。参考文献[17]的作者表明,,如果有足够稀疏的条件和完整系统的构造，可以使用BP和OMP算法重建噪声信号。在足够大误差范围内，基追踪去噪方法(BPDN)成功重建了高斯噪声，这在参考文献[21]中得到了讨论。在参考文献[22]中,丹泽选择器被用作重建方法。范数表示范数。参考文献[23]的作者提出用加权极限估计在压缩步骤和洛伦兹规范约束重建范数极小化的步骤。在参考文献[23]中结果表明,该算法适用于重建高斯噪声或脉冲噪声的环境。
因为在y参数估计中的最优化，OMP是健壮的小高斯噪声。ROMP[20,26]和压缩感知匹配追踪(CoSaMP)[24,26]的方法保证了最小化方法的稳定并提供贪婪算法的快速。在参考文献[25]中,当y被高斯噪声损坏时，作者用矩阵的相互一致性分析BPDN,OMP,和迭代阈值(ITH)的性能。在文献[27]中相当于BPDN中的价值函数通过ITH解决。在信号非常稀疏的情况下，ITH方法提供了比BPDN方法更快的计算速度。在文献[28],洛伦兹矩阵的重建[23]是通过ITH和称为基于ITH的洛伦兹算法(LITH)。LITH不仅是健壮高斯噪声,而且也是脉冲噪声。由于LITH是基于ITH的,因此它要求信号非常稀疏。
最近,大多数研究在CS中关注稀疏信号的结构和创建基于模型重建算法[29-35]。这些算法使用的结构改变了稀疏信号(例如,小波树结构)的信息。基于模型的方法很有吸引力,因为他们有三个好处:(1)减少测量的数量,(2)提高鲁棒性,(3)更快的重建。
分布式压缩感知(DCS)[33,35,36]在重建两个或两个以上的信号相关统计的数据源时是成熟的。多个传感器测量信号稀疏的一些矩阵，传感器之间存在相关性。DCS利用局域网和互联网信号相关结构和基于联合稀疏(内部稀疏信号的思想)的概念。DCS的创造者声称,结果从单独的传感器是相同的联合稀疏用于重建。同时OMP(SOMP)应用于分布式压缩信号重构。DCS-SOMP提供了快速计算和鲁棒性。然而,在y噪音的环境中,噪音可能会导致不正确的选择。在DCSSOMP重建过程中,如果在发生错误的基础上选择,错误将出现在每一个重建基础中,导致连环的错误,这样就不能通过均值法得到结果。
在本文中,提出了对受高斯噪声损坏的y的重建方法。它利用这一结果，可以从y的部分重建图像信号,而不是需要整个y。通过对y随机二次抽样，它创造了整体的每个部分的抽样y。这个重建被应用于重建中的每个部分上。我们假设随机子样品y是噪声损坏的均值和相同的方差;因此,我们可以通过均值法去除高斯噪声对信号的影响来得到重建的结果。部分已知条件下的的重建结果是通过OMP(OMP-PKS)[34]实现的。我们建议的方法与DCS的不同之处在于,它只需要一个y作为输入。相比DCS方法，这个方法很简单,不需要复杂的参数调整就可以完成。
2.背景
2.1压缩感知
CS理论主要是是基于信号的稀疏特性的假设和稀疏域和矩阵之间不连续的测量向量矩阵[1 - 3]。CS有三个主要步骤:信号的稀疏表示,压缩感知矩阵设计和信号重构算法。第一步是信号的稀疏表示,k是稀疏信号的非零元素的数量。自然的信号可以通过应用正交变换稀疏如小波变换、快速傅里叶变换、离散余弦变换。这一步表示为
当x是N空间中不稀疏的信号时，s是N空间中的一个加权向量（稀疏信号k的非零向量），是N*N的正交基矩阵。
压缩感知的第二个部分是压缩。这个步骤中，随机测量矩阵被应用于由下面的方程得到的稀疏信号中。
这里的是M*N的随机测量矩阵（Mlt;N）。如果是单位矩阵，那么s就等价于x。在不失一般性的情况下，在这个方程中国定义为单位矩阵。M是测量得到的数值（y的行向量），有足够高的概率成功重建。并且，M由下面不等式定义
其中，C是正常数。是和的相关性。定义如下
除非要素和是相关的，那么相干性会很强。否则，相干性会很弱。从线性代数中，我们知道。在测量过程中，可能会有误差（由硬件噪声，传播错误产生等等）。误差会存在于压缩测量矢量中并一直跟随。
这里e表示M空间的噪声向量。
2.2重构算法
成功的重建取决于对RIP条件的吻合程度。RIP条件可表示为下列式子
这里是矩阵中受k限制的等距常数。RIP条件用于确定所有中k列的子集和是正交的。很明显，的行比列更多，因此，不可能完全正交。
重建实际上是最优化问题的求解。在式(2)中表示单位矩阵，s是x。式子(1)能够被表示成下面的式(8)，式(8)表示的是文章中使用的重构问题。
实验中使用的重建算法是BPDN，OMP-PKS，LITH和DCS-SOMP。 他们是在以下部分描述。
2.2.1 BPDN法
BP [15,16]是受欢迎的最小化方法之一。（8）中的范数放宽到范数。 它通过解决以下问题重建信号。
BPDN [21]是BP的优化，用于重建噪声y。 它通过解决以下优化问题来重构信号。
表示误差。
BPDN通常通过线性规划来解决。如果能保证好的重建满足RIP条件。
然而，它具有高的计算成本，如BP。
2.2.2 OMP-PKS法
OMP-PKS [34]改进自经典的OMP法 [19]。它利用稀疏信号结构，一些信号比其他信号更重要，应该被设置为非零分量。它具有OMP的特点，即RIP的要求不如BP那么严格[26]。它具有快速运行时间，但可能无法重建信号（缺乏稳定性）。 它具有经典OMP的优点，因为即使y非常小（测量速率非常低），它也可以成功地重建y（M/ N）。它与基于树的OMP（TOMP）[30]不同，因为OMP-PKS的后续基选择不考虑先前选择的基，而TOMP顺序比较并选择下一个良好的小波子树和相关组小波树中的原子。
在本文中，稀疏信号处于小波域，LL子带中的信号必须包含在成功的重建中。LL子带中的所有分量被选为非零分量，而不进行相关性测试。
2.2.3 LITH法
提出了LITH [34]在存在高斯和脉冲噪声的情况下重构信号。它与ITH在使用洛伦兹规范而不是范数方面有所不同。它根据以下功能重建信号。
LITH是快速而可靠的算法，但它面临与ITH相同的问题。 它要求x必须非常稀疏或y必须非常大（高测量速率）。 它比OMP快，但稳定性较差。
2.2.4 DCS-SOMP法
DCS使用联合稀疏度的概念，即集合中每个信号的稀疏性。 它有三种模式：稀疏的共同组成部分具有创新性，普遍的稀疏支持和非稀疏的共同组成部分，具有稀少的创新[31,33]。 在本文中，使用常见的稀疏支持模型。 提出SOMP [31,36]作为重建算法。 SOMP改编自OMP算法。
本节讨论了高斯噪声损坏的图像重建问题。 应用块处理来降低计算成本。第3.1节描述了小波系数的块处理和向量化。 第3.2节介绍了从y的集合中提出的重建过程。
3.1块处理和小波矢量化系数
在本文中，图像由离散小波变换进行了稀疏化。 图1示出了小波系数的块处理和向量化的示例。 图1a显示了小波变换图像的结构。 LL3子频带显示为红色。 第三，第二和第一级别的其他子频带（LH，HL和HH）分别显示为绿色，橙色和蓝色。 LL3子带是最重要的子带，因为它包含图像中的大部分能量。 图1b显示了小波系数的重新排序。 系数被排序使得LL3子带位于每行的开头。 LL3子带之后是第三，第二和第一级中的其他子带。
图1b中的小波域图像沿其行分成块，如图1c所示。 在图1c中，图像具有八行并被划分为八个块。 信号可以通过小波收缩阈值得到较小的[37]。 LL3子带中的所有系数都被保留。 通过使用小波收缩阈值，我们可以将其他子带中的大多数系数设置为零，几乎没有明显的视觉退化。图1c中的每一行被认为是我们研究的稀疏信号。
应当注意，通过实验发现，根据图1c的结构的矢量化比通过词典排序更好。 图2示出了当使用这两个矢量化时的重建示例。 稀疏率和测量率分别设定为0.15和0.45。 使用OMP-PKS重建所有图像。 每个图像的顶行显示了每个块中的向量化完成后的重建，使得其具有如图1c所示的结构。 每个图像的底行显示每个块中的矢量化是通过词典排序完成的重建。 顶行没有重建失败（黑点）; 而在底行中有一些。
3.2 重建
重建方法分为三个阶段：y集合的构建，OMP-PKS的重构以及数据合并。
3.2.1 集合y的构建
鉴于y的集合中存在L个不同的pM维度信号。p是采样信号与原始大小的比值。p和L是预定义的。集合中的第i个信号由表示。图3显示了将上述程序应用于L次以创建L采样信号的集合的结果。整体的总体尺寸为pMtimes;1times;L。该组合伴随着L个截断的测量矩阵。 截断矩阵的大小为pMtimes;N。由于所有yi都是相同y的部分，它们的信息是相同的，它们包含相同均值和相同方差的高斯噪声。只要重建不能立即使用集合中的所有信号，可以安全地假设来自不同的的重建结果包含不同的噪声。
3.2.2 OMP-PKS重构
所提出的算法的重构具有以下要求：
- 以低测量速率（M / N）重建信号，
- 快速重建，
- 组合中每个信号的独立重建结果。
第一个要求来自于对小于y的采样信号进行重构的事实。 RIP并不总是保证。 第二个要求是必要的，因为重建必须执行L次（L是组合中的信号数）。 第三个要求是从一个信号中获取信息的结果。 通过组合每个采样信号，将获取原始噪声y。 在所提出的算法中，当每个具有彼此不同的重建结果时，通过平均去噪是可能的。 由于每个携带不同的y组分，所以它的总噪声是不同的。 因此，每个上的重建给出了对每个像素损坏的具有不同噪声的结果。 通过平均可以减少每个像素的噪声。
即使重建在y作为DCS的集合上执行，DCS-
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