Maxima and Minima
Often in life ,we are faced with the problem of finding the beast way to do something.For example,a farmer wants to choose the mix of crops that is likely to produce the largest profit.A doctor wishes to select the smallest dosage of a drug that will cure a certain disease.A manufacturer would like to minimize the cost of distributing its products.Often such a problem can be formulated so that it involves maximizing or minimizing a function over a specified set. If so,the methods of calculus provide a powerful tool for solving the problem.
Suppose then that we are given a function and a domain
We now pose three question:
- Dose have a maximum or a minimum value on ?
- If it does have a maximum or a minimum,where are they attained?
- If they exist,what are the maximum and minimum values?
Answering these question is the principal goal of this section.We begin by introducing a precise vocabulary.
Definition
Let S,the domain of ,contain the point .We say that
(i) is the maximum value of on if for all in ;
(ii) is the minimum value of on if for all in ;
(iii) is an extreme value of on if it is either the maximum value or the minimum value;
(iv)the function we want to maximize or minimize is the objective function.
The Existence Question Dose have a maximum(or minimum) value on ?
The answer depends first of all on the set S.Consider on ; it has neither a maximum value nor a minimum value.On the other hand,the same function on , has no maximum value and the minimum value of .
The answer also depends on the type of function.Consider the discontinuous function defined by
On ,has no maximum value(it gets arbitrarily close to 2 but never attains it).However, has the minimum value .
There is a nice theorem that answers the existence question for many of the problems that come up in practice.Though it is intuitively obvious,a rigorous proof is quite difficult;we leave that for more advanced textbooks.
Theorem A Max-Min Existence Theorem
If is continuous on a closed interval ,then attains both a maximum value and a minimum value there.
Note the key words in Theorem A; is required to be continuous and the set is required to be a closed interval.
Where Do Extreme Values Occur? Usually,the Objective function will have an interval as its domain. But this interval may be any of the nine types discussed in Section 0.2.Some of them contain their end points;some do not .For instance,I=[a,b] contains both its end points;[a,b)contains only its left end point;(a,b)contains neither end point.Extreme values of functions defined on closed intervals often occur at end points.
If c is a point at which ,we call c a stationary point. The name derives from the fact that at a stationary point the graph of f levels off ,since the tangent line is horizontal.Extreme values often occur at stationary points.
Finally,if c is an interior point of I where fails to exist, we call c a singular point. It is a point where the graph of f has a sharp corner,a vertical tangent,or perhaps takes a jump,or near where the graph wiggles very badly.Extreme values can occur at singular points,though in practical problems this is quite rare.
These three kinds of points (end points, stationary points, and singular points)
are the key points of max-min theory. Any point of one of these three types in the
domain of a function f is called a critical point of f.
Example l Find the critical points of f on .
SOLUTION The end points areand 2. To find the stationary points, we solve
for x, obtaining 0 and l. There are no singular points.
Thus, the critical points are0,1,and2.
Theorem B Critical Point Theorem
Let f be defined on an interval I containing the point c.if is an extreme value,then c must be a critical point;that is,either c is
(i)an end point of I;
(ii) a stationary point of f;that is, a point where;or
(iii)a singular point of f;that is,a point where does not exist.
Proof Consider first the case where f (c) is the maximum value of f on I and sup-
pose that c is neither an end point nor a singular point. We must show that c is a
stationary point.
Now, since f (c) is the maximum value, f (x)f (c) for all x in l; that is,
Thus, if x lt; c , so that x - c lt; 0, then
(1)
whereas if x gt; c, then
But exists because c is not a singular point. Consequently,when we let in(1) and in (2),we obtain,respectively,We conclude that frsquo;(c)=0,as desired
The case where f(c)is the minimum value is handled similarly.
In the proof just given, we used the fact that the inequality is preserved under the operation of taking limits.
What Are the Extreme Values? In view of Theorems A and B,we can now
state a verjr simple procedure for finding the maximum value and minimum value
of a continuous function f on a closed interval I.
Step 1: Find the critical points of f on I.
Step 2: Evaluate f at each of these critical points.The largest of these values is the maximum value, the smallest is the minimum value.
Example 2 Find the maximum and minimum values of f(x) = on [-2, 2].
SOLUTION The derivative is f(x) = 3, which is defined on (-2,2) and is zero only when x =0.The critical points are therefore x =0 and the end points
x=-2 and x=2.Evaluating f at the critical points yields f (-2) = -8, f (0) = 0,and f(2) = 8. Thus, the maximum value of f is 8 (attained at x= 2) and the minimum is -8 (attained at x=-2).
Notice that in Example 2, f (0) = 0, but f did not attain a minimum or a maximum at x=0. This does not contradict Theorem B.Theorem B does not say that if c
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最大值与最小值
在日常生活中，我们常常会遇到寻找解决问题的最佳方法的情况。例如，农民想要选择农作物的混合以获得最大的利润；医生希望选用最少量的药物来治疗疾病；生产商会想方设法降低产品的成本。这类问题经常会被描述成在一个指定集合里求一个函数的最大值或最小值的问题。而微积分就提供了一种强大的工具来解决这类问题。
假设我们得到一个定义域为S的函数，现在提出三个问题。
1)在定义域S中是否存在最大值或最小值？
2)如果这样的值存在，它出现在S的什么位置？
3)如果它们存在，最大值或最小值是多少？
回答这三个问题是这一章的主要任务，我们从介绍一些名词开始。
定义 最值
设在函数的定义域S中存在一点c。我们说：
（i）如果对于S上的所有x有，则称f(c)是f在S上的最大值
（ii）如果对于S上的所有x有，则称f(c)是f在S上的最小值
（iii）如果f（c）是最大值或最小值，则称f（c）是f在S上的最值
（iv）我们把要求其最大值或最小值的函数叫作目标函数。
存在性问题厂在s上是否存在最大值（或者最小值）？答案首先取决于集合S．考虑f（x）= l/x在S=(0，infin;)上，它既没有最大值也没有最小值；另一方面，同样的函数在S=[l，3]有最大值，f(1)=1和最小值厂f(3)=；在s=(1，3]上，f没有最大值，而最小值为八f(3)=。
答案也取决于函数的类型．考虑非连续函数g定义为
在S=[1,3]上，g没有最大值。然而，g有最小值g（2）=0。
这里有一个很好的定理，它能回答很多来自实际的关于存在性的问题。尽管这个定理直观而明显，但要给出一个严格的证明是很困难的，我们把这个问题留给更专业的课本，
定理A 最大值一最小值存在定理
如果f是定义在闭区间[a，b]上的连续函数，那么f在该区间上存在最大值和最小值．
注意定理A中的关键词：f要求是“连续”的，S要求是“闭区间”。
最值出现在哪里 通常目标函数会有一个区间I作为定义域。但这个区间可以是0。2节中9种区间的任何一种。有的包含它们的端点，有的没有。例如
I= [a，b]包含两个端点，[a，b）只包含一个左端点，（a，b）没有包含端点，定义在闭区间的函数的最值经常出现在端点处：
如果c是一个使frsquo;(c)=0的点，则该点的切线是水平的，我们称c为驻点。这个名字来源于f的图像在驻点上变得水平这个事实。最值通常也会出现在驻点处。最后，如果c是I里面的一个使f，不存在的点，我们说c是奇点。这个点是使f的图形出现尖角、一条垂直的切线或者出现一个跳跃，或者在该点附近图形摆动。最值也可以出现在奇点处，尽管这种情况实际问题中很少见。
这三类点（端点、驻点和奇点）是最大值一最小值理论的关键点，在函数f的定义域中这三点的任意一点都称为函数的临界点。
例1 求在上的临界点。
解：端点是和2，要求驻点，我们要解关于x的方程，得到0和1，此函数没有奇点，这样，临界点是，0,1和2。
定理B 临界点定理
f是定义在包含点c的区域，上的函数I如果f(c）是一个最值，那么c一定是临界点；也就是说，c是下列三种情况之一：
(i) I的一个端点；
( ii) f的一个驻点，即一个使f=O的点；
( iii) f的一个奇点，即一个使不存在的点。
证明 首先考虑f（c）是f在I上最大值的情况，假设c既不是端点又不是奇点。我们必须证明c是驻点。
现在，因为f（c）是最大值，对于，I上的所有x有f(x)le;f(c）；也就是说
f(x-f(c)le;0
这样，如果xlt;c，那么x-clt;0，所以
(1)
反之，如果xgt;c，那么
(2)
但足因为c不是奇点，故存在。因此，当我们让式(1)的和式(2)的，我们分别得到，和。从而我们推断．就如期望的一样，f(c)是最小值的情况可类似地考虑。
在刚刚给出的证明里，我们利用了在取极限的运算中不等式le;仍然成立这一事实。
如何求最值 有了定理A和定理B，就可以通过一个非常简单的过程来求一个定义在闭区间I里的连续函数门均最大值和最小值。
步骤1：找出f在I上的临界点，
步骤2：求出厂在这些点上的值，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值。
例2 求出函数(x) = 在[ -2，2]上的最大值和最小值。
解 : f（x）的导数是f(x) = 3，这是定义在（一2，2）上的函数，并且当x=0时，它的值为0。因此，临界点是x=0和端点x=-2，x=2。计算f在临界点的值，得到f（-2）= -8，f(0) =0和f(2）=8。因此，f的最大值是8（x =2时得到），最小值是-8（在x=-2时得到）。
注意：在例2中，，但f在x=0处并没有取得最大值或最小值。这并没有与定理B相矛盾。定理B并没有说如果c是临界点，那么以f(c）就是最小值或最大值；它只是指出如果f(c）是最小值或最大值，那么c是一个临界点。
函数的单调性和凹凸性
当我们说f在c的左边是递减而在c的右边递增，没有人会觉得奇怪。但为了和术语保持一致，我们给出准确的定义。
定义 函数单调的定义
设f是定义在区间I（开、闭或者两者都不是）上的函数
（i）如果对于I上的每一对数和，有
则称f在I上递增；
（ii）如果对于在I上的每一对数和，有
则称f在I上递减；
（iii）如果f在I上严格递增或者严格递减，则称f在I严格单调
我们应该怎么判断一个函数是否递增呢？有人可能会建议作它的图形来判断，但图形通常是通过描一些点，然后用光滑的曲线把它们连起来作成的，谁能保证在描出的点与点之间图形不会摆动呢？即使是计算机和图形计算器也是通过描点作图的，我们需要一个更好的方法。
函数的一阶导数与单调性
一阶导数为我们提供了f的图形在点x处的切线的斜率。如果，切线就向右边上升，此时f递增。类似地，如果，切线就向右下降，此时f递减，我们也可以通过直线运动来看待这个问题。假设物体在t时刻的位置为s(t)，它的速度总是正的，即=ds/dtgt;0。进而有一个事实看起来是合理的，即只要导数保持为正，那么物体将会继续向右移动。换句话说，s(t)将会是t的一个递增函数。这些观察虽然不能证明定理A，却使接下来的定理A直观而清晰
定理A 单调性定理
f是定义在区间I上并在I内每一点都可导的连续函数，
(i)如果对于I上的所有x都有，那么f在I上递增；
(ii)如果对于I上的所有x都有f。那么f在I上递减。
这个定理通常能让我们准确地判断一个可导的函数哪里递增、哪里递减。这只是一个解两个不等式的问题。
例l 如果，求出f在何处递增何处递减。
解：我们从求f的导数开始，
我们需要决定在何处
(x 1)（x-2）gt;0
在何处
(x 1)(x-2)lt;0
这个问题已经多次讨论了，分隔点是一1和2；它们将石轴分隔成三个区间：（-infin;，-1）（一1，2）和(2，infin;)。用测试点一2、0和3，推断出在第一和第三个区'，在中间的区间。这样，根据定理A，f在（-infin;，-1]和[2，infin;）内递增；在[-1，2]上递减。注意到这个定理允许我们在这些区间内包括端点，尽管在那些点。
二阶导数和凹性一个函数可能递增但依然为有摆动的图形。耍分析它的摆动，我们需要在沿着图形从左到右移动时研究它的切线怎样转动。如果切线稳定地沿逆时针方向转动，我们说图形上凹；如果切线稳定地沿顺时针方向转动，我们说图形下凹，两个定义都比较好地在函数和它们的导数上作出了规定。
定义 函数凹性定义
设f是在开区间I内的可导函数。如果在I内递增，我们说f（和他的图形）在I内上上凹；如果在I内递减，则f在I内下凹。
有了定理A，我们就有了一个简单的标准来判断一条啦线是上凹或者下凹。简单的记住f的二阶导数就能判断的单调性。这样，如果为正，则递增；如果为负，则递减。
定理B 凹性判定定理
设函数在开区间内存在二阶导数。
（i）对于内的所有如果那么在内上凹；
（ii）对于内的所有如果那么在内下凹；
对于大多数的函数，这个定理把决定凹性的问题简化成了了解不等式的问题。
拐点设在c点连续，如果在c点的一侧为上凹函数而在另一侧为下凹函数，我们就称是图形上的拐点。
正如你可能会猜想的，的点或不存在的点为拐点的候选点，我们谨慎地使用了“候选”一词，正如候选人可能不会当选一样，一个的点也可能不是拐点．比如。可以肯定；但原点却不是拐点，因此，在寻找拐点的过程中，我们开始时寻找的点(还有不存在的点）。然后，我们检查它们是否真的是拐点。
例7 求出的所有拐点。
解：，
二阶导数永不为0；但是，二阶导数在x=0处不存在。因为当xlt;0时且当xgt;0时，,所以（0,2）是拐点。
函数的极大值和极小值
我们复习一下3。1节，函数厂在区间S的最大值（如果存的话）是在S上所能取的最大值．它有时被当做全局最大值，有时被当做f的绝对最大值来讨沦．因此，以S=[a，b]为定义域的函数f，f(a)是全局最大值，但以f（c）又是什么呢？我们把它称为局部极大值，或相对最大值．当然，一个全场最大值自然也是局部极大值，注意全局最大值（如果存在的话）一定是局部极大值中最大的，同样的，全局最小值是局部极小值中最小的。
下面是局部极大值和局部极小值的正规定义，注意回顾一下符号表示两个集合的交集（共同部分）。
定义
设点c是函数f定义域S内的一点．我们说：
(I) 如果在区间（a，b）内存在一点c，使得f(c)为f在上的最大值，f（c）就是f的局部极大值，简称极大值。
(Ⅱ) 如果在区间（a，b）内存在一点c，使得f(c)为f在上的最小值，f（c）就是f的局部极小值，简称极小值。
(Ⅲ) 如果在区间（a，b）内存在一点c，使得f(c)为f在上的局部极大值或局部极小值，f（c）就是f的局部极值，简称极值。
极值点存在于何处将临界点定理的最值这个词换成局部极值，证明本质上是一样的，因此，临界点（端点、驻点和奇点）是局部极值点可能存在的候选点。我们说是候选点因为我们并不要求每一个临界点都必须是局部极值点。但是，如果导数在f临界点的一边为正另一边为负，就得到一个局部极值点。
定理A 一阶导数法则
设f在含有临界点c点的开区间（a，b）上连续。
(I)如果对于(a，c)上的所有点x都有，且对于(c，b)上的所有点都有，那么，为f的一个局部极大值。
(Ⅱ)如果对于(a，c)上的所有点x都有，且对于(c，b)上的所有点都有，那么，为f的一个局部极小值。
(Ⅲ)如果在c的两侧符号相同，那么，就不是f局部极值。
对( I)的证明：既然对于（a，c）上的所有点都有，据单调性定理，f（x）在（a，c]上递增，既然对于(c，b)上的所有点都有，f(x)在[c，b）上递减。因此，对于(a，b)上除3x=c的所有点都有。从而得出就是局部极大值。
类似地，可证(Ⅱ)和(Ⅲ)。
例l 求函数在（-infin;，infin;）上的局部极值。
解：这个多项式在定义域的各点处均连续，且它的导数对于所有点x都存在。因此，唯一的临界点就是的唯一解，即x=3。 lsquo;
对于xlt;3，，则f在（-infin;，3]上递减；对于xgt;3，，则f在[3，infin;）上递增。因此，据一阶导数法则，为f的局部极小值。因为是唯一的临界点，所以没有其他的极值。
例2 求在上的局部极值。
解：既然，f仅有的临界点是-1和3。当我们使用检验点-2，0和4，了解到在（一infin;，-1）和(3，infin;)上，（x 1）（x-3）gt;0，在（-1，3）上，（x 1）（x-3）lt;0。据一阶导数法则，得出结论为局部极大值，为局部极小值。
例3 求在上的局部极值，
解：<!--
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