原文：
A Childrsquo;s Garden of Fractional Derivatives
Marcia Kleinz and Thomas J. Osler
The College Mathematics Journal, March 2000, Volume 31, Number 2, pp. 82–88
Marcia Kleinz is an instructor of mathematics at Rowan University. Marcia is married and has two children aged four and eight. She would rather research the fractional calculus than clean, and preparing lectures is preferable to doing laundry. Her hobbies include reading, music, and physical fitness.
Tom Osler (osler@rowan.edu) is a professor of mathematics at Rowan University. He received his Ph.D. from the Courant Institute at New York University in 1970 and is the author of twenty-three mathematical papers. In addition to teaching university mathematics for the past thirty-eight years, Tom has a passion for long distance running. Included in his over 1600 races are wins in three national championships in the late sixties at distances from 25 kilometers to 50 miles. He is the author of two running books.
Introduction
We are all familiar with the idea of derivatives. The usual notation
or ， or
is easily understood. We are also familiar with properties like
But what would be the meaning of notation like or ？Most readers will not have encountered a derivative of “order ” before, because almost none of the familiar textbooks mention it. Yet the notion was discussed briefly as early as the eighteenth century by Leibnitz. Other giants of the past including Lrsquo;Hospital, Euler, Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville, and others at least toyed with the idea. Today a vast literature exists on this subject called the “fractional calculus.” Two text books on the subject at the graduate level have appeared recently, [9] and [11]. Also, two collections of papers delivered at conferences are found in [7] and [14]. A set of very readable seminar notes has been prepared by Wheeler [15], but these have not beenpublished.
It is the purpose of this paper to introduce the fractional calculus in a gentle manner. Rather than the usual definition—lemma—theorem approach, we explore the idea of a fractional derivative by first looking at examples of familiar nth order derivatives like and then replacing the natural number n by other numbers like In this way, like detectives, we will try to see what mathematical structure might be hidden in the idea. We will avoid a formal definition of the fractional derivative until we have first explored the possibility of various approaches to the notion. (For a quick look at formal definitions see the excellent expository paper by Miller [8].)
As the exploration continues, we will at times ask the reader to ponder certain questions. The answers to these questions are found in the last section of this paper. So just what is a fractional derivative? Let us see. . . .
Fractional derivatives of exponential functions
We will begin by examining the derivatives of the exponential function because the patterns they develop lend themselves to easy exploration. We are familiar with the expressions for the derivatives of ., and, in general, when n is an integer. Could we replace n by 1/2 and write Why not try? Why not go further and let n be an irrational number like or a complex number like1 i ?
We will be bold and write
(1)
for any value of , integer, rational, irrational, or complex. It is interesting to consider the meaning of (1) when is a negative integer. We naturally want .Since ,we have .Similarly, ,so is it reasonable to interpret when is a negative integer –n as the nth iterated integral. represents a derivative if is a positive real number and an integral if is a negative real number.
Notice that we have not yet given a definition for a fractional derivative of a general function. But if that definition is found, we would expect our relation (1) to follow from it for the exponential function. We note that Liouville used this approach to fractional differentiation in his papers [5] and [6].
Questions
Q1 In this case does ?
Q2 In this case does ?
Q3 Is , and is ,(as listed above) really true, or
is there something missing?
Q4 What general class of functions could be differentiated fractionally be means of
the idea contained in (1)?
Trigonometric functions: sine and cosine.
We are familiar with the derivatives of the sine function:
This presents no obvious pattern from which to find . However, graphing the functions discloses a pattern. Each time we differentiate, the graph of sin x is shifted to the left. Thus differentiating sin x n times results in the graph of sin x being shifted to the left and so . As before, we will replace the positive integer n with an arbitrary . So, we now have an expression for the general derivative of the sine function, and we can deal similarly with the cosine:
(2)
After finding (2), it is natural to ask if these guesses are consistent with the results of the previous section for the exponential. For this purpose we can use Eulerrsquo;s expression,
Using (1) we can calculate
which agrees with (2).
Question
Q5 What is ?
Derivatives of
We now look at derivatives of powers of x. Starting with we have:
Multiplying the numerator and denominator of (3) by (p-n)! results in
This is a general expression of .To
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分数阶导数的儿童乐园
Marcia Kleinz , Thomas J. Osler
大学数学学报（美国），2000年3月，31卷，第2期，第82-88 页
Marcia Kleinz是罗文大学的一名数学教员。Marcia结婚了并且有了两个孩子，分别4岁，8岁。她宁愿研究分数微积分，也不洗衣服或者准备讲座。她的爱好包括阅读，听音乐和锻炼身体。
汤姆·奥斯勒(osler@rowan.edu)是罗文大学的数学教授。他于1970年收到了来自纽约大学新闻学院的博士的信,这博士是23个数学论文的作者。在过去的38年来，汤姆除了教大学数学,他还热爱长跑。包含在60年代末在1600比赛中在距离25公里至50英里赢得三个全国冠军。他是两本跑步书藉的作者。
1.引言
我们都熟悉的导数的定义。通常记作：
。
这些都是很容易理解的。我们同样也熟悉一些有关导数的性质，
例如：
，
但是像这样的记号又代表什么意思呢？大多数的读者之前肯定没有遇到过导数的阶数是1/2的。因为几乎没有任何教科书会提到它。然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz已经开始探讨。在之后的岁月里，包括Lrsquo;Hospital, Euler,Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。现在，关于“分数微积分”的文献已经大量存在。近期关于“分数微积分”的两本研究生教材也出版了，就是参考文献[9]和[11]。此外，两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。Wheeler在文献[15]已编制了一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些都还没有正式出版。
本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定理的方法介绍它。我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。首先我们从熟悉的n阶导数的例子开始，比如。然后用其他数字取代自然数字n。这种方式，感觉像是侦探一样，步步深入。我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。我们在探讨了各种思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。（如果想快速浏览它的正式定义，请参见米勒的优秀论文，参考文献[8]。）
随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。对这些问题的答案将在本文的最后一节呈现。那到底什么是一个分数阶导数呢？让我们一起来看看吧hellip;hellip;
2.指数函数的分数阶导数
我们将首先研究指数函数的导数。因为他们导数的形式，比较容易推广。我们熟悉的导数的表达式。，在一般情况下，当n为整数时，。那么我们能不能用1/2取代n，并记作呢？我们何不尝试一下？为什么不更进一步，让n是一个无理数或者复数比如1 i？
我们大胆地写作
（1）
对任意一个，无论是整数，有理数，无理数，还是复数。当是负整数时，考虑（1）式的意义是很有趣的。我们自然希望有成立。因为，所以我们有。同理。当是负整数时，我们将看作是n次迭代的积分是合理。当是正实数，代表导数，当是负实数，代表积分。
请注意，我们还没对一般函数给出分数阶导数的定义。但是，如果这一定义被发现，我们期望指数函数的分数阶导数遵循关系式（1）。我们注意到，刘维尔在他的论文[5]和[6]中就是采用这种方法去考虑微分的。
问题
问题1：在上述情况下，成立吗？
问题2：在上述情况下，成立吗？
问题3：上述和，真的正确吗？还是遗漏了一些东西？
问题4：用蕴含在（1）式的想法，怎样对一般性的函数求分数阶导数？
3.三角函数：正弦函数和余弦函数
我们对于正弦函数的导数很熟悉：这些对于寻求，并没有明显的规律。但是，当我们画出这些函数的图形时，会挖掘出其中的规律。即每当我们求一次微分，的图像向左平移。所以对求n次微分，那么得到的图像就是向左平移，即得到。如前，我们用任意数替换正整数n。所以，我们得到正弦函数的任意次导数的表达式，同理我们也得到余弦函数的：
（2）
在得到表达式（2）之后，我们自然想，这个猜测与指数函数的结果是否保持一致。为了验证这个猜测，我们可以使用欧拉公式。利用表达式（1），我们可以计算得到：
，
这与（2）式是吻合的。
问题
问题5：是什么？
4．的导数
我们现在看看x次方的导数。我们以为例有：
表达式（3）用连乘的分子和分母去替换，则得到结果如下
上式就是的一般表达式。我们通过伽玛函数，用任意数替换正整数n。当（4）式中的p和n是不是自然数时，伽玛函数使他们在替换后任然有意义。伽马函数是欧拉在18世纪引进的概念。当时是推广记号，当z不是整数时。它的定义是：
，它具有这样的性质。
那么我们可以将表达式（4）重新写作：
，
这使得当n不是整数式，（4）式还是有意义的。所以对于任意的，我们写作
利用（5）式，我们可以将分数阶导数延伸到很多的函数。因为对于任意给定的函数，我们可以利用Taylor级数展开成多项式的形式，假设我们可以对进行任意次微分，那么我们得到
最终那个表达式（6）呈现出具有作为分数阶导数定义候选项的气质。因为大量的函数都可以利用Taylor公式展开成幂级数的形式。然后，我们很快会发现它会导致矛盾的产生。
问题
问题6：是否有几何意义？
5．一个神秘的矛盾
我们将的分数阶导数写为
现在让我们拿它与（6）式进行对比，看看他们是否一致。
从Taylor级数来看，结合（6）式，我们得到如下表达式
但是，（7）及（8）是不等价的，除非是整数。当是整数时，（8）式的右侧是的级数形式，只是用不同的表达方式。但是当不是整数时，我们得到两个完全不一样的函数。我们发现了历史上引起大问题的矛盾。这看起来好像我们，指数函数的分数阶导数的表达式（1）与次方函数的分数阶导数的公式（6）是相互矛盾。
正是因为有这样一个矛盾，所以分数阶微积分一般不会出现在初等阶段的教科书里面。在传统的微积分中，导数的次数是整数次的，求导的函数是初等函数。不幸的是，在分数阶微积分中，这是不正确的。通常，一个初等函数的分数阶导数是较高级的超越函数。关于分数阶导数的表格，请参阅文献[3]。
此时，您可能会问我们怎么继续探究呢？这个谜团将在之后的部分中被解决。敬请关注hellip;hellip;
6．多重迭代积分
我们一直在谈论导数。积分也是反复被提及的。我们可以写，但是等式右边是不确定的。我们可以写作。第二次积分可以写成。积分区域是图1中的三角形。如果我们交换积分的顺序，那么图1的右侧图可以表现出。
因为不是一个关于的函数，所以可以将里面的积分移到外面，即
或者。
使用相同的过程步骤，我们可以写出
在一般情况下，
现在，我们用先前做的方法，用任意数替换，用伽玛函数替换阶乘，然后得到
这个一般性的表达式（使用积分）的分数阶导数表达式，有成为定义的潜力。但是存在一个问题。如果该积分是反常积分。因为当对任意，积分是发散的。当反常积分收敛。所以当是负数时，原表达式是正确的。因此当是负数时（9）式收敛，即它是一个分数阶次积分。
在我们结束这一部分之前，需要提下，趋于零的下极限是任意的。可以简单的认为存在下极限。但是会造成最后结果表达式的不同。正因为如此，很多这个领域的研究人员使用符号。这个符号说明了极限过程是从到的。这样我们从（9）式得到
问题
问题7：如下分数阶微分的下极限是什么？
7．解秘
现在，你可以开始去发现前面哪些地方出错了。我们对于分数阶积分包含极限，并不感到惊讶。因为积分是涉及到极限的。然而普通的导数不涉及积分的极限，没有人希望分数阶导数包含这样的极限。我们认为，导数是函数的局部性质。分数阶导数的符号既包含导数（是正数）又有积分（是负数）。积分是处于极限之中的。事实证明，分数阶导数也是处于极限之中的。出现该对矛盾的原因是，我们使用了两种不同的极限。
现在，我们可以解决这个谜团了。
秘密是什么？让我们停下来想一想。表达式（1）中指数函数起作用的极限是什么？记得我们要期望写成
b取什么值时，将得到这个答案？由于在（11）式中积分就是
为了得到我们想要的形式，只有当时。即如果a是正数，那么。这种类型的拥有下极限为的积分，有时也称为Weyl分数阶导数。从（10）的符号，我们可以将（1）写做
极限在公式（5）的导数中是起什么作用？我们有
同样，我们希望。当时，结论是成立的。所以我们觉得将（5）的符号写成更准确。因此，表达式（5）中隐含了的下极限为0。然而，表达式（1）中的下极限为。这个差异就是（7）和（8）为什么不等价的原因。在（7）中我们计算，在（8）中我们计算。
如果读者希望继续这一研究，我们推荐Miller的一篇很好的论文[8]，和由Oldham和Spanie合著的优秀图书[11]，以及Miller和Ross合著的优秀图书[9]。这两本书都包含了从很多文献角度分数阶微积分简短精要的历史。由Miller和Ross合著的图书[9]很好地讨论了分数阶微分方程。Wheeler的注记[14]是另一个这方面一流的介绍性文章，具有很高的推广普及价值。Wheeler给出了几个简单的应用例子，而且阅读起来非常有趣。其他的历史性文献请参考[1，2，4，5，6，10，13]。
8．问题的解答
以下是文章中8个问题的简短回答。
问题1：成立的，这个性质是保持的。
问题2：成立的，这个由关系式（2.2）很容易证明。
问题3：遗漏了一些东西。遗漏的是积分常数。应该是这样的
问题4：将展开成傅立叶级数形式，。假设我们可以连续次地取分数阶微分，我们得到。
问题5： 。
问题6：我们知道表示的曲线斜率，表示曲线的凹凸性。但三阶和更高阶导数给出的几何意义很少或根本没有。那么对于这些特殊的导数，分数阶导数没有简单的几何意义对我们来说也并不感到惊讶了。
问题7：分数阶微分的下极限是。
【参考文献】
[1] A. K. Grunwald, Uber begrenzte Derivationen und deren Anwendung, Z. Angew.Math. Phys., 12 (1867), 441–480.
[2]O. Heaviside, Electromagnetic Theory, vol. 2, Dover, 1950, Chap. 7, 8.
[3]J. L. Lavoie, T. J. Osler and R. Trembley, Fractional derivatives and special functions, SIAM Rev., 18 (1976), 240–268.
[4]A. V. Letnikov, Theory of differentiation o
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