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公交调度问题
摘要
本文介绍了一个校车调度问题，其中给出了每所学校的车次。行程安排包括一系列巴士站和他们指定的学校。每所学校都有固定的时间窗口，在此窗口内应该完成行程安排。一辆校车可以为多所学校提供多次出行服务。考虑到学校的时间窗口，校车调度问题旨在优化公交时刻表以满足所有给定的行程。我们首先将问题模型化为带时间窗的车辆路径问题（VRPTW），将行程视为虚拟站点。然后针对特殊情况提出了两种基于精确方法的分配问题，并针对更一般的情况提出了启发式算法。提出了基准问题和计算实验。计算实验显示了所提出方法的有效性。
关键词：启发式，公交线路问题和公交调度问题，车辆路径问题，分配问题
1.介绍
本文考虑校车排班问题，其中给出了每所学校的行程安排。行程安排包括一系列巴士站和他们指定的学校。行程安排所需的服务时间以巴士站，学生人数和学校行程安排为基础。每所学校都有固定的时间窗口，在此窗口内应该完成行程安排。一辆校车可以为多所学校提供多次出行服务。考虑到学校的时间窗口，本文提出的校车调度问题旨在优化公交时刻表以满足所有给定的行程。
图.1显示了校车调度问题的一个例子。假设是由一系列公共汽车站和他们的目的地学校组成的行程，而是一所学校。在图中，学校a，学校b和学校c分别有三次，三次和四次行程安排。设[，]为学校m的时间窗口。所有上学的学生都应该在钟点时间窗口内到达学校。如果在不违反公交车容量限制和指定学校的时间窗口的情况下，并且可以在同一辆公交车上提供两种行程安排，则可以安排到同一班车。图2显示了一个解决问题的样本解决方案图。1。{，，}，{，，}，{，}{，}分别由总线1,2,3，和4服务。假定和。
在本文中，我们首先将问题作为带时间窗的车辆路径问题（VRPTW）进行建模，将行程视为虚拟停靠站。然而，由于原始问题的不对称性，模拟VRPTW具有特殊的特征。由于学校的时间窗口彼此远离，
与行程的服务时间相比并不宽泛，假定当两个行程可由同一公共汽车服务时，其顺序是固定的。因此，当一次行程安排可以由同一辆公共汽车进行另一次行程安排时，另一个顺序是不可能的。
我们证明了一个特殊情况，其中行程安排的开始和结束时间是固定的，并且给出了一辆同类型的巴士，可以将其作为一个分配问题来模拟，并且很容易解决。然后，我们提出了一种基于分配问题的分支定界方法，用于一般情况下的假设，即假设公共汽车是同质的。最后，假设总线的异构性，给出了一般情况下的启发式算法。计算实验显示了所提出方法的有效性。
本文的其余部分安排如下：对现有文献进行简要回顾2。部分介绍了两个混合整数规划模型和提出的算法3和4。部分5显示了计算结果和结论部分6.
2.文献评价
校车路线问题包括三个主要的子问题，即-每个学校的公交车站选择，路线（或行程）生成以及公交车调度问题。本节重点介绍公交调度问题的回顾。有关一般学校巴士路线问题的详细说明和相关文献的调查可参见ParkandKim（2010）。公交时刻表调查每条路线的确切起点和终点时间，并形成可由同一辆公交车连续执行的行程链。Gavish等人（1978年）解决了出行时间表（即出发时间和结束时间）的公交时刻表问题。
这个问题被制定为运输问题（TP）。Orloff（1976）和Carraresi和Gallo（1984）处理了相同的公交调度问题，但将其作为一个分配问题（AP）。
Louml;bel（1998a，b）考虑到公共交通中的多车库车辆调度问题（MDVSP），这与异构的校车调度问题类似，将其作为多商品流问题，表明它即使在时间表给出了行程，并提出了一种列生成方法作为解决方法。在MDVSP中，有多个仓库，每个车辆属于一个仓库，它应该从自己的仓库开始并结束，但我们的问题没有这个限制。哈德尔等人。（2006年）提出了MDVSP的分支和价格削减算法。Pepin等人（2009年）比较了基于分解技术的启发式方法和MDVSP的启发式解法。Desaulniers等人（1998）开发了一个整数非线性数学模型和一个带时间窗的MDVRP（MDVRPTW）的列生成嵌入式分支定界算法。哈杰尔和索米斯(2009)还提出了一种针对MDVRPTW的具有动态窗口缩减方法的分支和价格算法。
Orloff（1976）证明，当行程安排的到达时间不固定并给出学校的时间窗时，同质的校车调度问题是NP完全的。他提出了一个基于匹配的构造算法和3-opt改进方法。
牛顿和托马斯（1974年），博丁（1975年），博丁和伯曼（1979）假设有一些特殊的时间段，例如在一段时间开始的时候，公交车将完成前一段时间的任务，并且位于他们以前的目的地学校。在每个时间段内，每辆公共汽车都只能为一所学校提供交通服务，而且最多只进行一次行程安排。调度问题通过应用一系列TP解决方案来解决。但是，他们的假设过于简单。
Swersey和Ballard（1984）提出了校车调度问题的非线性规划模型及其离散近似MIP模型，将每个学校的时间窗口分成固定的到达时间数。他们使用线性松弛求解模型，并在解决方案具有非整数值时手动调整解决方案。
格雷厄姆和纳特尔（1986）测试了Orloff（1976）和Swersey和Ballard（1984）的算法。还测试了基于AP的算法，其中通过使用AP制定而不考虑时间窗约束来获得初始解，然后手动处理其可行性。该研究得出解决方案可行性和计算时间短的替代方法。
Braca等人（1997年）描述了纽约市校车路线问题。虽然大多数文献解决了每所学校的单独问题，并确定了每辆公交车的路线时间表，但他们使用基于随机插入的启发式方法，在一个阶段解决了所有学校的问题。
Spada等人（2005年）考虑了多学校路线问题并提出启发式方法。学校按其开始时间的顺序考虑，并且每个学校的路线均采用考虑最小车辆容量的贪婪法建立。此后如果可能的话，合并路线。之后，通过模拟退火算法或禁忌搜索算法来改进合并路线。
Desrosiers等人（1981年，1986年a）描述了由学生停车分配，路线生成，学校开始时间安排和路线安排模块组成的电脑化校车路线系统。他们认为可以从候选名单中选择一所学校的开课时间，以减少所需的巴士数量。关于作为本文主题的路由调度模块，他们制定并解决了一系列的TP。戴斯罗士等人（1986b）开发了三种算法，并对八个校车问题进行了测试。他们考虑了各种设置，例如问题是在早上还是下午，以及时间窗口的不同间隔长度。Fuuml;genschuh（2009）也认为校车调度问题，是可以调整学校的出发时间和行程安排中的学生转运。他将该问题作为一个基于VRPTW的整数规划模型进行了阐述，并且该模型通过具有多个预处理机制和有效切割的分支切割方法来解决。然而，假定给出同质的车辆，甚至一个很小的问题也无法在估算的限定时间内完美解决（例如，一小时）此外学校开学时间和行程安排开始时间也是依据他们为这项实验所预先做的调查。
总之，具有固定起止时间的同类公交车的公交调度问题可以通过AP或TP来解决。AP方法也用于本文中的问题。但是，时间窗的公交调度问题比较困难，目前还没有广泛使用的方法。尽管有人试图解决综合路线和调度问题（Braca等人，1997;Spada等，2005;牛顿和托马斯，1974;布丹和伯曼，1979年），有些关注调度问题（Swersey和Ballard，1984;Desrosiers等人，1981，1986A，B;Fuuml;genschuh，2009年）。本文分为后一种情况。除Spada等人（2005年）和Fuuml;genschuh（2009年），所有以前的作品都研究了同质车辆问题。我们将处理同质和异质的车辆问题。据我所知，没有针对校车调度问题的公开可用的基准问题，这使得难以测量算法的效率。本文提出了基准问题实例。
3.解决公交调度问题
公交调度问题可以建模为VRPTW，如下所示。令为对应于行程安排，由一系列公共汽车站及其目的地学校组成。设为行程服务时间及其相应的虚拟停止点。然后的时间窗口[，]，它是可能的时间范围可以确定为[，]，其中[，]是这次行程安排的指定学校的时间窗口。从虚拟停车点到虚拟停车点的行驶时间可以通过从指定学校到行程的第一站得出。
在该模型中，使用以下指标：
i，j为虚拟站点指标；
N为虚拟站点
K为公交指标
以下常数用于简化公式的表述：
（如果公交k符合线路）；（（如果公交k不符合线路）
为一个充分大的数
）
决策变量如下：
（如果公交k停靠后停靠）否则
为公交k停靠的时间
我们针对异构车辆问题（MIPHE）的混合整数规划（MIP）模型如下：
MIPHE;
(1)
约束：
(2)
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
目标函数(1)尽量减少所需车辆的数量和总行驶距离。约束条件（2）确保应将合格的公交车分配给每个虚拟车站。约束条件（3）是流量平衡约束，它确保公交车到达车站的次数与公交车从出发站出发的次数相匹配。约束条件（4）规定，当公共汽车k先停靠站j后停靠站i，停靠站j的服务开始时间大于或等于停靠站i的出发时间加上停靠站之间的行驶时间。约束（5）是时间窗限制条件（6）和（7）确保所有的公共汽车从车站开始并结束。请注意，该模型与普通VRPTW有两个不同的特征。首先，巴士和站点之间有资格。虽然假设所有车辆都有资格在一般VRPTW中提供任何停靠服务，但只有当公共汽车有足够的停车容量时（即），公交车才能提供虚拟停车。例如，处理60名学生的行程安排不能由50个座位的校车服务。其次，我们的问题没有考虑学生沿公交时间表的积累。尽管在一般的VRPTW中，负载的累积不能超过车辆容量，但由于每个虚拟车站都包含学生乘客的指定学校，所以学生的积累不需要检查我们的问题。在学校访问后，巴士的容量可以更新。这个特点使得这个问题类似于满载的卡车负载问题。
用于均质车辆问题的MIP模型更简单，因为只需要按照组的顺序排列停止，并且不需要分配特定车辆。决策变量略有变化如下：
（如果同一辆公交车停靠后停靠）否则
为开始停靠的时间
我们的MIP模型用于同质性问题（MIPHO）如下：
MIPHO；
（9）
约束：
（10）
(11)
(12)
(13)
（14）
约束条件的含义与MIPHE的相应约束条件相同。
4.解决方法
在接下来的部分中，我们对于有不同假设的问题提出了解决方案
4.1假设同质车辆和固定起动时间的问题
在这一小节中，处理了一个特殊的问题。如果我们假设虚拟站点的开始和结束服务时间是固定的，并且给出了同样的总线数量，即所有车辆可以为任何线路服务，这个问题可以建模为一个AP。在最近的一个工业研究项目中，我们遇到了这些问题。
这些假设的问题可以模拟为一个AP（如图所示）图3。节点i和节点j之间的成本定义如下：当虚拟停止点i可以跟随虚拟停止点j而不违反给定的开始和结束服务时间时，将设置为。换句话说，当停靠站点i之后在停靠站j处的公共汽车的到达时间（即，站点i的服务结束时间加上从停止站i到停止站j的行驶时间）不迟于停靠站j的服务开始时间，被设定为。如果到达时间晚于起始服务时间，则将设置为.注意，当具有小值时，应该是 1这是由于上一节中解释的问题的不对称性。最后，被设置为。
让决策变量如下定义：
（当点被分配给点j）否则
分配模型如下：
(15)
约束：
(16)
(17)
使用Hungarian方法（它是一个法），其中n是节点的数量（Papadimitriou和Steiglitz，1998年）。有了足够大的值，该模型试图最大限度地减少总线数量。该模型的解决方案可以转换为解决公交调度问题的方案。当最优解具有时，如果，则行程j在行
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