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描述在线信息传播的自由边界问题
1.引言
在线社交网络最近日渐成为信息传播和促进社会关系建立的重要媒介，这对于理解现实中产品营销，政治在线活动等信息扩散研究工作有着重要的作用。为了了解网络结构、用户交互和流量特性，已经有不少学者对其进行了广泛而深入的研究。与此同时，数学建模也在理解信息在线社交网络如何扩散的方面发挥了越来越重要的作用。
现有的大多数在线社交网络模型都是集中在时间维度上，最近[19]提出一个Logistic扩散模型（DL），模拟了时间和空间维度上社交网络的信息扩散过程。为了描述在线社交网络中的距离，他们定义了一个叫做友谊XX的度量，度量标准是通过社交网络中一个用户到另一个用户的分享度来衡量的，并且与用户之间的物理距离是不同的。根据距离度量的定义，在线社交网络中的用户可以根据它们和源的距离来进行分组。设表示距源为的用户，总的用户数为，其中表示源到用户最大的距离，其值根据距离的定义而变化（见图一）。
图一
设表示在时间和距离处，受影响用户的密度。受影响用户的密度取决于两个主要因素。首先，（）处的用户可以通过直接或者简介的友谊链来影响处的用户。其次，处的用户可能会互相影响。于是我们将在线社交网络中的信息传播分为以下两部分：成长部分和扩散部分。由于其在空间生物学和流行病学的 广泛应用选择扩散过程由拉普拉斯算子模拟，成长过程由逻辑方程[12]模拟。由此提出一个由以下的偏微分方程描述的模型：
（1.1）
其中，和分别表示固有增长率，承载能力和扩散率。和代表源和其他社交网络用户之间距离的上限和下限。 在[19]中，在线社交网络中的扩散逻辑模型已经通过一个流行的社交新闻网站http://www.digg.com/收集到的真实数据集进行了验证。 实验结果表明，DL模型确实能够表征和预测在线社交网络中信息传播的过程。 例如，假设以 = 25， = 0.01和，对于Digg上支持票数为24099的最流行新闻，DL模型在前6小时内对于其所有距离上的平均预测准确率为92.08％。
在在线社交网络中，大多数用户都聚集在少数几个友谊跳跃中，并且在增长过程扮演着重要的角色。 内在增长率通常取决于时间。更具体地说，是的递减函数，反映了用户逐渐失去对新闻的兴趣这一事实。
在上述系统中，和是固定的，这意味着社交网络中源和用户之间的距离随着时间的推移是恒定的。 但事实上，距离是随着时间的推移而变化。为了描述这种情况，最近，DU和Lin[6]提出了以下自由边界模型来描述新的或入侵物种的扩散：
（1.2）
其中和是常数。 对于，他们证明了问题（1.2）有一个唯一的解决方案,，并且有，。他们还给出了模型的蔓延熄灭的二择一。 此外，他们证明如果蔓延发生，扩展的前沿会以恒定的速度移动足够长的时间。
受到[6]的启发，在本文中，我们研究了具有在线社交网络的自由边界的DL模型。 该模型以下列形式给出：
（1.3）
对于一些，初始函数属于，其中：
,
表示在时刻距离为处受影响用户的密度。 是要确定的移动边界，表示用户之间信息（如电影推荐）的传播前沿。意味着没有消息在左边传播。 因此，我们只需要考虑正确部分的扩散。 和分别表示承载能力和扩散率，是固有增长率。
一般地，我们称是Stefan条件，代表信息在新区域的传播能力。众所周知，Stefan条件已经被用于许多领域，例如，它被用来模拟伤口愈合[3]，冰雪融化[16]，物种扩散[5,6,11]等。
本文的结构如下。在第二节中，我们首先证明（1.3）的解存在且唯一并证明自由边界随时间递增。然后我们提出比较原则。最后，我们应用比较原理得到上界估计。
在第三节，我们展示了传播的信息要么是永远持续的，要么停留在有限的时间内。即如果，那么并且在任意有界区域上有，即信息在整个区域上传播开来。另一方面，如果，则，并且一致成立，换言之，信息在有限的时间内熄灭。
在第4节中，通过构造一个上层解，我们证明如果足够小，信息消失就必须发生。 然后我们证明存在一个依赖于的阈值，当时，初始数据的信息在整个距离内传播。 否则，信息会消失。
在第5节中，我们证明如果信息传播发生，扩展的前沿以恒定的速度运动，这是由自由边界问题（1.3）导出的椭圆方程确定的。 最后，我们表明传播速度连续依赖于并且满足
本文在最后进行了简要的讨论。
2.存在和唯一性
我们首先通过收缩映射定理给出解的局部存在性和唯一性，然后通过解决方案的先验估计给出全局存在。
定理2.1.]}对于任何，问题（1.3）存在唯一解：
同时：
对于所有，其中和是正常数。
证明：这个定理证明可以用和[6]相同的方法，为了简洁起见，省略详细证明。
引理2.2（比较原理）
（i）假设，，且满足下列方程。
（2.1）
然后自由边界问题（1.3）的解满足：
对
可以从引理2.2得到：
推论2.3.当，这里满足：
且是2.3的解
(2.3)
3.蔓延和熄灭
从定理2.1中我们可以知道，所以是一个单调递增函数，然后我们可以得到。
定义.3.1信息的熄灭是指，如果，
而信息的蔓延是指
在的任何有界集合中x均匀分布。
引理3.2.(i) 如果，那么
（ii）如果，那么。
证明：（i）反证法。假设,则存在使得,若是下列问题的第一特征值
(3.1)
那么有，对于任意小的,有上面结果结合连续性我们可得，其中是下列问题的第一特征
(3.2)
对于给定的任意小的,我们考虑下列问题
(3.3)
对于此Logistic问题，应用[3]中命题3.3可知问题存在唯一正解显然是关于对称的。因此，我们有对于.进一步地，根据比较原理我们可知在上。受到[6]的启发，我们定义,直接计算可得
根据定义2.1可知，当时，.因此，我们可以找到使得,即,又由,从而我们得知
我们取充分小的使得,则
(3.4)
对于，由引理2.2我们得到
在运比较原理可得：
当时，
当时，由自由边界条件我们可知与上式矛盾。
综上所述，，我们可以得到。
（ii）的证明可以通过构造合适的上解，由于我们将在定理（3.4）中给出一个更强的结论，所以此处证明省略。
推论3.3.如果,那么。
定理3.4.如果,那么。
证明：首先我们说明对于任意的满足
其中依赖于,,.
事实上，我们可以考虑变换把自由边界拉直为
设，直接计算得
因此，自由边界问题(1.3)可以转化为：
(3.6)
根据定理2.1可得
其中为常数。
使用抛物方程和Sobolev嵌入定理的估计给出了这个结论
其中是依赖于的常数，我们即可获得3.5
定理3.5.如果，那么在的任意有界子集上有一致成立。
证明：由推论2.3我们可以知道,对于,其中
是问题(2.3)的解，
显然，,从而对于一致成立。又因为，则存在,使得是下列问题的解。
(3.7)
在上应用引理(2.2)可得.又因为,结合一
个众所周知的结论，我们可知在的任意子集上有一致成立。而是下列问题的解
运用[7]中引理2.2，我们知道当时，在的任意紧子集上一致收敛到，所以，,综上所述，在任意紧子集上有一致成立。
4.门槛值
在[6]中，为物种扩散或消失构建了阈值。但在这里我们考虑初始用户的大小影响，并且令。从推论3.3得出，如果,则对于任意的都有，其他情况将在下面的引理中给出。
引理4.1
（i）假设,且充分小，则且。
（ii）假设,且充分大，则且在的任意紧子集有一致成立。
证明:(i)类似[15]，我们设
这里，,使得成立，是正常数。
直接计算得：
由于，则存在一个
令,我们可以得到
另外对于
而且，当有时，我们有
也就是说
(4.1)
应用定理2.2给出了
因此
它和定理3.4一起表明了这一点
定理4.2.假设（A）成立，假设是对于某个问题(1.3)的初始值的解。则存在使得当时，消息消退，当时，消息蔓延。
证明：由推论3.3我们知道，如果,，则信息蔓延。因此，在此情形下对任意的，我们有.
对于，首先定义
根据引理4.1(ii)，如果充分大，则信息肯定扩张，因此，我们得,再由引理3.2可得，当时，；当时，.
5.扩张速度
本节介绍渐进传播速度，我们将证明当信息传播发生时，自由边界以恒定速度运动很长时间，即,，这里是由问题（1.3）的椭圆问题确定的，满足和.
(5.2)
下一个结果表明，是明确定义的，证明与[6]中的命题4.1类似，但稍作修改。命题5.1对于任意的,问题(5.1)有唯一的正解。另外，若，,则有，并且有，对于;，对于对于每个,存在唯一的
,使得.
引理5.2如果，那么
证明：首先，我们考虑
(5.2)
下面我们定义
其中，使得,通过验证可知满足
(5.3)
由引理3.5可知，对于任意,存在使得
我们定义
直接计算得
对于,参考定理4.2的证明，我们可以得到
因此，从定理2.2我们可以得到
然后
由于是一个任意正数，我们有
引理5.3.假设（A）成立，如果，那么
证明：因为，则对于任意足够小的，存在使得
从引理3.5的证明中，我们知道对于一致成立。因此，存在使得
接下来，我们运用与[6]中定理4.2相类似的方法说明结论成立。首先，我们构造问题(1.3)的合适的上解。考虑下面问题
(5.4)
其中，。如果，则.故存在充分大的证书X使得
我们定义
显然
对于
应用定理2.2，我们得到
然后：
众所周知，连续依赖于，换言之，当时，
对上式令，得
结合引理和引理，给出下面的主要结论。
定理5.4.假设（A）成立，如果，那么
定理5.5设是由命题5.1决定的渐近速度，那么我们有
6讨论
在本文中，我们研究了一个自由边界的DL模型，它描述了在线社交网络中的信息扩散。讨论了扩展前沿的信息扩散的动态行为。证明了在任意紧致子集上，
如果，则且，即信息在整个距离内扩散。然而，如果，信息是否传播取决于初始用户的规模,对于,存在一个阈值,使得
如果,若,那么，也就是说，信息在有限时间内在有限的人口部分中传播并消失。如果，信息传播就会发生（定理4.2）。而且，如果信息是传播的，我们表明在很长一段时间内，传播前沿的信息以恒定的速度运动， 而不是最小波速，（见定理5.5）。
据我们所知，本文是第一次尝试用自由边界来描述移动前沿的信息扩散模型。 我们认为有理由得出这样的结论,自由边界问题能够捕获在线网络中信息传播的几个重要特征。
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