格林函数法和一阶线性微分方程外文翻译资料

 2022-11-19 14:36:31

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J Math Chem (2010) 48:175–178

DOI 10.1007/s10910-010-9678-2

B R I E F C O M M U N I C AT I O N

格林函数法和一阶线性微分方程

Maacute;rio N. Berberan-Santos

初稿：2010年2月1日/ 定稿：2010年3月31日/ 发表：2010年4月11日

copy;Springer Science Business Media，LLC 2010

摘要: 本文利用一阶线性微分方程通解的一种紧凑形式建立了与格林函数方法的直接联系，并给出了主要结论的一种值得关注的描述。这种描述适用于许多物理和化学问题。

关键词：一阶线性微分方程，格林函数，线性响应

  1. 简介

一阶线性微分方程的通解是众所周知的，然而这种通解在教材中常以一种不必要的复杂形式给出，且缺乏物理上的解释。本文利用一个微小的变换得到通解的一种紧凑形式，进而建立与格林函数方法的直接联系，同时给出了与许多科学和技术领域有关的主要结论的一种值得关注的描述。

下列一阶线性微分方程的通解

(1)

由莱布尼茨[1]首次 ，在文献[1]-[2][3]中以下列形式

(2) 其中第一项是对应齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的特解。

然而，该通解可以写成下列更紧凑的形式，其中和都只出现一次[4]，

(3)

  1. 与Green的函数方法联系

M. N. Berberan-Santos

Centro deQuiacute;mica-Fiacute;sica分子与纳米科学与纳米技术研究所，InstitutoSuperiorTeacute;cnico，葡萄牙里斯本大学1049-001，电子邮件：berberan@ist.utl.pt

方程(3)使得通解在线性响应形式下具有了物理上有趣的描述，其中和是非负函数，自变量表示时间。实际上，(1)可以改写为

(4)

并将物理量的变化率定义为的线性函数，其系数是两个函数和。这个方程可应用于许多物理问题。在这个线性响应形式中，被称为脉冲函数。的大小描述了系统对给定外部的响应程度，而的函数（时间）相关性是外部控制的。外部激励可以发生在“单一瞬间”（增量脉冲），或者可以在一个时间段内以周期性（如正弦）或非周期性的方式给出。另一方面，函数描述了系统的一种固有特性，体现了系统对外部脉冲信号的响应。如果是非负的，则该响应将使得系统返回初始状态。

下列关联微分方程

(5)

满足条件的解就是所谓的格林函数[5]，它可以解释为物理系统对于处脉冲信号的响应，

(6)

其中是海维赛德函数（单位阶跃函数）。的非负性保证了脉冲仅具有瞬态效应：格林函数表示对在时间发生的 脉冲的单调衰减响应。的形式定义了时间响应的确切形状。在最简单的情况下，这个函数减少到一个正常数，并且是指数衰减的。

如果脉冲函数(非负)具有一般形式，那么系统的响应由方程(3)可改写为

(7)

或者

(8)

因此，时间的全部响应是两个正项的和。第一项来自在没有任意脉冲信号（类似所包含的）影响下的时间。系统在即使没有脉冲产生的情况下，也会通过内部松弛过程从初始值逐渐衰减。初始值可能是之前的脉冲信号引起的，但是其具体形式的信息并不是必需的。我们只需要知道在的取值，并不是它是如何得到的。作为一种特殊情况，如式（7），系统初始值可能由脉冲产生。最后，方程（8）的第二项描述了所有脉冲响应，每个响应产生于不同的时刻，且对应初值。

  1. 结束语

格林函数法应用于一阶线性微分方程时与其在二阶微分方程中的应用是不同的。实际上，此时只有一个条件需要指定，并且问题也不是诸如Sturm-Liouville型方程[5]等的边值问题。。只要适当选择和的符号以及格林函数微分的初值，这种单边结构就能够派生出一个关于时间变量的对称。

本文利用一阶线性微分方程通解的一种紧凑形式建立了与格林函数方法的直接联系，并给出了主要结论的一种值得关注的描述。这种描述对于各种物理和化学问题是有效的，例如，在化学动力学[4],[6]和时间分辨光谱[7]。

参考文献

  1. E.L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover, New York. (1956), (reprint of the 1926 edition), pp. 20–21.
  2. T.A. Apostol, Calculus, 2nd edn., vol. 1. (Blaisdell, Waltham, 1967), pp. 309–311.
  3. D.A. McQuarrie, Mathematical Methods for Scientists and Engineers. (University Science Books, Sausalito, 2003), pp. 524–526.
  4. M.N. Berberan-Santos, J. Math. Chem. 47, 1184 (2010).
  5. D.G. Duffy, Greenrsquo;s Functions with Applications (Chapman amp; Hall/CRC, Boca Raton, 2001), p. 18.
  6. M.N. Berberan-Santos, MATCH Comm. Math. Comp. Chem. 63, 603 (2010).
  7. B. Valeur, Molecular Fluorescence (Wiley-VCH, Weinheim, 2002), p. 167.

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