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基于非高斯股票价格模型的期权定价模型
Lisa Borland
摘要：期权是一种依赖于标的股票的金融工具。我们可以用狭义定义下的热力学参数q来解释它们的非高斯分布。目前我们已掌握的工具是一般形式的Black-Scholes（B-S）公式。标准B-S公式（q=1）被经济学家用来估计具有波动性的多期股票的期权价格。而q=1.5时的模型常用来模拟股票回报的经验分布，通过该经验分布可以得出具有波动性的期权价格的准确描述。
一、介绍
虽然具有经验分布规律的股价不符合对数正态分布，但是许多著名的数学金融定理都是基于这一结论的。例如，B-S公式可以根据这个模型推导出标的股票的期权及其他衍生品的价格。期权是一种在未来某个时刻以某固定的价格购买或出售股票的权利。虽然这一理论很重要并且被广泛应用，但这种理论上的期权价格与观察到的期权价格并不完全一致。特别的，在行权日，若股票价格并不是事先约定的价格，B-S模型将会低估期权价格。为了和观测到的市场价值匹配，B-S模型需要增加一个参数，这个参数即每次行权时的波动率。这种具有波动性的大量的行权价格形成一个“波动微笑”的凸函数。
事实上，已经有人在试图以某种方法修正B-S模型，这可以校正微笑效果。然而，那些方法通常非常复杂，或者要在特定的参数值下才能得到有效的结果。在本文中，我们成功的拓展了非高斯期权定价理论，这可以解决欧式期权的封闭解的问题。
我们的方法是采用随机过程，统计并反馈股票价格。这些过程最近在Tsallis广义热统计学中得到了发展。我们引入一个概念——驱动噪声。驱动噪声可以被解释为一个通用的维纳过程，它是由指数q决定的Tsallis分布决定的。在q趋于1时，我们得到的是Tsallis标准模型。当q约等于1.5时，这个模型与市场上观察到的许多金融产品非常吻合，比如股价，标普五百指数，汇率等。
二、建立模型
股价的标准模型是，在下，遵循
（1）
其中，mu;是平均收益，是股票收益的对数回报的方差。噪声omega;是概率F决定的布朗运动，它满足，在这里，表示期望维纳过程，通过这个模型我们可以产生一个有关S的高斯分布。在这些条件下，B-S模型能够获得标的股票S 的期权的公允价值。
在本文中，我们假设对数回报遵循时间尺度t下的关系：
（2）
这里，Omega;满足[5]
（3）
同时，概率分布P满足非线性福克尔-普朗克方程：
（4）
P的显式解由Tsallis分布给出[11]:
（5）
我们选择和来确保初始条件是满足的。在的条件下，我们可以得到一个广义维纳过程，该广义维纳分布根据在q趋近于1时均值为0的Tsallis分布给出，并且此时是高斯分布。而我们关心的是在q属于[1，5/3]时的结果[12]。此时LnS的分布变为：
（6）
这意味着对数回报在时间尺度t内服从于Tsallis分布，这和许多市场的实际情况相符，如标普500指数。下图展示的就是q=1.5时的情况。
三、模型改进
我们的模型描述了从由P决定的宏观层面到由Omega;决定的微观层面的整个系统。可以看到，每一个个体交易员都会对股价产生影响，这些影响导致的结果就是：小概率事件将伴随极大的回报，并且在任何一个方向都会有大量的回报。
使用微积分计算（2）式
（7）
记是Omega;的函数：
（8）
在标准的情况下，噪声驱动S和标的股票的衍生品的价格f(S)是等价的。这样一来，当我们把一个人的财富加入到某个资产组合中时，“噪声”会相互抵消，产生无风险的投资组合。这也就产生了普遍情况下的B-S公式：
（9）
当q趋近于1时，也就是我们所说的标准情况。这个公式依赖于无风险利率和方差，而不是mu;。因此，为了符合无风险定价理论，我们首先应该变换我们的原始随机方程。这不会影响我们的结果，并而还能通过无风险利率r估计出mu;。
这个折现股价满足。因为没有套利机会，所有无风险资产定价理论要求这个过程是鞅变过程，而不是漂移过程。我们可以定义一个与概率Q相关联的驱动噪声，对于新的噪声测量，折现的股票价格是零漂移。故有：
（10）
P是Omega;的有界函数。关于原始噪声omega;，Omega;通过（8）式与S产生联系。P只是S的一个简单函数，而随机过程可以被看作是一个标准的布朗过程。
根据格桑诺夫理论，我们可以得出等价的测量方法，我们将（10）式改写为
（11）
这里，新的噪声驱动项z通过
（12）
和omega;相关联。
对于z，我们得到,,这是一个均值为零的广义维纳过程，完全类似于在（3）式中定义的那样。与（7）式相比，回报率被无风险利率r取代。这个结果和标准资产定价模型中得到的结果是一样的。因此在无风险过程中，（8）式变为：
（13）
这消除了我们在（9）式中提到的依赖关系。在随后的讨论中，通过标准化分布，我们可以得到S（t）和r的函数Omega;（t）。
假设欧式期权C依赖于S（t），它的价格f通过无风险市场下的期望价值给出。我们假设这个期权的价值依赖于在T时刻的股价。综合上式我们可以得到：
（14）
随机变量服从Tsallis分布。因此有：
（15）
其中，。
我们知道：可以通过变量转换成。最大的不同点在于项是噪声漂移引起的。当q=1时，标准期权价格是包含在内的。
（15）式对于任何的支付都是有效的。我们将为一个欧式看涨期权进行评估，这使得持有者有权在到期日当天以K的价格来购买股票S。支付是。当且仅当S(T)gt;K时，期权在执行日T有价值。这样的期权价格c为：
（16）
这和标准情况完全不同，在标准情况下，不等式式是线性的，而条件S（T）对所有大于阈值的随机变量的值都是满足的。在我们的例子中，由于噪音引起的较大的漂移，在风险中性的条件下，S(T)不是单调递增的，而是一个关于噪声的函数。当q趋近于1时，较大的根趋近于无穷大，这包含了标准情况。但是当q增长时，噪声分布的尾部增大，噪声也会诱导漂移转回。我们得到的一个结果是：
（17）
(18)
四、结论
(16~18)式共同给出了欧式买入期权价格的表达形式。我们计算出不同指数q下的期权价格，并且研究他们的相关变量的性质，例如当前股价S(0)，行权价格K，距离到期日的时间T，无风险利率r和波动率sigma;。
我们比较标准模型下（q=1）的结果和在q=1.5时的结果。
1、该图展示了买方期权的价格的不同。
2、下图中，B-S模型展示了K的函数的波动性。在短期投资中经常提到的微笑函数重新产生了“波动性微笑函数”的系统数据。
3、下图中，标普五百指数的波动性与我们使用q=1.5时的模型得出的结果相一致。这些结果使得我们有信心去估算更大的样本。
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