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二维三阶非线性薛定谔方程的空间六阶
交替方向隐式方法
Leonard Z. Li，孙海卫lowast;，Sik-Chung Tam
澳门大学数学系
摘要：基于组合紧致差分格式，提出了求解二维三次非线性薛定谔方程的交替方向隐式方法。所提出的方法空间具有六阶精度、时间具有二阶精度。利用线性傅里叶分析方法研究了该方法的稳定性。对所提出的方法的效率和准确度进行了数值测试。非线性薛定谔方程的常见解也采用文献中已知的相关实例进行说明。
关键字：三次非线性薛定谔方程 组合紧致差分格式 交替方向隐式方法 无条件稳定性 解决方案模式 波状运动
1.介绍
在本文中，我们研究以下二维三次非线性薛定谔方程（NLSE）：
伴随着以下初始条件：
和Dirichlet边界条件：
在矩形域Omega;= [Lx，Rx]times;[Ly，Ry]isin;R2和计算时间间隔（0，T）内，i是复数单位，a，
b和q是实常数，是的边界，u0和g给出足够平滑的函数，v是任意的实值势函数，u（x，y，t）是描述孤子运动的未知复数波函数[1].
NLSE是数学物理中最重要的方程之一，它已被广泛用于模拟各种非线性物理现象，如水下声学，量子力学，等离子体物理学，双分子动力学，非线性光学和电磁波传播[2]。 三次NLSE是NLSE最重要的课题之一，也被称为Gross-Pitaevskii方程（GPE），它在模拟玻色 - 爱因斯坦凝聚体的流体动力学中扮演着重要的角色[3–10].
最近，由于NLSE的广泛使用，许多研究人员对开发数值方法来解决这个问题表现出浓厚的兴趣，其中包括有限差分方法[11–13]。交替方向隐式（ADI）方法，最初由Peaceman和Rachford提出[14]，以下简称PRADI，是其中涉及的方法之一，因其高效率而闻名。 ADI方法将原始的多维问题转化为一维问题的集合，一般只需要三对角线系统的处理，从而导致其高效率的良好声誉。然而，原始ADI方法的空间二阶精度限制了其在越来越多具有挑战性的计算问题中的应用。为了提高ADI方法的空间精度，一种方法是利用高阶紧致（HOC）差分格式[15–17]，由于其较高的准确度而被广泛使用，与传统的差异方案相比，没有额外的困难。 在[18]基于标准的四阶Padeacute;方案，Gao和Xie开发了ADI方法，该方法在空间中具有四阶精度，并且在时间上精确到二阶，以求解二维薛定谔方程。最近，徐和张[19]提出了一种空间四阶和时间二阶精度的HOC-ADI方法来求解二维立方NLSE。在[3,4]，作者比较 和回顾了解决NLSE / GPE的不同数值方法。
最初由Chu和Fan [20]在1998年，旨在解决一维或二维稳态对流扩散方程。 三点六阶CCD方法是一个以三重三对角矩阵作为系数矩阵的隐式方案，可以用三次正向消除和三次后向置换[20]。 当CCD方案应用于求解方程时，我们不会离散原方程中的一阶和二阶导数，而是使用两个适当的公式分别逼近它们。 因此，方程中的未知变量在三三角形系统中与其一阶和二阶导数联合求解。 实际上，这个区别特征使得CCD方案特别适用于求解非线性方程以及具有可变系数的方程。 由于方程(1) 是一个非线性方程，我们有理由利用CCD方案来解决它。
CCD-ADI方法[21]被提出用于二维非定常对流扩散方程，将CCD方案和ADI方法结合在一起。CCD-ADI方法是类似于DYakonov ADI的方案，其需要以复杂的方式基于CCD-ADI方法的第二方程确定中间变量的边界条件，包括额外的计算步骤故意偏向y的偏导数。 虽然处理DYakonov类ADI方案的中间边界条件提高了准确性，但它显着延长了计算时间。
在本文中，我们利用CCD和ADI方法来求解二维三次NLSE，开发了一种CCD-PRADI方法。为了避免确定中间变量的边界条件的不便，我们在推导CCD-PRADI方法时采用PRADI方案，其中我们通过计算Dirichlet边界条件简单地取中间边界条件(3) 在执行中。 虽然在许多文献中不鼓励采用这种方式来处理中间边界条件[22]，由于CCD方法的高精度，这种看起来笨拙的处理结果是有效和令人满意的。在推导CCD-PRADI方法的第一步中，我们使用Crank-Nicolson方案对原始方程进行时间离散化，然后将产生的半离散化因子分解成PRADI方案，并带有两个一维问题。在第二步中，利用CCD方法解决了高效三向消除和三向后置换的两个一维问题。提出了精细的算法来指导CCD-PRADI方法的求解二维三次NLSE的实现。CCD-PRADI方法在空间中是六阶精度，在时间上是二阶精度。 如果常数a，b和q不是太大，即方程(1) 没有奇点，那么，如[23]，我们可以采用线性傅里叶分析方法[1,19,24]来研究所提出的方法的稳定性。
本文的其余部分安排如下。在第二部分中，我们提出了一种用于二维立方NLSE的CCD-PRADI方法。所提出的CCD-PRADI方法的线性稳定性分析在第二节中进行了研究3。部分4 包含一些数值例子，显示了所提出的方法的性能，以及NLSE的常见解决方案。 最后一节进一步阐述了所提议的方法的一些评论。
2.用于三次NLSE的CCD-PRADI方法
在本节中，我们首先将方程(1) 暂时的离散化然后应用CCD方案来获得完全离散化以产生用于三次NLSE的CCD-PRADI方法。由于(1)非线性，CCD-PRADI方法需要对每个未知时间级别进行迭代处理以产生近似解。
为了方便起见，我们重写方程(1) 如下所示：
首先时间间隔为[0,T],被划分为N个相等的子区间，其中时间步长，并且T=
(n=1，2，....，N)，设phi;alpha;是phi;（x，y，）对于具有正实数alpha;的任意函数phi;（x，y，t）的近似值。 应用Crank-Nicolson方法在周围，离散时间导数(4) 我们有：
注意，我们得到以下与上述等价的等式，
由于系数a,b和q是常数，我们可以应用PRADI方案[14]来解决上述不等式，我们首先用在第n个时间水平上给出的解决在中间层的，然后用刚刚在中间层求解的在第（n 1）个时间水平上求解，最后我们获得以下PRADI方案：
到目前为止，我们只实现了(4)的时间离散化。为了实现空间离散化，我们将域Omega;划分为一个由网格集{（xj，yk）}表示的均匀网格，其中xj = Lx jDelta;x，yk = Ly kDelta;y，其中j = 0,1，....Mx ，k = 0,1，....My，Delta;x和Delta;y为网格步长，Mx和My分别为x方向和y方向的网格编号。
令为任意函数phi;（x，y，t）的phi;（xj，yk，t）的近似值。既然方程(6)
（a）和（b）是一维的问题，我们可以利用以下六阶CCD方案[20,21]来解决(6)
和
其中h是空间中的网格大小，phi;是任意足够平滑的函数，并且
，.
是上述均匀网格中的或。
让 ，，
在任何时间t，CCD-PRADI方案如下所示：
在这里的第二个偏导数(9)（a）和（b）近似于(8).
如前所述，对于j = 0,1，....Mx和k = 0,1，....My，中间变量的边界值在（9）（a）直接采取从边界条件(3)。实际上，这是确定中间变量边界值的一种更有效的方法比起[21]。CCD-ADI方法是类似DYakonov ADI的方案，其需要基于un 1的边界值通过CCD-ADI方案的第二方程来确定中间变量的边界值。这通过CCD-ADI方法实现额外的步骤以确定中间变量的边界条件，首先通过CCD方法计算关于y的一阶和二阶偏导数。尽管中间边界值的这种处理的确提高了中间边界值的准确性，但它显着增加了计算时间。最重要的是，当空间高阶精确方法（如CCD方法）与ADI一起使用时，它不再是至关重要的方法。 另一方面，在CCD-PRADI方案中(9)（a）和（b）可以简单地得到un 1的满意边界条件计算(3)。从数值结果部分4，我们得出结论，CCD-PRADI方案(9)（a）和（b）是一种令人满意的方法，这也表明了确定所提出的CCD-PRADI方法的中间边界条件的有效性。
在CCD-PRADI方法的实现中，我们有上面的CCD公式(7) 和(8) 有关联(9)（a）或（b），形成一个通常不在边界关闭的系统。要关闭系统，我们必须进一步利用以下五阶单边边界条件[20,21],
和
其中M是Mx或My。此外，值得注意的是，尽管我们采用了五阶边界条件(10) 和(11)CCD方法的六阶精度可以达到，这可以在数值结果中得到证实，如[20,21,25]。 因此，我们断言CCD-PRADI方法在理论和数值上都是空间上的六阶精度。
为了开始计算，我们首先需要用初始值为u0（x，y）的高阶精确方法计算它可以由CCD方法完成。 尽管如此，除了CCD公式之外(7)–(8) 和(10)–(11)，我们需要以下两个额外的边界条件[21],
J，K
和
关闭导数计算系统。
一般来说，系数qne;0，因此(9)（b）是一个非线性方程，因为系数。因此，Picard迭代，也被称为定点迭代，被利用来解决(9)（b），在实施CCD-PRADI方案时产生以下迭代过程，
其中和分别表示第（s 1）次迭代解和是(9)（b）每个未知的时间水平。 迭代的初始值被选择为并且迭代被执行直到停止标准
J，K
J，K
我们给出以下算法来显示实施CCD-PRADI方法来解决方程式的详细说明方程(1).
算法1：实现CCD-PRADI方法
通过（7）-（8），（10）-（11）和（12）-（13）计算出，其中
- 在所有的网格点处计算（9）（a）的右边，并且在当，时计算出边界条件
- 用CCD方法（7）-（8），（10）-（11）和边界条件
求解（9）（a），i.e,
- 在所有网格点处计算（9）（b）的右边
- 解出（11）
- 用开始迭代
- 当时，
- 用CCD方法（8）-（9），（12）-（13）和边界条件解出
- 误差计算和解更新
3.稳定性分析
我们现在研究CCD-PRADI方法的稳定性。在这里，我们只考虑没有奇异性的方程（其中a，b，q不是太大），这使我们可以用线性傅里叶方法研究稳定性; 见[1,19,23,24].
假设u在x方向和y方向上都是周期性的，并且在网格节点（j，k）处，让
其中，，是时间电平n处的幅度，和分别是x方向和y方向上的相位角。
在 [21]，揭示了，和之间的关系，其结论如下引理。
引理1（参见[21，引理1]）。 幅度，和在以下公式
其中，
图 1. 在和的三个时间水平t = 0.25,0.35,0.5时问题1的CCD-PRADI方法的数值解（左）和绝对误差（右）
令，通过上面的引理，我们有：
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