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对称环和可逆环的Ore扩张
摘要：R是一个环,为R的自同态,并且为R的-导子.本文证明了如果R是(，)-相容并且(，)-斜Armendariz环.那么R是对称的(或相容)的,当且仅当R[x; ，]也是是对称的（或相容）的.最后,我们对文献[6]和文献[7]的结果进行了推广和一般化.
- 引言
在本文中,R表示具有1的结合环.环R的ORE扩张为R[x; ，],其中是R的自同态,并且是-导子,即:R→R的映射,使得对于所有a,bR,(ab)=(a)(b) (a)b.回想一下R[x; ，]是x中的多项式,其中系数写在左边.R[x; ，]的乘法为对所有aR，xa =(a)x (a)给出.环R称为对称环,如果对于所有a,b,cR,由abc=0,可得到acb=0.环R称为可逆环,如果对于所有的a,bR,由ab=0可得ba=0.约化环（即没有非零幂零元的环）由Anderson和Camillo [1，定理1.3]指出是对称的.交换环很明显是对称的,对称环很明显是可逆的.一个环R叫做Armendariz环,若对任何多项式,g=,满足,若fg=0,则对任意i,j,有.可逆环上的多项式环不需要是可逆的.并且对称环上的多项式环不需要是对称的(参见文献[7]和[11]).根据Krempa [9],一个环R的自同态是刚性的,如果对于所有的aR,由a(a)= 0可得到a=0.如果R中存在刚性自同态,则称为R为-刚性环.由文献Hong et al. [5]知道环的任何自同态都是单一同态,并且-刚性环是约化环.文献[5]和[9]中已经研究了刚性环的性质.在文献[4]中定义了拥有一个自同态的环R是-斜 Armendariz环，如果对任何多项式,g=,满足,若fg=0,则对任意i,j,有.由文献[3],一个环R是(，)-斜Armendariz环,如果若对任何多项式,q=,满足,若fg=0,则对任意i,j,有.从文献[2]可知一个环R是-相容的,如果对任意a,b，a(b)=0当且仅当ab=0.而一个环R是-相容的,如果对任意a,b,ab=0当且仅当a(b)=0.如果R既是-相容的又是-相容的,我们就称R是(, )-相容的.环R为刚性环,当且仅当R为(, )-相容环和约化环[2，引理2.2].此外，如果R是-刚性的,则R[x; ，]是约化的[9，定理3.3].由文献[6]和[7],如果R是约化的,那么T2（R）是对称的.Huh等人在文献[6]和Kim和Lee在文献[7]中证明,如果R是Armendariz环，那么R上的一般多项式环是对称的(可逆的),当且仅当R是对称的(可逆的).在这里,我们通过说明R是(, )-相容的和(, )-斜 Armendariz环,将这一结果扩展到Ore扩张.然后，R是对称的(可逆的),当且仅当R[x; ，]是对称的(可逆的).因此,我们对[6，命题3.4]和[7，命题2.4]做了推广和一般化.
R为一个环,让
Tn(R) =
并且
Rn=,
其中,n2..由[7，例1.3和1.5]知,如果R是约化的,Rn在n2时不一定是可逆的。Tn(R)的元素为(a1,a2,...,an).那么Tn(R)是具有点加法和乘法的环,其中乘法为:对任意的ai,bj R,(a1,a2,, an)(b1,b2,, bn)=(a1b1,a1b2 a2b1, ,a1bn a2bn-1 anb1).在[6，推论2.4]中,如果R减小,则T2(R)是对称的.另一方面,如果R是对称的,则Tn(R)不需要是对称的.对于n=2,存在示例,使得环R是对称的,但是T2(R)不是对称的.令H是实数字段上的汉密尔顿四元数。那么由[6，推论2.4]，S = T2(H)是对称的.但是由[7，例1.7],T2(S)不是对称的.同样通过[6,实例3.7]和[7,实例1.3]知道,如果R是对称的,那么对于n3，Tn(R)不需要是对称的.
- 对称和可逆环上的Ore扩张
存在环R的内同态sigma;，使得(i)R是对称的,(ii)R[x;sigma;]不对称，(iii)R不是sigma;相容的,(iv)R是sigma;-斜Armendariz环.
例2.1.考虑Z2上的多项式环，R = Z2[x],令sigma;:R→R是由sigma;(f(x))= f(0)定义的内自同态.那么:
(1)R是约化的因此是对称的;
(2)R [y;sigma;]不可逆（因此不对称）:令f=ay,g=bisin;R[y;sigma;],其中a= x和b=x,则fg=ayb=asigma;(b)y=0,但是gf=bay=x( x)y0。
(3) R不是sigma;-相容的:令f= x,g=xisin;R,我们有fg=( x)x0，然而fsigma;(g)=(1 x)sigma;(x)=0.
(4) R是sigma;斜Armendariz 环[4，例5]。
在Ore扩张R[x;sigma;,delta;]中,我们有:
其中isin;End(R， )表示sigma;中所有可能单词的和的映射,delta;以i字母sigma;和n-i字母delta;构建.（特别地， =sigma;n， =delta;n）.[10，引理4.1]。
引理2.2 令R为环，sigma;为R的同构，delta;为R的sigma;-导子。如果R是(sigma;,delta;)相容的. a,bisin;R，对于所有jge;ige;0,ab=0rArr;a(b)=0.
证明 如果ab=0,则对于所有ige;0和jge;0，asigma;i(b)=adelta;j(b)=0,因为R是(sigma;，delta;)-相容的.那么对于所有的i，j，a(b)=0.
引理2.3 令R为环，sigma;为R的自同态,delta;为R的sigma;-导子.如果R为sigma;-刚性环,则:
(1)R是(sigma;,delta;)-斜Armendariz环;
(2)R是sigma;-广义斜Armendariz环.
证明 (1)如果R是sigma;刚性的，则R是(sigma;,delta;)-相容的,由[2,引理2.2].令,g=,使得fg=0，则=0，对于所有i，j[5，命题6].因此= 0，对于所有0le;lle;ile;n，0le;jle;m引理2.2.因此,aixibjxj=.因此R是(sigma;，delta;)-斜 Armendariz环。
(2)令f =g =isin;R [[x; sigma;]],使得fg = 0,那么对于所有ige;0和jge;0,.由[5，命题17].由于R是sigma;-相容的,所以对于所有ige;0和jge;0,.
引理2.4 令R为环,sigma;为R的同态,delta;为R的sigma;-导子.假设R是(sigma;,delta;)-斜Armendariz环和(sigma;,delta;)相容的.那么对于,g=,和c.我们有:
(1)对于所有0le;ile;n,0le;jle;m,fg = 0hArr;= 0;
(2)对于所有0le;ile;n,0le;jle;m,fgc = 0hArr;= 0;
(3)对于所有0le;ile;n,0le;jle;m，0le;kle;p,fgh = 0hArr;=0.
证明 (1) (rArr;)令,g=,使得fg=0.由于R是(sigma;,delta;)-斜Armendariz环，则对于所有i，j，=0.另一方面，
其中p（x）是次数严格地小于i j的多项式.因此,通过sigma;相容性假设=0,对于所有I,j,我们有=0.
(lArr;).假设对于所有I,j,=0.因此，
由引理2.2我们有，对于所有i,j,l,。因此,
fg=.
(2) (lArr;).显然
(rArr;)
gc=,
其中，.由(1),可得到
对于,l=m,我们有,对于所有,由于R是相容的,那么
对于,l=m,我们有= 。因此
, (m-1)
我们以与下面相同的方式继续，直到步骤k，即，
=0,0le;ile;n,mminus;kle;jle;m.
对于l = m-k-1，我们有对所有0le;ile;n，
.
如上我们有对于所有0le;ile;n,mminus;kle;jle;m,=0.因此,对所有0le;ile;n,mminus;kle;jle;m.那么. 由于R是sigma;-相容的，对于所有0le;ile;n.
结论:对于所有0le;ile;n,0le;jle;m,=0
(3) 足以证明(rArr;)首先,我们知道fgh=0rArr;fgck=0,其中kisin;{0,1，...，p}.我们有
fg=
由(1)fgh=0,于是
所以fgck=0,其中kisin;{0，1，...，p}.现在,(2)对于所有的i，j,k,有=0.
引理2.5 令R为环,sigma;为R的同态，delta;为R的-导子.如果R为(sigma;,delta;)-斜 Armendariz和(sigma;,delta;)相容的.那么:
(1)R是可逆的当且仅当R[x; ，]是可逆的;
(2) R是对称的当且仅当R[x; ，]是对称的.
证明 对称(可逆)环的任何子环再次是对称的(可逆的).因此,(1)和(2)可以显示（rArr;）就足够了.(1)如果，则g == 0 bjxjisin;R[x; ，]，使得fg = 0，通过引理2.4(1),对于所有i,j,我们有aibj=0.由于R是可逆的,所以对于所有I,j,bjaii=0.因此gf= 0.
(2)如果，则g == 0以及h=isin;R[x; ，]，使得引理2.4(3)的fgh=0,对于所有i,j,k,我们有aibjck=0. R是对称的,所以对于所有i,j,k,aickbj =0.因此fhg=0.
从实例2.1可以看出,定理2.5中的条件“R为(sigma;,delta;)-相容的”不是多余的.
引理2.6 令R为环,sigma;为R的同构,delta;为R的sigma;-导子.如果R为sigma;刚性的. 那么:
(1)R是可逆的当且仅当R[x; ，]是可逆的;
(2)R是对称的当且仅当R[x; ，]是对称的.
证明 由引理2.3，定理2.5和[2，引理2.2]可得.
引理2.7 ([6，命题3.4]和[7，命题2.4]).如果R是Armendariz环, 那么,当且仅当R [x]是对称的(可逆的)时,R是对称的(可逆的).
存在环R的内同构sigma;和sigma;-导子delta;的示例，使得R是对称的，R是(sigma;,delta;)相容的,(sigma;,delta;)不是sigma;-刚性的.
例2.8 令R为环,sigma;为R的同态，delta;为R的sigma;-导子.假设R为sigma;刚性.考虑环
T3(R)是对称的,因为R是约化的.R的同态sigma;扩展到由((aij))=sigma;((aij))定义的内同构：T3(R)→T3(R),R的sigma;-导子扩展到：T3((aij))=delta;((aij))定义的(R)→T3(R).我们可以很容易地验证是T3（R）的导数.通过[2，实施例1.2],T3(R)是(,)相容且不是刚性的.现在,我们证明,T3(R)是（，）-斜Armendariz环.令pisin;T3（R）[x; ，]，p可以用(p1,p2,p3)的形式表示,令p=(p1，p2，p3)和q =(q1,q2,q3)为T3(R)[x; ，]的元素.假设pq=0,则pq=(p1q1,p1q2 p2q1,p1q3 p2q2 p3q1)=0.因此,我们有以下的方程组;
(1) p1q1=0;
(2) p1q2 p2q1=0;
(3) p1q<su
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