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广义Sundman转换下的三阶常微分方程线性化:
W. Nakpim *, S.V. Meleshinfoko
School of Mathematics, Suranaree University of Technology, 111 University Avenue, Nakhon Ratchasima, 30000, Thailand
文章资讯 ： . 关键词：
文章历史：20081210 线性化问题
接收于2008年12月10号： 广义Sundman转型
接收修订于2009年6月3号： 三阶非线性常微分方程
出版于2009年6月17号：
上传网络于2009年6月25号：
主题分类（AMS 2000）：
34A05
34A25
摘要: 本文得到了最一般的三阶常微分方程 通过广义Sundman变换
可转化为的充分必要条件，这里且为常数。
介绍
许多求解微分方程的方法使用一个坐标变换将原方程转化为更简单的形式。由于线性方程组是被认为最简单的方程，所以如何将一个给定的微分方程转化为线性微分方程是值得研究的问题，即微分方程的线性化问题。现有文献中解决线性化问题所用到的变换包括点变换，接触变换，降阶变换，微分变换及广义Sundman变换。
1883年Lie [1]通过点转换的方式解决了二阶常微分方程的线性化的问题。1997年，Grebot [2]研究了通过限制逐点转换的方法对三阶常微分方程进行线性化变换，即 2004年，Ibragimov和Meleshko [3]解决了用逐点转换的方式将三阶常微分方程线性化的问题，2008年，Ibragimov等数学家解决了用逐点转换的方式将四阶常微分方程线性化的问题。
1885年，Lie指出所有二阶微分方程可以通过接触变换的方式相互映射到对方，但是这不完全适用于三阶常微分方程。在2002年，Neut和Petitot [6]通过接触变换的手段解决了三阶常微分方程线性化的问题。
文献[8]和[9]中讨论了利用微分[7]或者差分替换以降低或增大常微分方程的阶数。
本论文主要考虑广义Sundman变换，该转变是一种非点变换，定义如下
文献[10]研究了通过广义sundman变换下的二阶常微分方程线性化问题。文献[11]应用广义sundman变换得到了三阶常微分方程等价于方程的充分必要条件。注意到根据拉格朗日定理，三阶线性常微分方程的标准形式如下
其中 如果 ，则方程可由广义sundman变换转化为一个非微分方程的函数方程，因此，唯一还没有研究的情形是。
文献[11]研究发现任何可通过广义sundman变换线性化为的也可利用变换
来实现。他们称为Sundman对称。Sundman对称的详细分析由Euler和Euler [12]给出。
在本文中，我们重点研究最一般的三阶常微分方程可转化为方程(2)充分和必要条件，其中且为常数。这种线性化利用了Sundman变换，且得到了完整的线性化准则。
广义Sundman变换
本节将会广义Sundman变换进行详细的介绍。给定函数，对公式的第二个方程
求积分可以得到 使用反函数定理得。将 代入到函数
中得到一个转换函数
反之，给定的函数，利用反函数定理求解的方程
对下列常微分方程求积分
可以得到。将函数代入到函数可以得到转化函数
根据这些公式，我们可由 的导数来求函数的导数，反之亦然。
线性化的必要条件
本节致力于寻找可由方程(2)施以广义Sundman变换得到的三阶常微分方程 的表示形式。这个表示与文献[11]中的结果相类似。
方程对求微分可以得到
通过可得到，代入，我们将能够得到下列方程
其中函数与和相关：
值得注意的是，如果 这些方程应与文献[11]的相应方程一致。
方程给出了一个三阶常微分方程可通过广义Sundman变换转化为线性方程(2)的必要条件。
线性化的充分条件
为了获得足够的条件，我们必须解决在给定系数下的关于函数和的超定偏微分方程组的可容性问题。这些条件可以从下面获得。
通过公式—可以得到和的导数：
注意在公式—的右端可以通过函数和及函数的一阶导数求出。例如，通过（12）对求导得到并代入到（15）中，可得到的表达式。之后，公式—的左侧可以通过函数和及函数的一阶导数的表达式表示出来。
比较以下混合偏导数
可得到函数和的新的方程，其中一个方程是
其中
对可容性的进一步研究与的取值相关。
4.1．的情况
假设，我们有
将代入到和中，可得到以下方程
其中
由于，则有.
将代入到和，得到以下条件
关于和对求微分，可以得到
把代入到中得到
由于混合偏导数和可以由公式和求得，我们需要考虑以下方程
这些方程式可转化为
其中
方程可以在条件下得出。如果关于和对公式求导，我们得到
其中
进一步的研究取决于的条件。当时，通过公式可以得到
这表示，如果且，那么条件,,和是方程可通过广义Sundman变换进行线性化的充分条件。这些条件保证了由,,和组成的关于函数和超定偏微分方程组是对合的。
假设,通过式可以得到
将带入，，，，和，可得到
上述公式表明，如果且，那么，，，及是方程可通过广义Sundman变换进行线性化的充分条件，这些条件保证了由, ,和组成的关于函数和超定偏微分方程组是对合的。
-
- 的情况
因为通过式可以得到
由的最后两个方程我们可以得到
其中
如果由方程可得到条件
这表示，如果且，那么条件，和就是方程可通过广义Sundman变换进行线性化的充分条件。这些条件保证了由-组成的关于函数和超定偏微分方程组是对合的。
假设，通过公式可以得到
将代入到和中，可以得到下列方程
其中
将代入到和中，则得到
其中
因为，我们有。关于和对求微分，可以得到以下方程
将代入到和中我们可以得到
其中且
将代入到和中，我们可以求出以下条件
从而，如果且，那么条件，，，和就是方程可通过广义Sundman变换进行线性化的充分条件。这些条件保证了由，，和组成的关于函数和超定偏微分方程组是对合的。
以上所有讨论结果即证明了下列定理。
定理1. 方程可通过广义Sundman变换进行线性化的充分条件如下:
- 假设且那么需要满足的条件是，，，.
- 假设且那么需要满足的条件是，，，，和;
- 假设且那么需要满足的条件是，和;
- 假设且那么需要满足的条件是，，，和.
实例
例1：考虑非线性三阶常微分方程
这是一个符合（5）的一个方程，其系数为
注意到
我们可检验这些系数符合定理的条件(b)。 从而方程可通过广义Sundman变换进行线性化。为求得函数和我们必须求解方程，，和，将他们转化成
选择最简单形式，取，显然他们满足，，和，我们可得到变换
因为 由公式可得.于是公式可通过变换转化为线性方程
方程的一般解是
其中，和是任意常数。对方使用Sundman变换，我们可以得到方程的一般解为
其中函数 是下列方程的解
例如，如果，且，可得方程的解如下，其中 是常数
.
致谢
本研究成果由the Royal Golden Jubilee Ph.D. Program of Thailand（TRF）资助。我们也感谢E.Schulz, A.C.-J. Luo 及匿名审稿人对本论文所提的建设性意见。
参考文献
[1] Lie S. Klassifikation und integration von gewnlichen differentialgleichungen zwischen x;y, die eine gruppe von transformationen gestatten. iii.Archiv for Matematik og Natur
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资料编号：[31835]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
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