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Nonlinear Analysis: Real World Applications 13（2012） 2790-2793
避难所数量为常数的Lotka–Volterra捕食-食饵系统正平衡点的稳定性
Fengde Chen lowast; , Zhaozhi Ma, Huiying Zhang
College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350002, PR China
文章信息
文章历史: 2012年1月30收到, 2012年4月12接受
关键词：正平衡点、Lotka–Volterra捕食系统、猎物避难
摘要：本文研究了避难所数量为常数的Lotka–Volterra捕食-食饵系统正平衡点的稳定性。通过构造适当的Lyapunov函数，得到了正平衡点全局渐近稳定的一组充分条件。我们的结果完善和补充了现有研究结果。
- 简介
避难所的存在对捕食者和食饵的共存有着重要影响，对具有避难所的捕食-食饵系统的动力学行为研究已经成为了过去十年中的热门课题; 见[1–22,26]; 文献[23]证明了一个具有避难所的高斯捕食-食饵模型可能存在一个无界解；Gonzaacute;lez-Olivares等人在[24]证明了结合食饵物种的Allee效应，高斯型捕食-食饵模型可以有多于一个的正平衡点，同事他们给出了保证极限环存在性和唯一性的充分条件；Liu和Han在[25]也研究了具有避难所的捕食-食饵系统的Hopf分支问题。
最近，Ma [11] 在他的博士论文中研究了避难所数量为常数的传统Volterra捕食-食饵系统的动力学行为，即：
（1.1）
其中和分别表示捕食者与食饵在时间t时的密度，都是正常数。
在讨论系统（1.1）的稳定性之前，我们先介绍一个定理。
考虑下面的一般高斯型捕食者-食饵系统：
（1.2）
设是系统（1.2）的正平衡点。Ma ([11],27页）给出了以下结果。
定理A. 假设
（1.3）
对于所有成立。那么是全局渐近稳定的。
关于系统（1.1）正平衡点处的稳定性，文献中没有给出详细证明。Ma [11]宣称若假设成立，则对系统（1.1）应用定理A，可得到以下结论（见定理3.6在[11]）。
定理B. 如果成立，那么唯一的正平衡点是全局渐近稳定的，其中
(1.4)
然而，条件不能确保系统（1.1）满足不等式（1.3）。为证明此结论，取。显然，。然而，简单计算可得到，对于任意，有
（1.5）
因此，定理B成立与否仍然是个开问题。
本论文的目的是给出定理B成立的一个新的证明。
2. 主要结果的证明
定理B的证明：显然，满足等式
(2.1)
上式等价于
(2.2)
现在我们构造下面的Lyapunov函数
(2.3)
显然，对任意的，有定义且连续。同时，由于，易知。简单计算可得
(2.4)
式(2.4)表明正平衡点是函数在正象限的唯一极值。可以很容易地验证
(2.5)
式(2.4)和(2.5) 表明正平衡点是全局极小值，即，对任意，有
。
计算对的导数，利用等式（2.2），我们有
(2.6)
显然，对任意的，除正平衡点满足以外，严格成立。因此，满足Lyapunov的渐进稳定条件，且系统(1.1)的正平衡点是全局稳定的。证毕。
3. 结论
Ma [11] 提出并研究了避难所数量为常数的传统Volterra捕食-食饵系统。他提出，应用定理A，在定理B的假设下，系统（1.1）存在唯一的全局渐近稳定的正平衡点。然而，我们发现定理A不能直接应用于系统(1.1)。在本文中，我们通过构造适当的Lyapunov函数，证明了，若条件成立，则系统（1.1）具有唯一的全局渐进稳定的正平衡点，我们的研究结果完善和补充了Ma [11]的主要结果。
致谢
作者非常感谢匿名审稿人的建设性意见，这这些意见对该论文的修正有着很大的帮助。同时，本研究工作由福建省自然科学基金项目(2011J01007)，福建教育厅研究基金（Jb09001），福建省技术创新平台项目（2009J1007）资助研究。
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