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由DCIS数学模型提出的系数识别问题
摘要：本文考虑由导管原位癌（DCIS）引起的自由边界模型的系数识别问题.该反问题旨在从边界点处的测量数据识别营养物消耗速率.我们首先证明了该反问题解的全局唯一性.然后基于优化方法，我们给出了一种正则化算法来重构营养物消耗率.最后，我们给出了一个数值实验来证明所提方法的有效性.
关键词：积分微分方程，反问题，卷积核，自由边界问题.
1 简介
在本文中，我们考虑以下一维导管原位癌（DCIS）模型：
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其中，，表示肿瘤的生长边界是个未知的函数.常数是营养物扩散时间标度与肿瘤生长时间标度的比率.由质量守恒考虑可得以下关系：
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其中，和都是已知的正常数.有关该模型的详细信息，请参阅[10].
系统和是具有与原位导管癌相关的自由边界的数学模型，其是指在乳腺导管内分离并且尚未扩散到乳房的其他部分的癌症的特定诊断.这里和同时是未知的.在实际情况中，中的函数表示营养素消耗率，这很难直接提前测量.然而我们期望从测量中推断出函数.在本文中，我们将耦合到演化方程，在边界点处对进行以下附加观察：
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作为我们的反演输入数据，以确定仅在时间上变化的未知函数.由于在自由边界问题 中是未知的，在某种意义上，自由边界问题实际上已经是一个反问题.我们的逆问题是一个传统的系数反演问题，它结合了未知的自由边界. 所以这些反问题是新的，更复杂的.
关于自由边界问题的数学研究已很广泛，如[28，4，5，7，8，2]，其中解的存在性，唯一性和在Holder空间框架下的大时间性质都已被广泛研究.至于与DCIS相关的自由边界问题，请参阅Xu[10]和Li，Xu和Zhou[3]，文中证明了问题和的存在性和唯一性.
在过去的二十年中，已经有一些与自由边界的系数识别问题有关的工作.例如，Ivanchov[15]证明了具有自由边界的一维热方程反演时间相关系数反演问题的存在性和唯一性.在具有自由边界的情形下，Hryntsiv[21]考虑了在弱退化抛物方程中确定时间相关系数的反问题.Hussein，Lesnic，Ivanchov和Snitko [22]研究了在两个附加积分条件下具有未知自由边界的多个系数识别问题，其他结果还可参阅[13,14,16,17,32,33]及其中的参考文献.
然而，据作者所知，具有自由边界的积分微分抛物方程的记忆核的识别尚未被研究.由于中第一个等式中的和同时是未知的，因此这种反问题是非线性和非局部的.在本文中，我们研究这种反问题的存在性，唯一性及数值方法.
本文的其余部分安排如下.在第2节中，我们证明了反问题的全局唯一性.在第3节中，我们给出了基于优化方法的正则化方法.在最后一节中，我们通过数值实验证明了该方法的有效性.
2 唯一性
在本节中，我们证明在一个恰当的Banach空间中的解的全局唯一性，即下面的定理.
我们首先引入可行域
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让我们叙述自由边界正问题和的存在性和唯一性结果.
引理 设，满足且.这样直接自由边界问题和有一个唯一解使得
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其中.
引理可以通过Xu在[10]中定理中提出的相同方法来证明.所以我们在这里省去证明.
现在我们说明本节中的主要结果.
定理 设，满足且.那么对于任意，反问题的解是唯一的.
注 在现有的文献中，对于足够小的，即局部唯一性结果，唯一性是可得到的.与这些论文不同，我们证明了在时间上的全局唯一性.
证明 令和分别是对应于和的两个解，并且在中满足.此外，我们设，，.
让我们引入
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在下文中，我们将证明分为两个步骤.
步骤 证明.
如果，那么我们可以选择足够小的，使得，对于，我们得到.另外，在不失一般性的情况下，通过的定义，我们可以进一步假设，即对于有.通过直接自由边界问题的唯一性，对于，我们得到.
然后我们得到
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由于对于有，可推出在中有.所以通过最大值原则，在有.此外我们可以证明
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在中 |
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否则存在一个点使得，这是中的最小值.我们有，以及，这是与相矛盾的.所以成立.将Hopf引理运用到，可得到对于有.根据边界条件这是不可能的.所以.
若，我们可选择一个足够小的使得，并且对于有.显然，对于有.然后我们考虑接下来的Cauchy问题：
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接下来，我们对变量进行更改以拉直自由边界.设，并且
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然后按照[5]，此问题转变为
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我们设
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具有大参数和使得
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注意到，在中，，我们可以用中的代替在Carleman估计中传统的权重函数.然后通过对抛物线方程应用卡尔曼估计到，例如， 定理在[12]中，我们有
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对于所有大和.对于固定的和，在上，由于，我们可得到
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这导致在中，即在中.所以我们得到对于有并且进一步地
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其中.然后我们发现
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这说明了在上.这与的定义矛盾.所以我们有.
从上面的论证中，我们推导出.
步骤 证明.
令.通过自由边界问题和的唯一性，可以得到，对于，.如果，那么可以选择一个足够小的使得并且
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我们假设
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对于任意小的，我们使用来表示以下自由边界问题的唯一解
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我们断定
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由于，所以当有足够小的，这在区间上是正确的.如果我们的断言不成立，那么存在使得在上并且.于是我们有
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现在我们在区域中比较和.由于对于有且对于有，所以
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强极大值原理说明对于有，通过这个我们得到
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但是，通过可得到
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即，这与矛盾.所以成立.根据中，可得到对于有.通过类似的论证，我们可以证明对于有.通过Hopf引理我们得到对于有，这与边界条件矛盾.所以，不成立.换一种说法，存在使得.类似地，我们还可以证明存在使得.所以我们找到一个点使得，这是与相矛盾的.所以.
从步骤到步骤,我们得到对于所有的有以及，从中我们立即得到了的唯一性.这完成了定理的证明
3 基于优化的重构算法
定理保证了未知的始终是可识别的.本节我们给出一个重建方案，从给定的噪声数据中检索出，使得
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其中是噪声水平.众所周知，这种系数反问题是不适定的.换句话说，测量数据中的任何小扰动都可能引起反问题解的大的变化.因此，我们需要一些正则化技术来稳定计算过程.为此，我们引入了以下优化问题：
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和
其中其中表示对应于的直接自由边界问题的解.注意到.这里我们使用中的惩罚系数，通过优化在的子集中找到近似解.
接下来我们首先证明的极小值的存在.然后我们进一步表明，极小值是在足够小的的情况下逆问题的近似解，并且是在与测量数据匹配的意义上的一个合适选择.
定理 令，满足并且.那么对于任意给定的和，存在一个极小值使得.
证明 为了证明中极小值的存在性，我们需要相对于中的的的连续性质，即对于使得当时，中，我们有
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通过我们立即得到
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设和是分别对应于和的直接自由边界问题和的解.通过变量转换，我们发现满足
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以及
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其中并且.类似地，由代替，满足和，其中.所以，我们发现满足
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其中
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其中我们已经有
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用乘以并且在得到
从引理我们在中统一推导出以下估计
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显然，对也成立.将Schauder对线性抛物方程的估计应用于，我们得到了
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