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附录X 译文
数学思维：数学方法
前一章列出了与方法相关的数学思维类型，但具体来说，这意味着什么?本章将分析每种类型的含义。
4.1归纳思考
意义
归纳思维是一种思维方法，其过程如下所示。
什么是归纳思维(推理)?
(1)试图收集一定数量的数据;
(2)努力发现这些数据的共同规则或属性;
(3)推断包含这些数据的集合(整个变量域)包含所发现的规则和属性;
(4)用新数据验证推断出的一般性的正确性。
例子
例1.创建乘法表。
乘法的意思是“对同一个数字进行多次相加的运算”。按照这个意思,创
建如下的乘法表。例如，第4s行将有以下内容:
42=4 4=8
43=4 4 4=12
44=4 4 4 4=16
45=4 4 4 4 4=20
这是一个收集数据，然后重新检查数据以生成规则的示例。
例2.将一张纸从左到右完美对折。在第十次折叠之后会有多少条折痕，当你继续折叠时，所有的矩形每次都被折叠成两半?
如果一个人真的尝试做这个实验，很明显，折叠10次是不可能的(这个经验很重要;请参见图4)。
然而，从一开始折叠，当折叠的数量仍然很小，折叠仍然很容易(简
化思维)
第一次折叠 第二次折叠
图4
允许人们尝试发现描述折痕数和折痕数之间关系的规则。两次折叠的结果如表2所示，其中折痕数为1，折痕数为3。这可能会导致人们推断折痕的数量会增加到5 7，以此类推，从1开始，以奇数的形式增加。
表2
|
数量的叠 |
数量的折痕 |
|
1 |
1 |
|
2 |
3 |
为了验证这一点，再试着折叠一次。这就得到了以下结果，它揭示了前面归纳的错误(见表3)。
表3
|
3 |
7 |
|
4 |
15 |
此外，该数据显示，折痕的数量增加了2、4和8，从而归纳出在模式2、4、8、16中，折痕的数量增加了，等等，或者在每次迭代中增加一倍。
使用新数据验证诱导规则(第五次)。
这种类型的思维是归纳思维。这个例子展示了如何在收集数据时尝试查找规则。
归纳思维教学的重要方面
归纳思维在有效的情况下使用是很重要的。换句话说，有必要教给孩子归纳思维的好处。其中之一是演绎思维无法很好地解决的问题的经验。
此外，由于归纳规则并不总是正确的，孩子们必须学会用新数据验证规则的必要性。
教孩子归纳包括以下内容也是一个好主意:
- 收集一定数量的数据并重新检查数据以发现规则的情况;
- 在收集数据试图找到共性时发现规则的情况;
- 在预测规则的同时收集数据，并进行验证
4.2类比思维
意义：类比思维是一种非常重要的思维方法，建立观点和发现解决方案。
什么是类比思维(推理)?
对于命题A，人们想知道它的性质、规则或解法。
然而，当不知道这些事情时，可以回想一个已知的命题A，它类似于A(假设对于A，人们已经知道属性、规则、解决方法等
等，这些被称为P)。然后考虑一下关于P的A，以及关于A，我们可以说些什么。
例子
- 在前面的归纳思维示例中，我们为4s行创建了一个乘法表。让我们继续创建第6行乘法表。这是按照从6 times; 1开始的顺序创建的，类似于第4行。此时的想法是:“如果我能够找到与创建第4行相同的规则，那么我便能够轻松完成整行内容。此外，在创建第4行时已经发现了一条规则。有人会想:“也许，如果6行也有类似的规则，如果我以同样的方式找到它，那么这应该是可能的。“接下来，按与第四排相同的方法进行。这就是类比思维。进行如下:
就像第4行一样，从写下以下内容开始，同时记住“每当数字增加1，答案也必须增加一定的固定数量。”
61=6
62=6 6=12
63=6 6 6=18
根据这种思路来审视情况，就会发现“数字每增加1，答案就增加6”。发现这一规律后，完成6s这一排就变得很容易了。
此外，可以以同样的方式轻松创建其他行。这就是类比思维的好处。
例2. 宽度和重量的比较和测量类似于长度的比较和测量。当一个人学会了如何比较和测量长度之后，他就可以学会如何比较和测量重量。
虽然长度和重量不相同，但它们的相似之处在于都涉及到对大小的比较。出于这个原因，人们回忆起如何处理长度。当长度比较时，直接比较它们，如果不可能，则将其中一个或两个长度复制到容易比较的对象，例如字符串，然后直接比较它们。
此外，为了清楚地说明比较长度的差异，选择了适当的单位，并用于表示数值测量。为了使度量具有通用性，使用了法定单位。
在讨论权重的时候，首先要考虑的是，它可能可以用与长度相同的方式处理，因此要考虑如何直接比较权重。其次，我们还考虑了间接比较的方法，此外，我们还考虑了以一枚1日元硬币的重量为单位进行测量。最后，人们认为，必须有合法的单位可以用来进行具有普遍性的度量。
重量的比较和测量将以这种方式独立学习，同时欣赏每个阶段的好处。这里的重点是类比思维，它是用来从长度的比较和测量中进行类比。
即使在比较和测量宽度的情况下，通过上面的类比也可以表明类比思维发挥着重要而有效的作用。
因此，类比思维是一种建立视角、发现解决方案的有效思维方法。
类比思维教学的重要方面
在考虑解决方法和结果的角度时，重点是让孩子们思考“我是否已经学到了一些类似的东西?”或者“我能以同样的方式对待这件事吗?”或“这个问题也能这么说吗?”然而，类比思维依赖于相似性，并考虑是否可以陈述相同的事物。因此，它并不总是提供正确的结果。例如，对于小数2.75 43.8的加法，一个学生已经学会了237 45或13.6 5.8。在此基础上尝试创建一个类比知识。
对于之前的加法，孩子会把加法问题写下来，然后用右边对齐的数字进行加法。
237 13.6
45 5.8
如果孩子将这个形式类比为新问题，并试图用右边对齐的数字写下问题，它将像这样:
2.75
43.8
当然，这是错误的。相反，子程序现在通过在写入问题之前添加以下内容时对齐一列中的位置值来进行类比:
2.75
43.8
然后澄清一个类比是否正确是很重要的。
4.3演绎思维
意义
什么是演绎思维(推理)?
这种思维方法利用已知的基础，试图解释一个命题的正确性，从而断言某些东西总是可以表述的。
例子
例1．考虑一下表4中4或8的倍数是如何排列的(每4个数字或每8个数字的排列不用说——看看其他的特征排列)。
首先，在表4中写下4的倍数和8的倍数。粗体和哥特数字是4的倍数，其他哥特数字都是8的倍数
表4
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0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
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20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
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30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
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40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
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50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
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60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
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70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
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80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
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90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
一旦孩子写下了数字表的一部分，他或她就可以归纳:“沿着一行，然后留下两列，可以从8的一个倍数移动到另一个倍数。对于4的倍数，用同样的方法表述，也可以归纳为:“向下一行，然后离开两列，可以从4的一个倍数移动到另一个倍数。”
然后，考虑“为什么有可能做出这个简单的陈述”和“对于超过99的数字是否仍然有可能做出这个陈述，以及为什么会这样”是演绎思维。
接下来，考虑如何对其进行解释。在这一点上，你会意识到它是可能基于数字表是如何创建的。这也是一种演绎思维，基于以下几点。
因为这个数字表每一行有10个数字，“向右移动一个位置，数字增加1，向下移动一个位置，数字增加10。
基于此，很明显向下移动一个位置总是加10，向左移动两个位置总是减2。结合这两步总是增加8(10 - 2 = 8)。因此，如果有人将8加到4的倍数(或8的倍数)上，结果总是4的倍数(8)。这解释了正在发生的事情。
通过以这种方式用自己的能力取得结果，就有可能获得对自己结论正确性的信心，并有力地断言这一结论。总是试图解释你所诱导的事实，你就会有这样的感觉。同时，考虑基于明确证据的一般性解释(数字表的创建)。这就是演绎思维。
例2. 演绎思维不仅在高年级使用，而且在低年级也使用。
假设在三年级一位数乘法开始时，有这样一个问题:“你需要给8个
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