计算逆矩阵的放大方法外文翻译资料

 2023-09-04 15:12:59

计算逆矩阵的放大方法

路易斯·古特曼著

康奈尔大学

1.总结。扩展原理提供了通过在连续较大子矩阵的逆上逆反转任何非奇异矩阵的技术。这些计算例程相对较容易学习，因为它们是重复的。概述了三种不同的放大例程：一阶、二阶和几何阶。没有任何一个计算需要比求矩阵平方更多的计算量。

2.简介。本文基于一组扩大矩阵原理，提出了一套计算逆矩阵的方法。其原理是在相继较大的子矩阵的逆之上建立逆。这导致了简单的重复例程，这与迭代步骤没有不同，但提供了一个直接的解决方案。

这种惯例的基础以前也已经被注意到了，[1] [2]但这似乎并没有引起它应有的注意。这种缺乏关注的一个可能原因可能是这些方法只适用于受限制的矩阵。本文建立了一个简单的引理，证明了扩展方法适用于所有的非奇异矩阵，使它们的使用是完全通用的。

扩大原则可以被认为是一个相反的u冷凝物n支配高斯消去方法的原理及其变体，如杜利特尔程序和艾特肯的“关键凝结”。海有趣的是，扩大方法所基于的相同公式也可以作为凝结方法的基础，如下文第7节所示。

扩大方法具有以下特点：

  1. 统计人员在十分钟左右就学会了下一节中概述的一阶方法。偶尔计算逆的人，在时间之间忘记了过程，应该发现这种方法和那些必须经常计算逆的人一样经济。
  2. 它们是直接的方法，产生一个精确的答案，工作量不比矩阵的平方多。
  3. 它们可以应用于电冲孔卡系统，当非常大的矩阵被倒置时，这将是有效的。

斯托尔公司

www.jstor.org

  1. 产生了一系列的逆值。在例程中计算连续较大子矩阵的精确逆，这些逆本身往往很感兴趣。对于相关问题，这意味着通常会产生一系列连续的高阶多相关常数集。
  2. 方法所基于的一般公式允许许多变化，以便很容易地对特殊矩阵进行特殊的适应。

下一节将概述计算逆矩阵的“一阶”放大程序。该方法的证明遵循第4节中的一般公式。这个程序和公式也在[2]中被描述。后续章节将介绍其他扩大程序。在第8节中讨论了一些其他相关的公式。

  1. 让期望其逆的矩阵为

以下连续较大的主子矩阵序列假设为非奇异的：

如有必要，请使用A的行和列，总是可以被移动来获得这样的序列。还将使用以下附加符号：

这样，我们就可以写出来了

一阶放大程序是依次计算，的倒数是按传统步骤计算：

{1}计算一个，并计算

{2}然后

请记住，和 计算的步骤内容如下：

{3}计算 .

{4}计算

{5}计算公式

{6}计算，并计算

{7}往中的每个元素中添加相应元素的和并形成

那么三阶逆的值是

一般来说，要从获得，模拟步骤{3}到{7}：

{3}计算 ,

{4}计算

{5}计算

{6}计算，并计算

{7}计算,然后

通过重复应用步骤3到7到依次得到较大的。

如果是An是对称的，然后几乎一半的矩阵被保存下来，然后而是对称的，(i=2,3，，n-1)

为了辅助估计到达的工作需要求出，让我们将它与平方所需要的工作进行比较。对于一般的非对称情况，n2需要n项的积和，总共n3乘法。使用计算机，计算的总和被累积，因此不涉及单独的添加过程。通过上述放大方法要达到，需要使用的乘法。大部分的加法是在这个过程中通过累积乘法完成的，但有一个额外的

必须添加，否则需要n-1个倒数。因此，涉及的乘法比以前少一些，但需要更多的加法，以及一些倒数的数。

在线性多相关问题中，如果是第一个i 1变量的相关矩阵，然后包含预测(i 1)变量的第一个i变量的回归系数，而是该回归的多相关系数的平方。

4.一个引理和一般公式。刚才概述的扩大程序是许多可能的例程之一，它可以从分区形式的逆矩阵的一般公式中发展出来。这个公式似乎首先出现在[2]中，其中声明该方法只适用于步骤{4}中#0的情况。我们将在这里建立一个引理，表明这不是限制，因为步骤{4}中的子矩阵总是是非奇异的。我们的引理证明了放大方法可以反转任何非奇异矩阵。

设为An是一个n阶的非奇异矩阵，以该形式划分

其中A为m阶，（1lt;mlt;n），并假定为非单数。B和C为n-m行和m列，D为n-m阶。

接下来需要以下引理来证明扩大方法将反转任何非奇异矩阵：

引理：如果在(1)中，和是非奇异的，那么矩阵

⑵

对于证明，在后乘A的第一个子矩阵列通过然后从第二个值中减去，M不同于An只有通过一个基本的变换；因此，它的等级是A的n . 但显然，M的等级是A和F的等级的和。因此，F的秩为n-m，而F是非奇异的。

反演公式本身标识如下：

(3)

通过将任何一个方向上的正确成员乘以（1）的正确成员，可以直接验证恒等式的成立，从而得到单位矩阵。

在第3节中，在步骤{7}中所展示的公式很容易被识别为公式（3）的一个特殊情况，其中n=i 1、m = i，F对应于，这是一个标量数；因此在这种情况下很容易计算出来。

5.二阶放大器。在公式（3），一旦给出了，其余的工作基本上是简单的矩阵乘法，除了计算第3节的，F很容易倒置，因为它是阶上的单位。如果F是二阶的，它也可以很容易地倒置，这样一个二阶放大程序是可行的，从计算。这些步骤与第3节中的步骤相似，但涉及到更大的矩阵。

让与第3节有相同的含义，现在定义和根据分区的

然后Bi和Ci是两排的和i列，Di是二级的。如第3节所述计算。然后，要从计算出，步骤如下：

{3}计算

{4}计算

{5}计算通过第3节的步骤[1]和[2]。

{6}计算，并计算

{7}计算

然后，

如果n是偶数，连续的扩大将导致。如果n是奇数，则得到，根据第3节计算可通过计算出

此过程的乘法和加法的数量与第2节相同。然而，涉及的写作更少，因为只有大约一半的被倒置。缺点是在每个阶段比第3节的步骤更复杂。

  1. 几何形状的增大。另一个程序是可以称为几何放大。在这里，根据步骤计算，可以描述如下。让Ai具有与以前相同的含义，根据分区重新定义Bi、Ci和Di

然后，Di都像Ai一样，是i阶的方阵。计算一个^1 根据步骤{1}和{2}，并计算A41根据步骤{3}到{7}，从计算，步骤在形式上与以前相同，步骤比较复杂：

{3}计算

{4}计算

{5}通过用与处理相同扩充的方法求解

{6}计算，并计算

{7}计算

这种方法比其他方法涉及的写作更少，但更复杂。

  1. 聚合方法；特殊情况。公式（3）还通过“反解”为聚合方法提供了基础。例如，设A为m阶，其中m是一或二以便A倒置。那么F是n-m阶的，我们将用划分成这个形式来表示它

当再次为m阶时，定义。继续这个过程，直到达到一个容易倒置，并向后解决，然后得，通过重复使用（3）。

公式（3）在很大但很容易倒置的特殊情况下很有帮助，如对角矩阵、正交矩阵等。然后，工作可以集中在倒置一个比A小得多的F上n .

  1. 进一步的解释。展示一些与公式（3）相关的矩阵恒等式是很有趣的。使用第4节的符号，让我们寻找的逆在表格中进行分区

（a）

一个需要满足的方程式a:

产生方程

⑸

⑹

⑺

如果A和D是非单数的，那么从（6)和(7)，

使用（5)和(8)中的(9），并记住第4节的引理，我们得到了

(10)

在（9)中使用(10）会产生以下结果

将（10)和(11)放到(4）中就完成了这个公式

(12)

将（3)和(12）相比，我们有了式子

(13)

(14)

这当然可以通过直接的简化来验证。

这些恒等式的一个重要特征是，左边括号中的矩阵是m阶，而右边括号中的矩阵是n-m级

作者[3]，[4]和（14)的莱德曼([7]，[8])和作者([3]，[4])注意到了(13）关于因素分析的回归问题。在这种特殊情况下，A是一个对角矩阵，因此很容易倒置；n -m是常见因子的数量，通常与%相比很小；观察到的m个变量的相关矩阵乘以形式

；反转m阶相关矩阵的工作基本上被简化为反转一个小得多的矩阵。

应该注意的是，（12)、(13)和(14）假设A和D都是非奇异的，其中（3）只假设A是非奇异的(因为那时F从第4节的引理中必须是非奇异的)。

参考文献

  1. W.J.Duncan.Some devices for the solution of large sets of simultaneous linear equations[J].Phil.Mag,1944,35:660-670.
  2. R.A.Frazer,W.J.Duncan,R.A.Collar.Elementary Matrices,Cambridge University[J].Press,1938.
  3. Louis Guttman.Multiple rectilinear prediction and the resolution into components[J].Psychometrika,1940,5:75-99.
  4. Louis Guttman and Jozef Cohen.Multiple rectilinear prediction and the resolution into componentsII[J].Psychometrika,1943,8:169-183.
  5. Harold Hotelling.Some new methods in matrix calculation[J].Annals of Math.Stat,1943,14:1-34.
  6. Harold Hotelling.Further points on matrix calculation and simultaneous equations[J].Annalsof Math.Stat,1943,14:440-441.
  7. Walter Ledermann.A shortened method method for the estimation of mental factors by regression[J].Nature,1938,141:246.
  8. Walter Ledermann.On a shortened method for the estimation of mental factors by regression[J].Psychometrika,1939,4:109-116.
  9. J.Morris and J.W.Head.Lagrangian frequency equations,an escalator method for numerical solution[J].Aircraft Eng.1942,14:312-316.
  10. F.V.Waugh.Anote concerning Hotellings method of inverting a partitioned matrix[J].Annals of Math.Stat.1945,16:216-217.

  1. 它早些时候就出现在[2]中。Waugh最近的注释[10]也重新发现

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