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美国资产市场之间的联系：二元GARCH检验框架
Salim M.Darbar和Partha Debl
摘要
本文建立了一个双变量GARCH模型，该模型考虑了时变条件相关性，同时检验了两个Granger因果联系：一个市场的收益波动性对市场间相关性的影响和一个市场的收益波动性对另一个市场波动性的影响。本文利用美国股票、债券、货币和大宗商品市场的每日数据，找到了每种联系形式的证明。此外，条件相关性随时间而变化，并表现出相当的持久性。估计的时变条件相关性提供了对1987年股市崩盘本质的证明。
1.引言
自1987年10月美国股市崩盘以来，人们对资产负债关系的实证和理论研究重新产生了兴趣。然而据我们所知，在国际股票市场和外汇市场中，没有针对美国不同资产市场的此类调查。在本文中，我们考虑了美国四大金融市场：商品市场、外汇市场、债券市场和股票市场，并考察了两种联系：（i）一个市场的收益波动性对该市场和另一个市场之间相关性的影响，以及（ii）一个市场的波动性对另一个市场波动性的影响。
研究美国金融市场之间的二阶关系有很多原因。一般来说，资产波动率和交叉资产相关性很重要，因为它们影响投资组合的波动率，并对CAPM产生影响。特别地，我们选择的四个资产市场都相当大，正如投资者在国际上多样化一样，他们也在美国境内的不同资产上多样化。因此，本研究的结果可用于改进投资组合管理策略。更重要的是，对美国资产市场之间联系的研究对监管政策具有启示意义。由于跨国政策协调的问题，国际股票市场和外汇市场的研究不具备这一特征。另一方面，在一个国家，很有可能在整个资产市场实施一项协调一致的监管政策；这种政策可能主导每个市场的单独政策。最后，对美国不同市场之间联系的分析不太可能受到市场时机（缺乏同步交易）和不同假日、文化差异等造成的异质性问题的影响，这些特征在跨国研究中不可避免地存在。
有越来越多的经验证据表明，国际股票收益率波动性与收益率对之间的相关关系是同时存在的。Bennett和Kelleher证明，一个月内越高的日波动率，与更大的跨国相关性相关。King和Wadhwani利用伦敦、纽约和东京1987年7月以来的每小时股票市场回报率，找到了对这一假设的支持。到1988年2月。King、Sentana和Wadhwani利用1970年1月至1988年10月期间的每日数据研究了16个国家的股票市场。他们还发现波动性和相关性之间存在正的同期关系。这些研究考察了同期关系，而我们考察了从波动性到相关性的格兰杰因果关系。
关于波动性溢出的经验证明“一个市场的波动性与另一个市场的波动性之间的格兰杰因果关系”是复杂的。Hamao、Masulis和Ng使用一元GARCH模型研究东京、伦敦和纽约的股票市场。他们在1985年4月1日至1988年3月31日的每日数据中发现了波动溢出的证明。而Susmel和Engle发现波动性溢出的证明少得多。他们将Hamao、Masulis和Ng结果的强度归因于非稳健估计产生的相关参数的标准误差，这些误差通常太小。TeodoSosio和Lee使用多变量GARCH模型研究了从1980年1月11日到1991年12月27日的美国、日本、英国、加拿大和德国的每周股市数据。他们还发现了波动性溢出的证明。对于外汇汇率，Engle、Ito和Lin发现他们的热浪假说（特定国家的波动溢出）证据很少，但流星雨假说（跨市场波动溢出）证据更多。
乍一看，从波动性到相关性，从一个市场的波动性到另一个市场的波动性，格兰杰因果溢出关系的存在表明市场不是信息有效的。然而，King和Wadhwani（1989年）以及King 等人（1994）提出的理论模型表明，如果信息结构使得价格不能完全揭示信号，那么这种联系可能来自代理人对信息的合理处理。
大量证据表明，资产收益率的条件波动率存在时变性，而资产之间的条件相关性存在时变性的证据也越来越多。这些数据的特点，再加上模型的可取性，在这个模型中，收益可以很方便的测试出来，从而开发出一个新的双变量GARCH模型。由于许多原因，以前的双变量GARCH模型参数化是不够的。有些指定的条件协方差矩阵不是全局正定的。另一些则规定了常数相关或直接参数化条件协方差，使得对条件相关的检验假设不可能或非常不便。最后，如果使用流行的线性GARCH规范来参数化方差，则必须将波动溢出限制为非负，以使条件方差全局为正。但是没有理论上的理由排除负溢出，因此强调了有效允许负溢出的规范的重要性。
在第二节中，将更详细地描述了以前规范的缺点，并引入一个克服上述缺点的二元逻辑指数GARCH（LEGARCH）模型。在第三节中，描述了数据并给出了资产收益的一些特征。第四节给出了基于LEGARCH模型的实证结果。最后，在第五节推出结论。
2.模型
单变量GARCH模型被广泛应用于描述经济和金融时间序列的统计行为，尤其是以高频率取样的单变量GARCH模型被广泛应用于描述经济金融时间序列的统计行为，尤其是高频采样的经济金融时间序列。早期关于波动性溢出的研究是使用单变量模型进行的，其中一个市场的波动性作为第二个市场方差中的外生变量引入。至少，这种方法是无效的；如果信息矩阵不是准对角的，那么估计将是不一致的。此外，当测试一个方向的波动溢出时，单变量GARCH方法假设没有反向溢出。如果确实存在双向溢出，则测试统计数据可能具有误导性。
最近，许多参数化多个时间序列之间协方差的多元GARCH过程被用于波动溢出的研究。在多元GARCH模型中，M元素残差向量规定如下：
(1)
式中，是时变条件协方差矩阵和一些分布。计量经济学文献中讨论了的几种规格。在Bollerslev，Engle和Wooldridge(1988)的对角向量形式中，过程中的分量由下式给出：
(2)
这种形式是很简约的，并且有一个潜在的吸引人的特性，即协方差的每个元素只是它过去历史的函数。但这种变体并不能保证所有实现的的正定性。在Engle和Kroner（1995）的广义正定形式中，条件协方差矩阵规定为：
(3)
的选择决定了过程的一般性。如果，则得到正定GARCH公式，该公式已在许多应用中使用，但在这里是不可取的，因为它不允许对收益的假设进行方便的测试。然而，人们可以使用这种形式来估计收益的脉冲响应函数。
在上述每个参数化中，条件相关过程都是条件协方差矩阵中底层参数和变量的复杂函数。它们不能方便地用于检验条件相关性的假设，因为一般来说，收益假设不能仅通过对参数的限制来生成。然而，这些形式允许对条件协方差的假设进行方便的检验。
为了检验关于一对资产之间的条件相关性的假设，最好指定具有条件相关性参数形式的二元GARCH过程，而不是条件协方差。双变量常数相关GARCH模型（Bollerslev，1990）就是这样一个规范，它将条件相关参数化为常数。这种模式的明显缺点是不允许条件相关函数中的动态变化。Joy等人（1976年）和Longin和Solnik（1995年）等人的研究表明，资产回报率之间的条件相关性是时变的。如果条件相关是时变的，那么常数相关GARCH模型是错误的，因此，一般来说，任何基于该规范的测试都是错误的。
最后，前面的所有规范都使用了条件方差的线性GARCH参数化。这种形式的一个严重缺点是，溢出项必须是非负的，条件方差才能在全局上得到很好的定义，即，如果溢出系数为负，则对于某些随机变量的值，条件方差可能变为负。因此，我们对条件方差采用EGARCH规范（Nelson，1991）。因为条件方差函数的参数是指数的，所以不需要符号限制来保持全局正性。
Braun，Nelson和Sunier使用EGARCH模型的一个双变量版本来估计资产（投资组合）和具有时变条件beta;的市场回报之间的CAPM关系。由于他们的规格时变条件beta;和条件方差，他们的模型意味着一个时变条件相关。然而，他们的模式不适合我们的目的有两个原因。首先，CAPM关系是特殊的，不适用于两个任意资产之间的关系。第二，如果不对方差和（或）beta;施加严格限制，就不可能对相关的特定假设进行检验。
A.Logistic指数GARCH模型
设表示标准化扰动。二元过程的条件方差函数由下式给出：
(4)
条件协方差函数是条件相关和相关条件标准差的乘积。在模型h条件相关被指定为logistic变换指数函数的迭代，即:
, (5)
(6)
在标准化误差的交叉积的过去值中，函数是线性的，交叉积是随机变量，代表过去的条件变量相关性。等式(5)中的变换确保条件相关是在(-1，1)中，条件协方差全局正定的一个充分条件。该模型的一般多元模拟不能保证全局正解的确定性。然而，在估计过程中，通过检查样本中每个点的条件协方差矩阵的特征值，可以确保样本的正定性。
假设误差向量遵循二元正态分布，因此每个观测值的条件可能性由下式给出：
, (7)
其中是所有参数的向量。最大化的对数可能性为：
() , (8)
在非正态误差的情况下，这种方法将产生拟极大似然估计（QMLE）。在适当的正则条件下，QMLE参数估计是一致的和渐近正态的（Gourieroux，Monfort和Trognon，1984）。利用Broyden、Fletcher、Goldfarb和Shanno（BFGS）算法对LEGARCH模型进行了数值导数估计。与其他GARCH模型一样，递归计算条件covaria~e矩阵相对简单。在收敛时，协方差矩阵的鲁棒估计量MLE估计为：
, (9)
其中是梯度贡献矩阵，是黑森函数。两者都是数值计算。
B.连杆试验
以下是方程（6）给出的条件相关性允许从条件方差到条件相关性的格兰杰因果关系，即：
(10)
条件波动率Granger导致条件相关假设的检验是和的检验。当公式(4)中的方差规格被扩展时使得:
(11)
通过检验，检验了市场j的波动性与市场i的波动性之间的格兰杰因果关系。我们使用未标度残差来捕捉溢出方程(10)和(11)中的效应，以保持与先前关于波动性溢出的工作的一致性。
3.数据
该数据由美国四种金融资产10年（1984年3月1日至1993年12月31日）的日价格组成：商品指数(COM)，即商品研究局(CRB)商品分指数(能源、谷物、原工业和金属)、CRB货币指数(CUR)、CRB利率指数(INT)的平均值，以及标准普尔500指数。所有数据均来自骑士里德出版的CRB信息技术数据库。我们将日收益率定义为收盘价的对数差(乘以100)。继Karolyi(1995)之后，我们剔除了1987年10月16日、19日、20日和21日的回报率，因为它们很可能因87年的经济崩溃而影响过大。因此，整个周期由2528次观测组成。在下面的分析中，还考虑了两个子时段，第一个是1984年3月1日至1987年10月13日(T=961)，第二个是1987年10月22日至1993年12月31日(T=1567)。
表1列出了所有三个样本的资产收益汇总统计数据。CUR、INT和STO的平均日收益率在每个时期都为正，而COM的平均日收益率为负。只有股票在每个时期都表现出持续的负偏态，但其他市场也表现出一些显著的偏态。每个序列都显示出明显的过度峰度和拱度。然而，没有证据表明序列相关。总的来说，汇总统计数据与金融时间序列数据的程式化事实是一致的。
4.结果
为了确定双变量GARCH分析的适当平均规范，估计了每个子周期的双变量VARMA模型，并在表2中报告了Akaike信息准则(AIC)和Schwarz贝叶斯准则(SBC)。SBC总是选择模型-对于每个对和每个子周期。AIC与子周期2的SBC一致，但有一些证据支持子周期1.3中的和。然而，鉴于支持VARMA的证明占优势，我们用简单指定为常数的平均方程估计LEGARCH模型。
单变量EGARCH模型估计表明，规范充分解释了每个变量的条件方差过程市场。因此,选择只估计每对市场的模型，并在估计后检查模型的充分性。此外，还估计了基线情况下的4变量LEGARCH模型，并在总体结构变化和相似参数估计中发现了相似的结果。然而，考虑到这些高维模型中参数扩散的常见问题，我们报告并解释了来自二元LEGARCH模型的结果。
表3包含了第一个亚周期（碰撞前）和第二个亚周期（碰撞后）之间数据结构变化的稳健Wald检验。有证据表明除两对COM STO和CUR-STO外，其他所有对的结构变化。对模型的特定组成部分的结构变化的进一步测试，即在分别采取的方差和相关规范中，表明INT的条件方差中存在结构变化的大量证据，以及COM-CUR和CUR-INT对中相关结构变化的证据。基于这些结果，我们分别研究了这两个时期的利益联系。
由等式（4）-（6）分别给出的各时期基线模型的参数估计和残差诊断见表4。方差方程的参数与GARCH模型的程式化事实一致，即ARCH参数较小（0.049~0.139），而GARCH参数较大（0.971~0.998），表明条件方差具有高度的持续性。由于异方差一致性Q统计量（残差和平方残差）表明没有显著的自相关，因此该序列似乎得到了充分的建模。标准化残差中的多余峰度比原始数据中的峰度要低得多，但它们仍然是显著的，这表明资产收益的密度是不
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