英语原文共 10 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
附录A 外文参考文献（译文）
西罗定理
当我们回到非阿贝尔群，所以我们回到乘法符号。西罗定理给出了一个关于无限阿贝尔群的一次分解的无限非阿贝尔群的类比。
回想这个群是很简单的，如果并且除了{1}和本身以外没有其他的正规子群。
我们在命题2.78中看到，阿贝尔单群正是素数阶的循环群Ⅱp，我们在定理2.83中看到，是所有的非阿贝尔单群。 事实上，是最小阶的非阿贝尔简单群。如何证明小于阶的非阿贝尔群不简单？ 练习2.105指出，如果一个阶的群，其中是素数，，那么不是简单的。这个练习表明，许多小于60的数字不是简单组的顺序。剔除所有素数幂后(根据第204页练习2.106，素数幂阶的群从来都不是不简单的)，剩下的可能性只有
12, 18, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 56.
这个练习的解使用柯西定理，它说有一个阶的元素，因此有一个阶的子群。
我们将看到，如果有一个阶的子群，而不是，其中是除以的最高幂，那么练习2.105可以推广，候选列表可以缩短到30，40和56。
关于群论、特征论和替代论的最新着作acute;1870年，乔丹写的《代数方程》出版（其中一半以上是关于伽罗瓦理论的，后来称为方程理论）。大约在同一时间，但为时已晚，在约旦的书，三个基本定理被发现。1868年，舍林证明了基定理：每个阿贝尔群都是初级循环群的直积；1870年，L.克罗内克不知道舍林的证明，也证明了这一结果。1878年，G.Frobenius和L.Stickelberger证明了阿贝尔群的基本定理。在1872年，L.西罗证明，对于每一个n次群G和每一个素数p，如果是p次除的最大幂|G|，那么G有一个子群。
回想一下，p-群是，每个元素都有一个素数p的阶幂，同样，G对于某些 k ge; 0群的阶数。（当完全在阿贝尔群的上下文中工作时，如最后一节中，我们将G称为p-初级群。）
设p是一个素数，群G的西罗 p-子群是一个极大p-子群。
极大性意味着，如果是G和 P le; Q的p-子群，则当P = Q西罗 p-子群总是存在的，我们现在证明了如果S是G的任何p-子群(可能S = {1})，那么如果没有严格包含S的p-子群，则S本身是最大p-子群，即S是西罗 p-子群。否则，存在一个p-子群，Slt;.如果是最大的，它就是西罗，我们就完成了。否则，就会出现的p-子群；因此，具有的p-子群。这个产生越来越大的p-子群的过程必须在有限的步骤之后结束，因为{G}是有限维的，因此最大的必须是西罗 p-子群。
例 6.16 设G是n阶有限群，其中p是素数，，证明了如果存在p阶的子群P，则P是G的西罗 p子群，如果Q是具有P le; Q le; G的p-子群，则|P| = | |Q|。但如果|Q|= ，则 |和 k le; e，即，|Q|=和Q = P。
定义：如果H是群G的子群，那么H的共轭就是形式的一个子群。当一个a isin; G. .共轭子群是同构的：如果H le; G，则是一个具有象aha-1的主从同态H→G。相反的是假的：四群V包含几个子群2阶，这当然是同构的，它们不能是共轭的，因为V是交换的。另一方面，中的所有2阶子群都是共轭的；例如，= ，其中a = (2 3)。群作用的概念将会被使用，所以我们现在回想起我们在第二章中讨论过的轨道和稳定器的概念。
定义：如果X是一个集合，G是一个群，则G作用于X如果，对于每个g isin; G，存在一个函数: X → X,使得（i）对于所有g, h isin; G; ；（ii），恒等式函数。
定义：如果G作用于X和x isin; X,，则X的轨道是X的子集，即
表示的x的稳定子Gx,是G的子群Gx ={g isin; G : alpha;g(x) = x}le; G，群G通过共轭作用作用于X=Sub（G），即它的所有子群的集合：如果g isin; G,，则g由起作用，其中H le; G。子群H的轨道由它的所有共轭物组成；H的稳定子是{g isin; G := H}.，这是最后一个子群的名字。
定义：如果H是群G的子群，那么G中H的正规化子是子群
当然H(H),，因此商群 (H)/H是可消去的。
定理6.17。如果H是有限群G的子群，则G中H的共轭数为[G : (H)]。
证明 这是定理2.141的一个特例：元素轨道的大小是其稳定器的指标。
引理6.18 .设P为有限群群G的一个西罗 P-子群。（i）P的每一个共轭也是G的一个西罗 P-子群。（ii）|NG(P)/P|是P的素数。（iii）如果gisin;具有p阶幂，如果，那么g isin; P。
证明：（i）如果g isin; G, ，则是G的p-子群；如果它不是极大子群，则存在一个具有的p-子群Q，lt; Q..因此，P lt;，与P的极大性相矛盾。
（ii）如果p除以|(P)/P|，则柯西定理证明了 (P)/P 包含一个p阶元素gP，因此 (P)/P 包含一个阶p的(循环)子群，根据对应定理(定理2.121)，有一个子群S具有P le; S le; (P) ，使得 S/P.但S是 (P) le; G (的p-子群(在第187页的练习2.88中)严格大于P，这与P的最大值相矛盾。
（iii）通过正规化子的分解，使元素g位于 (P)中。如果gP,，那么陪集gP是具有序幂的 (P)/P 的一个非平凡元素；根据第（ii）部分，这与拉格朗日定理相矛盾。bull;
由于每个共轭的西罗 p-子群也是一个西罗 p-子群，它是合理的，让G采取行动的共轭上的一组西罗 p-子群
定理6.19（西罗）。设G是一个阶为有限群，其中p是素数，p|m，设P是G的一个西罗 P-子群。
（i）每个西罗 p-子群与p共轭。
（ii）如果有r 个西罗 p-子群，则r是|G|/的因子， r equiv; 1 模p。
证明 设X=是P的所有共轭的集合，其中我们用表示P。如果Q是G的任意西罗 p-子群，那么Q通过共轭作用于X：如果一个 a isin; Q，那么它发送
根据推论2.142，任何轨道上的元素数是|Q|的除数；也就是说，每个轨道都有一定的p次方（因为Q是p-群）。如果有一个大小为1的轨道，那么有一些与在引理6.18中，我们有一个 a isin;来表示所有的a isin; Q；即Q le; 。而Q，作为一个西罗 p-子群，是G的极大p-子群，因此Q= 。特别是，如果Q = ，那么每个轨道的大小有一个诚实的权力，除了一个，轨道组成的单独。我们的结论是|X|=requiv;1模p。
现在假设有一些西罗 p-子群Q不是p的共轭；因此，对于任意i，。同样，我们让Q作用于X，我们再次询问是否有一个大小为1的轨道，例如，。与前一段一样，这意味着,与我们目前的假设相反， Q X。因此，没有大小为1的轨道，这表明每个轨道都有大小为p的诚实功率。那么|X|= r是p的倍数，即r equiv; 0 模p,，这与同相矛盾。 因此，没有这样的Q可以存在，所以所有的西罗 p-子群共轭到p.最后，由于所有的西罗 p-子群是共轭的，我们有r=所以r是|G|=的除数。但是（r，p）=1，因为requiv;0模p，所以r|意味着r|m；也就是说，r||G|/。
推论6.20 有限群群G对于某些素数p有唯一西罗 p-子群P，当且仅当PG证明.设P，G的西罗 p-子群是唯一的.对于每个aisin;G，共轭minus;1也是西罗 p-子群；通过唯一性，对于所有的aisin;G，因此P 和Q相反，假定如果Q是西罗 p-子群，那么对于某些 a isin; G, ，Q=；但是=P，且因此 P=Q.
下面的结果给出了一个西罗子群的顺序。
定理6.21(西罗)如果G是阶的有限群，其中p是素数，，则G的每个西罗 p-子群P都有阶。
证明：我们首先证明了p[G : P]，因为[G : P]=[G : (P)][(P) : P].
这个因子 [G : (P)]是G中P的共轭数，我们知道requiv;1模 P；因此，P不除 [G : (P)]。第二个因素是 [(P) : P]=|(P)/P|;；这也不能被P整除，
通过引理6.18（ii）。因此，p不除以[G : P]，由欧几里德的引理。现在对于 k le; e， |P|= ，所以[G : P]=|G|/|P|= / = m。既然p不除，我们必须有k=e，即|p|=。
例6.22.（i）如果G是有限阿贝尔群，那么一个西罗 p-子群就是它的p-主成分。由于G是交换的，所以每个子群都是正规的，因此对于每个素数p，G有一个唯一的西罗 p-子群。
(ii) 让G = 。现在||=24=233。因此，一个西罗 2-子群的阶数为8。在204页的练习2.107中，我们已经看到，包含二面体群的一个副本，它由正方形的对称性组成。西洛定理认为8阶的所有子群都是共轭的，因此同构于。而且，西罗2-子群的数r是1个模2的24/8同余因子，即r是3的奇因子。因为r1（见496页上的练习6.15），所以正好有3个西罗 2-子群；正好有3个8阶的子群。
下面是最后一个赛洛定理的第二个证明，源于维兰德。
定理6.23（=定理6.21）。如果G是阶为的一个有限群，其中p是素数，,那么G有一个子群。
证明：如果X是所有具有元素的G的子集的族，那么|X|=；在56页的练习1.66中，p|X|。现在，G作用于X：(B) = gB, 对于 g isin; G 和 B isin; X, 其中 gB = {gb : b isin; B}.那么p是|X|的除数，对于X是轨道的不相交并，由命题2.140。作为p|X|，存在一个带|B|=的子集B而与|（B）|不能被p整除。如果是这个子集B的稳定子，则定理2.141给出[G : ] = |(B)|那么 |G| = ||·|(B)|.因为|G|，欧几里德引理的重复应用给出了 |||。因此，le;||。
为了证明反向不等式，选择一个元素b isin; B，并将其定义为函数tau;: → B的g → gb。注：tau;(g) = gb isin; gB = B，对于g isin; ，则B的稳定剂为g，hisin;， hg，则tau;(h) = hbgb = tau;(g)；即tau;一种映射。我们的结论是||le;|B|=，所以是G的一个子群。
如果p是一个素数不除群G的阶数，则G的西罗 p子群具有阶数 = 1。因此，当提到G的西罗 p-子群时，人们通常避免这种琐碎的情况，并假定p是|G|的因子。我们现在可以推广205页上的练习2.122和它的解决方案。
引理6.24 非阿贝尔单群G阶为|G|=，其中p是素数而m gt; 1, 和(m minus;1)!
证明：假设这样一个简单的群G存在。根据西罗定理，G包含一个次P级的子群，因此指数m。利用定理2.67，即P的陪集上的G的表示，存在一个同态： ϕ: G → Sm与 kerϕ le; P。由于G是单群的，然而，它没有适当的正规子群；因此 kerϕ ={1}而ϕ是一种映射，即, G ϕ(G) le; 。根据拉格朗日的理论， | m!,，所以 | (m minus;1)!，与这个假设相反。bull;
命题6.25：不存在小于60的非阿贝尔的单群。
证明 如果p是一个质数，那么204页上的练习2.106说，每一个|G| gt; p的p群G并不是单群。
读者可以检查，在2和59之间的唯一整数，既不是素数，也不是如引理的语句中的形式n=的因式分解，是n=30,40，和56。由引理，这三个数字是唯一的候选的阶数小于60的非阿贝尔单群。
假设有一个单群阶数为30的群G。设P是G的一个西罗 5 子群，使|P|=5。P的共轭数是30/5=6和equiv;1模5的除数。现在1， 且PG,，那么 = 6. 根据拉格朗日定理，这两个子群的交点是微不足道的（西罗子群的交点可以更复杂；参见497页的练习6.16）。在这些子群中，每个子群有4个非同一性元素，因此在它们的结合中有6times;4=24个非同一性元素。类似地，G的西罗3-子群的数字是10（对于 1, 是30/3的除数，而equiv; 1 模3）。每个子群都有2个非同一性元素，所以这些子群的并有20个非同一性元素。我们已经超过了G中元素的数量，所以G不可能是单群。
设G是一个40阶群，P是G的一个西罗 5-子群。如果r是P的共轭体数，则r|40/5和requiv;1模5。这些条件力r=1，所以P。因此，不可能存在简单的40阶群。
最后，假设存在一个56阶的群G。如果P是G的西罗7-子群，则P必须有r=8个共轭群（对于r|56/7和requiv;1模7）。因为这些群是素数阶的循环群，所以它们之间的交点是{1}所以在他们中有48个非同一因素。因此，添加同一性，我们已经占49个元素的G。现在一个西罗2-子群Q有8阶，因此它又贡献了7个非同一性元素，给出了56个元素。但是还有第二个西罗2-子群，以免QG，我们超过了限额，所以没有简单的第56阶单群。
拉格朗日定理的“逆”是不正确的：如果G是n阶的阿贝尔群，如果d|n，那么G可能没有d阶的子群。例如，我们在命题2.97中证明了交替群是没有6阶子群的12阶群。
定理6.26。G是有限群。如果p是素数，如果除|G|，则G有一个阶为的子群。
证明:：如果 |G|= ，且，则G有阶数为西罗 p-子群P。因此，如果{G}整除，那么{P}整除。根据命题2.150，P有一个阶子群，而G有一个阶子群。
我们可以看到了哪些p-群的例子？当然，阶的循环群是p-群，这些拷贝的任何直接乘积都是p-群.利用基定理，描述了所有的阿贝尔有限p-群.到目前为止，我们看到的唯一非交换的例子是二面体群(当n是2的幂时是2-群)，8阶的四元数Q(当然，对于每2-群A，直积times;A和Qtimes;A也是非交换2-群)，在例子2.148中，UT(3，p)是由上三角3times;3矩阵组成的群。UT(3，p)的明显推广给出了一类非交换p-群。
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[410438]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
