Active-Learning Strategies in Advanced Mathematics Classes
Jeffrey S. Rosenthal
Abstract
Advanced mathematics and other theoretical sciences are often taught purely using the lecture format, which promotes passivity and isolation in students. This paper advocates the use of certain alternative teaching methods, including cooperative learning in small groups and essay-writing assignments about technical topics. The emphasis throughout is on getting students to participate more, to interact more, and to broaden their perspective. Efforts are described to implement these reforms in upper-division courses in probability theory at the University of Minnesota, and studentsrsquo; anonymous questionnaires are analyzed. It is argued that many of these teaching reforms can be implemented quite generally, without huge effort, and without greatly disrupting the normal flow of a course.
Introduction.
It is generally recognized that there are a number of shortcomings in the traditional lecture approach to the teaching of mathematics (and similarly other theoretical sciences such as statistics, physics, computer science, and engineering). Most mathematicians agree that the best way to learn mathematics is by actively doing mathematics; by discussing it with others; and by synthesizing major ideas. However, in typical university mathematics classes in the United States, students passively watch a professor lecture at a blackboard.They seldom speak in class; often donrsquo;t get to know a single fellow student; donrsquo;t synthesize or expand upon the material; and are relegated to solving narrow, computational problems,working individually. What knowledge they do acquire is often learned by “rote” and does not reflect deep understanding. The students may attend a “recitation session” of some sort to discuss solutions to homework problems, but such sessions are typically of limited success and are often considered secondary. It is understandable, then, that students often donrsquo;t see mathematics as the dynamic, exciting, creative discipline that it is.
This situation is cause for concern. Many potentially successful students become uninterested in mathematics, and fail to learn it well or to enroll in subsequent courses.Furthermore, studies indicate (Light, 1990) that women are particularly affected in this way, so that traditional teaching practices may partially account for the small numbers of successful female mathematics students.
The purpose of this article is to advocate that university mathematics (and related
disciplines) teachers experiment (in the spirit of Cross amp; Angelo, 1988; Angelo, 1991) with augmenting the standard lecture format with certain alternative teaching strategies. Efforts are described to incorporate these strategies in small (about 15 students), advanced courses in probability theory at the University of Minnesota, a large American research university.It is argued that these strategies are simple and straightforward enough that they can be implemented without huge amounts of effort, and without significantly disrupting the normal flow of a course. The practices are often very popular with students. In addition,they can add a whole new level of excitement, challenge, and personal involvement to the teaching process itself.
The changes that we advocate are in keeping with recent systemic trends. For example,in the United States, both the National Council of Teachers of Mathematics (1989) at the pre-university level, and the Calculus reform movement (see for example Hughes-Hallet et al., 1992) at the beginning university level, have called for changes to make the material more relevant to the studentsrsquo; lives and to make the students more active participants in their learning. Part of the claim of this article is that it is not necessary to wait for such large-scale initiatives. Rather, university teachers can implement many changes in their own classroom by their own initiative.
Small-Groups Exercises.
The practice of “cooperative learning”, i.e. having students work together in small groups, is often advocated in university teaching (Johnson, Johnson, amp; Smith, 1991) and for elementary-level mathematics teaching (Johnson amp; Johnson, 1991). It has more recently been advocated for teaching university-level statistics (Jones, 1991; Mosteller, 1989).It is known to be beneficial to students in a number of ways. Students are better able to learn and retain concepts when they are actively involved; students can learn from each other, and can learn from teaching each other; students can get practice working and communicating with others (an essential skill in many job settings); and students sense a warmer, more welcoming, and more caring atmosphere. Research indicates that this last benefit is especially important for the retention and success of female students (see e.g. Light, 1990). Also, failure to work together may be a major cause of low achievement among minority students (Treisman, 1992). However, cooperative learning is rarely utilized in the teaching of advanced mathematics, and we approached it with some trepidation.
In our probability courses, the students were organized into groups of between 3 and 5 students, and were assigned problem-solving exercises which typically lasted one or two class hours. The instructor was available only for questions and for providing assistance or encouragement if a group appeared to be having difficulties or not working together well.The exercises were held approximately once every two weeks, as a supplement to the usual lectures. Thus, the pace and overall structure of the course was not greatly affected.
Despite our initial hesitations, the small-group exercises appeared to be quite successful.The students usually participated enthusiastically, and seriously discussed the material among themselves. There was
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高等数学课堂中的积极学习对策
Jeffrey S. Rosenthal
摘 要
高等数学和其他一些理论性的科学课程一样，通常采用纯粹的讲授形式，导致了学生在课堂中的消极性，学生经常被孤立。本文将提倡运用一些有选择性的教学方法，包括小团体的合作学习和对某些理论进行总结的任务型文章撰写。整个过程强调的是让学生更多地参与，更多地互动，以此拓宽他们的视野。据称，一些教学方法的改革在明尼苏达大学高年级的概率论课程中已付诸实施，同时学生的匿名调查问卷也已被分析，有关人士希望通过努力能够在概率论等这些课程上进行教学改革。争论的主题是这些改革措施能否轻松的实施，争取不要付出巨大的努力，同时不要扰乱正常的教学秩序。
致 谢
我对Judy pace 和Judith LeCount表示真诚的感激因为他们在这些问题里给了我极其有用的帮助。
我听到，我忘记了；
我看到，我仍记得；
我做的，我明白了。
——古谚
简 介
人们普遍认识到，在传统的高等数学的教学过程中（以及类似地其它理论科学，如统计，物理，计算机科学和工程），存在着相当多的教学缺点。大多数数学家都认为学习高等数学的最好的方式来自积极的做题，通过与他人积极讨论这个问题，集思广益，得到好的想法。然而，在美国典型的大学数学课堂上，学生消极地被迫地观看一个教授在教室里讲授，在黑板上涂写，而学生却很少在课堂上发言。他们解决问题的能力很差，思维狭窄，不喜欢做计算性的问题，也不喜欢独立思考和独立做题。对于知识经常死记硬背，因此他们并不能深刻的理解一些理论的意思。学生们可以参加某种合作讨论以讨论解决作业中的问题，但这些只能获得有限的成功体验。大学里的学生们经常把高等数学看成是次要的课程，他们学习起这门课程缺乏活力、激情和创新。
这种状况十分令人担忧。原本许多潜在的能够获取成功的学生在数学学习方面也变得无心出力，因此未能学好它。研究表明（轻微的，1990年），女学生在学习方面尤其受到这种方式的影响，因此传统的教学方法可能只会使少数一部分的女学生在高等数学学习方面获得成功。
这篇文章的写作目的是提倡大学数学学科（和相关学科）教师应该以某些可选择的教学策略进行增强标准讲学设计的试验。被被描述为将（约15人）这些策略，先进的课程用在美国明尼苏达大学概率论课程。美国大型研究者有人认为，这些策略很简单，够直白，他们不需要付出很大的努力就能被大量的实施，并没有显著扰乱过程的正常进行。这些实践在实践中在学生群体中很受欢迎。此外，他们还可以增加学生学习的兴奋度。对他们来说，增强挑战，个人参与到教学过程中本身能提高到一个全新的水平。
我们提倡的变化是符合近期的系统性趋势。例如，在美国，无论是在大学预科的全国委员会数学教师，以及微积分改革运动（例如见休斯Hallet等，1992）都呼吁修改，增强大学生的知识水平，使教材也更贴近学生的生活，使学生更积极参与他们的学习。这篇文章的部分要求是，它是没有必要等待如此大规模的举措的，相反，大学教师可以通过自己的努力在教室上课的时候主动实施一些措施，作出一些变化已达到更好的学习效果。
小组练习
“合作学习”，即让学生在小范围团体一起工作学习。实践中往往是主张在大学教书（约翰逊，约翰逊和史密斯，1991）和小学数学教学（琼斯，1991）中实施。它最近被提倡用于教导大学统计（琼斯，1991;莫斯特勒，1989）。从现在的已知情况来看，这对学生的学习来说在许多方面都是大有裨益的。学生们能够更好地学习和巩固知识，很好地将他们保留在脑子里，使他们积极参与到概念理论的学习；学生还可以互相学习，并且可以从教学相互学习；学生可以做好实践工作，并与其他人（在很多作业设置必备的技能）通信；使学生感觉更温暖，更温馨，达到更关怀的氛围。研究表明，这最后的好处是为了保留和女学生成功的可能性，这尤其重要（参见例如：灯，1990）。此外，未能很好地携手合作可能是学生群体中少数民族学生（特瑞斯曼，1992）只取得低成就的主要原因。然而，合作学习是很少用在高等数学的教学中，因为学生似乎对高等数学的学习有种恐惧感，不愿意交流合作。
一种可能性在我们的课程中出现，学生们有组织的组合，学生之间的3到5组，并分配解决问题的练习，通常持续一两个课时。其他方面，指导老师可以针对问题情况，并提供帮助或鼓励。如果一组处理其问题起来似乎是有困难的，或工作不在一起，那么老师将提高帮助。这种练习举行大约每两周一次，以补充一般的课堂讲授。因此，该过程的速度和整体结构对正常的教学秩序并没有很大的影响。
尽管我们最初很犹豫是否要这么做，但是小群的练习显得相当的成功。学生平时热情参与，认真讨论了彼此之间的材料。还有一个结转的效果：学生一旦被用来一起工作，他们有时会讨论上课时间之外的课程材料。
该（匿名）学生的反馈也相当积极，之后的逐步显示更是如此。在第二季度末，全部7到12个学生受访者给了小团体行使的评级为“5”（最好），2名学生给除了的“4”的评级，其余3名学生给他们“3”（中性）的评级。没有学生给出小团体练习负面的评级。书面意见等被列入陈述为：“小组练习有很大的帮助”和“学生的输入和讨论能够便于我们理解。”当然，顺便说一句，多数学生也表示，对练习来进行分级其实这是没有必要的。
小团体演习并非没有问题。它通常需要大家有共同的时间，相互进行通信，并且如果没有呈现出很好的解决方案，那么要开展也是有一定的难度，这显然需要时间远离讲座。然而，这种困难可以部分通过将分组练习很好的利用，例如审查的话题，这样就不必进行广泛审查，演讲缓解。另一个问题是，大多数学生学习数学的时候常常不擅长与其他人合作，和一群可以分裂扎进个人单独思考的集合，使得较弱的学生感到被遗弃。这并没有发生任何大的程度，但它是难以克服的（虽然从教练及时的评论能有所帮助）。
尽管有这些困难，他们采用合作学习的技巧经验是非常积极的。他们不采取执行（至少在一个中等大小的类）特别大的努力，但它们是受欢迎的和富有成效的。
写作学习
书面作业被称为是一个很好的办法，能够让学生思考他们正在学习并且需要努力，如果他们记住得多了，那么学习教材也会更加广泛。他们一直在提倡跨课程，包括数学（康诺利和Vilardi，1989）。然而，像小团体练习，他们很少用在高等数学课，我们再次走近这个会觉得有些惶恐。
我们的学生被要求写短（约5页类型双倍行距）的文章，在课程材料的某些特定方面需要清楚地说明，图文并茂，或延长。具体建议包括：应用所学内容以一些其他的主题（这是特别适合于其他部门的研究生，谁用概率论在自己的研究），并运行计算机模拟来验证的过程中出现了一些理论成果（这产生很大的兴趣）。
学生参加了这些任务并且相当认真，具有完全出于13-16论文对于被认为是良好或优秀，而且与同类数字为第二次分配的第一项任务。写作作业引发学生的混合审查。大部分学生承认，他们会记住他们的作文题目的时间比他们会记得大部分课程的其余部分（平均得分为3.9，总分5分）。然而，一些学生发现论文是尴尬和不寻常的编写。事实上，二季度之后，文章收到转让3.0的平均审批满分为5分（即中性反应）。这些结果有些令人失望，人们希望学生能感觉好这些任务，如果他们变得更习惯它们。然而，平衡整体中性评级的事实是，一些学生（特别是低成就学生）反应非常好，以作文作业，提供这样的评论是：“我喜欢你带到这个过程[即散文和组分配]”。
尽管混合着学生的一些评价，但我们有信心，这些写作作业帮助学生拓宽他们对课程教材的观点。该分配迫使他们放在一起几个想法，并清楚地解释它们。学生们可以提高他们沟通方面的技术问题，对于许多作业（包括纯数学研究）的一项重要技能的能力。此外，学生们希望感受到的“附件”，从过程中，他们可能还记得不久后大部分课程材料已经褪去了一些特定的主题。最重要的是，学生们看到，有更多的不仅仅是解决孤立的，计算问题的数学思维。
写作任务同行评审
这是同可能的写作任务结合起来，合作学习技术，通过让学生阅读和审查对方的作文试卷（类似于约翰逊等人，1991年，4点18）。希望这可以帮助这两个作家和读者更多地了解这个问题，互动良好，并产生更好的文章。被要求我们的学生提前完成他们的第二个文章，并与两位同学（来自学生的成立小群选择）交换。然后，他们被要求填写一份一页纸的检讨形式，被问及的优势，劣势，以及他们的同学的工作建议。学生们后来认识了在他们的小团体口头讨论的文章。这次审查的形式被送回小品作家，谁是那么需要类的最后一天来准备论文的最终版本。
学生没有做大量更改他们的作文作为审查的结果，虽然一些小的变化作了发言。尽管如此，学生们认为，审查帮助他们提高自己的论文;他们给了这句话的平均评级4.25，重要的是，这对学生赞赏综述了平均收视率4.4之间和4.6满分为5分，以每升值的程度：接受同行评审，同行提供评论以及接受教练的意见。
最有趣的是在何种程度上在同行评审阶段提高了作文比赛锻炼，学生的意见。当被问及这两个阶段之前和之后他们是否认为作文的分配是个好主意，平均评分为3.0（以N = 14，S2 = 0.16）提高到3.6（用N = 12，S2 = 0.14），总分5分。同样，询问是否写文章帮助他们了解自己的话题越深，平均评分为3.3（以N = 14，S2 = 0.10）提高到4.1（用N = 12，S2 = 0.11），满分5分这最后增加是统计学上显著，具有0.044的p值（使用近似当量）。 （应当指出的是，这分析是保守的，假定“预”和独立“交”反应，即使它们实际上将被正相关。在另一方面，两个学生缺席为“后”响应，并将其假定他们的缺席是独立于他们的意见。）
我们的证据表明这样：平均来说，学生觉得作文作业，帮助他们了解自己的主题更加深刻。此外，他们觉得这更是参加了一个同行评审过程后强烈。
非正式的书面作业。
除了上面讨论的征文作业，写作可以在一些不太正式的，但非常有用的方式使用。 （事实上，可以说（康诺利，1993年），这种非正式的写作，甚至比正式的文章更重要）这样写适当的用途包括：
bull;反馈有关课程（奥姆斯特德，1991）。通常情况下，一个老师从来不知道（至少直到后课程结束）他们对工作负载的理论和实例，教写得很好的匿名问卷调查，偏好的，可理解的学生几分钟的意见和上课时间，可以提供大量的信息。此外，一般的学生体会到表达自己意见的机会：问学生反馈表是否是一个好主意，我们的学生给出了4.3的平均满分为5分。
bull;课时作业（威尔逊，1986;莫斯特勒，1989年）。该标准涉及的技术要求学生写下他们认为是关键的话题和/或最混乱的主题和/或什么，他们最想知道更多关于那天的讲座。它需要几分钟的时间在课堂结束。它可以鼓励学生关注并记住更多的讲座，并提供了非常有用的反馈为指导老师。
bull;元认知训练（安杰洛，1991年，24-25）。该技术包括要求学生描述（在完整的句子），他们如何去着手解决一个特定的作业问题。这迫使他们考虑自己的思维过程，并可能导致他们提高他们处理问题的方式。它还可以帮助老师了解哪些概念是造成混乱。此外，这种运动可以添加到正常的家庭作业，因此它不需要额外的上课时间。
结论
不像许多社会科学，先进的技术话题不容易进行，“有争议的问题”可以被精力充沛的讨论。他们也往往以己之长，发挥优势。那些气势雄伟的历史，都是出于这个原因被人们书写的，它有时被认为是学习者必须必须做的接受讲课的格式，这种格式是鼓舞人心的，有利于学生学习。
我们不相信这是真的。相反，我们认为，讲座可以通过鼓励主动学习的学生，是他们不同的技术增强。在本文中，我们认为，有一些教学策略可用做大学数学（及其他）的教学，它们很具参与性和精彩。我们已经描述的这些做法是机遇我们自己的积极经验。我们认为，这里提出的教学策略很简单，以至于他们可以无需专门培训来实现，由个人讲师完成。此外，它们可以在几乎任何解决问题的类型，当然，在几乎所有的大学里使用。我们坚信，它们会导致更深入的了解，更好地保留知识，真诚的希望在教师技术学科会得到启发，探索，但是必须保持谨慎，这些和其他的战略，努力提高学生的学习一样，并让他们自己因为他们教学科目使得自己和教室里的环境一样精彩。
参考文献
[1] 安杰洛，T.A. （主编）1991年课堂教学研究：从早期的成功经验。乔西-巴斯，旧金山。
[2] 康诺利，1993年P.信给作者。十字，K.P.与安杰洛，T.A. 1988年课堂评估技术。国家研究中心，以提高中学后教学与学习，密歇根州安阿伯。康诺利，P＆Vilardi，T（编）1989年写作学习数学和科学,教师大学出版社，纽约。尤其见第7章，W.P. Berlinghoff，通过写作本地原有的数学。
[3] 何礼泰，D等。 1992年，微积分。约翰·威利父子，纽约。
[4] 琼斯，L.V. 1991年采用合作学习教统计。研究报告号91-2，LL瑟斯顿心理实验室，北卡罗莱纳大学教堂山分校，北卡罗来纳州。
[5] 约翰逊，D.W.生，R.T. （编）1991年学习数学和教师合作学习教案。互动图书公司，埃迪纳，明尼苏达州。约翰逊，D.W.，约翰逊，R.T.和史密斯，K.A. 1991年主动学习：在大学课堂合作。互动图书公司，埃迪纳，明尼苏达州。
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