Schaums Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus
Chapter 11 Infinite Series
The early developers of the calculus,including Newton and Leibniz,were well aware of the importance of infinite series.The values of many functions such as sine and cosine were geometrically obtainable only in special cases.Infinite series provided a way of developing extensive tables of values for them.
This chapter begins with a statement of what is meant by infinite series,then the question of when these sums can be assigned values is addressed.Much information can be obtained by exploring infinite sums of constant terms;however,the eventual in analysis is to introduce series that depend on variables.This presents the possibility of representing functions by series.Afterward, the question of how continuity, differentiability, and integrability play a role can be examined.
The question of dividing a line segment into infinitesimal parts has stimulated the imagination of philosophers for a very long time.In a corruption of a paradox introduce by Zeno of Elea(in the fifth century B.C.)a dimensionless frog sits on the end of a one-dimensional log of unit length.The frog jumps halfway,and then halfway and halfway ad infinitum. The question is whether the frog ever reaches the other end.Mathematically,an unending sum,
is suggested.”Common sense”tells us that the sum must approach one even though that value is never attained.We can form sequences of partial sums
and then examine the limit.This returns us to Chapter 2 and the modern manner of thinking about the infinitesimal.
In this chapter consideration of such sums launches us on the road to the theory of infinite series.
DIFINITIONS OF INOFINITE SERIES AND THEIR CONVERGENCE AND DIVERGENCE
Definition: The sum
(1)
is an infinite series.Its value,if one exits,is the limit of the sequence of partial sums
(2)
If there is a unique value,the series is said to converge to that sum,.If there is not a unique sum,the series is said to diverge.
Sometimes the character of a series is obvious.For example,the series generated by the frog on the log surely converges,while is divergent.On the other hand,the variable series
raises questions.
This series may be obtained by carrying out the division.If ,the sums yields an approximations to and (2) is the exact value.The indecision arises for .Some very great mathematicians,including Leonard Euler,thought that should be equal to,as is obtained by substituting into . The problem with this conclusion arises with examination of and observation that appropriate associations can produce values of or .Imposition of the condition of uniqueness for convergence put this series in the category of divergent and eliminated such possibility of ambiguity in other cases.
FUNDAMENTAL FACTS CONCERNING INFINITE SERIES
1. If converges,then (see Problem 2.26,Chap.2).The converse,however,is not necessarily true,i.e.,if , may or may not converge.It follows that if the th term of a series does not approach zero the series is divergent.
2. Multiplication of each term of a series by a constant different from zero does not affect the convergence or divergence.
3. Removal (0r addition) of a finite number of terms from (or to) a series does not affect the convergence or divergence.
SPECIAL SERIES
1. Geometric series , where and are constants, converges to if and diverges if . The sum of the first term is (see Problem 2.25,chap.2).
2. The series , where is a constant, converges for and diverges for . The series with is called the harmonic series.
TESTS FOR CONVERGENCE AND DIVERGENCE OF SERIES OF CONSTANTS
More often than not, exact values of infinite series cannot be obtained. Thus, the search turns toward information about the series. In particular, its convergence or divergence comes in question. The following tests aid in discovering this information.
1. Comparison test for series of non-negative terms.
() Convergence. Let for all and suppose that converges. Then if for all , also converges. Note that means from some term onward. Often,.
EXAMPLE. Since and converges, also converges.
() Divergence. Let for all and suppose that converges. Then if for all , also diverges.
EXAMPLE. Since and diverges, also diverges.
- The Limit-Comparison or Quotient Test for series of non-negative terms.
() If and and if or , then and either both converge or both diverge.
() If in () and converges, then converges.
() If in () and diverges,then diverges.
This test is related to the comparison test and is often a very useful alternative to it. In particular,taking , we have from known facts about the series the
Theorem 1. Let .Then
() converges if and in finite.
() diverges if and ( may be infinite).
EXAMPLES. 1. converges since .
2. diverges since .
3. Integral test for series of non-negative terms.
If is positive, continuous, and monotonic decreasing for and is such that , then converges or diverges according as converges or diverges.
In particular we may have , as is often true in practice.
This theorem borrows from the next chapter since the integral has an unbounded upper limit.(It is an improper integral. The convergence or diverges of these integrals is defined in much the same way as for infinite series.)
EXAMPLE. c
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《微积分（全美经典学习指导系列）》
第十一章 无穷级数
微积分的早期发现者包括牛顿和莱布尼茨，他们意识到了无穷级数的重要性。许多函数的值比如正弦和余弦的值只有在特殊情况下在几何学上获得。无穷级数为它们提供了一条广泛研究其值的途径。
本章以陈述什么是无穷级数为开头，然后解决这些级数和的分配值的问题。许多信息可以通过探索无穷个常数项的和获得，但是最终分析引入的是含有变量的级数，这提出了用级数表示函数的可能性。之后，就可以检查函数怎么连续，怎么可微，怎么可积的问题了。
将一线段分成无限个小部分这个问题激发了哲学家们的想像已经有很长一段时间了，由埃利亚的芝诺（公元前5世纪）提出的一个悖论：一只极小的青蛙坐在一根一维单位长度的圆木的末端，这只青蛙先跳了圆木的一半，接着跳了剩下距离的一半，再跳剩下距离的一半，···这样依此类推跳下去，问这只青蛙是否能跳到这根圆木的另一端。在数学上，它暗示着一个无止尽的相加之和：。
常识告诉我们这个和必能达到一个数值即使它的值永远不会得到。我们可以排列出部分和的序列：
然后检测极限，我们可以回顾第二章以及考虑无穷小的一种现代方式。
在本章中，我们开始在无穷级数的理论上考虑像这样的和。
无穷级数的收敛与发散
考虑无穷级数
（1）
设级数的部分和序列为其中
，
如果该序列是收敛的，即存在一实数，使得
（2）
成立，称级数（1）是收敛的，为它的和。如果不存在，称级数为发散。
有时一个序列的类型很明显，例如在青蛙跳原木时产生的级数必定收敛，但级数发散。另一方面，由变量的级数引出了如下问题：
这个级数可能是从幂级数的展开式中获得的，当时，部分和 逼近于，并且（2）式是精确值，当时。一些非常伟大的数学家，包括伦纳德·欧拉，他们认为，把代入中。这个问题的结论的产生为：检查并且观察到可以取到或。由于条件收敛的唯一性，所以把这个级数归为发散级数，而且消除了在其他情况下的可能性。
无穷级数的基本性质
1. 如果收敛，则（见第三章习题26）。反之未必成立，即如果，不一定收敛。也就是说说如果一级数的第项不趋于零，此级数发散。
2. 级数的每一项乘以一非零常数不影响级数的敛散性。
3.在级数中去掉或加上有限项不改变级数的敛散性。
特殊级数
1. 几何级数. ，其中和是常数，当时，级数收敛到，当时发散，前项和为（见第三章习题25）。
2. 级数. ，其中是常数，当时收敛，当时发散，时称为调和级数。
常数项级数敛散性判别
通常情况下，无穷级数的精确值是不能获得的，因此，我们对序列展开研究，特别是它收敛或发散的问题。下面的判别法就是对序列方面的发现。
1.非负项级数的比较判别法
() 收敛.设时，且收敛。如果对一切均成立，则收敛。注：表示从第项开始，一般。
例：因为，且收敛，则也收敛。
()发散.设时，且发散。如果，对一切均成立，则也发散。
例：因为且发散，则也发散。
2. 非负数级数的商判别法
()设，，如果或，则和同敛散。
()如果()中且收敛，则也收敛。
()如果()中且发散，则也发散。
商判别法和比较判别法是相关的，是一种非常有效的判别法，特别地，令，由级数的性质，有
定理1 设，则
()当且是一有限数时，收敛。
()当且（或为）时，发散。
例：1.因为，所以收敛。
2.因为，所以发散。
3. 非负项级数的积分判别法
当时，设是正的连续且单调递减函数，
则的敛散性和 敛散性一致，实际应用时，常取。
例：因为存在，所以收敛。
4. 交错级数判别法. 交错级数是逐项正负交替的。
如果下列两个条件成立（见习题15），则交错级数收敛。
() ，当，
()(或 )
例：级数，有，,，则时有且，因此该级数收敛。
定理2 满足条件()和()的收敛交错级数，前项的和产生的误差小于第项的绝对值。
例：取级数前4项的和，误差小于。
- 绝对收敛与条件收敛. 如果收敛，则称级数绝对收敛，如果收敛，但发散，则称为条件收敛。
定理3 如果收敛，则收敛，即绝对收敛的级数必收敛（见习题17）。
例1：是绝对收敛的，因而级数收敛，因为加上绝对值的级数收敛。
例2：收敛，但发散，因此是条件收敛的。
非负数项级数的一切判别法都可用来判别绝对收敛。
6.比值判别法. 设，级数
()当时，（绝对）收敛，
()当时，发散。
如果，该判别法失效。
7.次根式判别法. 设，级数
()当时，（绝对）收敛，
()当时，发散。
如果，该判别法失效。
8.拉阿伯判别法. 设，级数
()当时，（绝对）收敛，
()当时，发散或条件收敛。
如果，该判别法失效。
当比值判别法失效时，经常使用该判别法。
9.高斯判别法. 设，其中对一切成立，则级数
()当时，（绝对）收敛，
()当时，发散或条件收敛。
当拉阿伯判别法失效时，经常使用该判别法。
绝对收敛级数定理
定理4 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数仍收敛，且与原级数有相同的和。然后条件收敛级数经改变项的位置后构成的级数，可能发散，也可能收敛到其他和（见习题76）。
定理5 两个绝对收敛级数的和、差、积、商仍是绝对收敛的。这些运算对有限级数同样成立。
无穷序列和函数项级数，一致收敛
我们开始这一章节是带着函数可以用级数的形式表达的想法，比如这样的表达式：
其中，且
观察到一直这一节内容这段序列取决于元素，但现在也与的变化有关，这种复杂性使得需引入一个新的概念叫一致收敛，同样反过来它探索级数的连续性，可微性和可积性。
设是定义在上的函数列，任给，对任意，存在，使得当时，有成立，则称函数列收敛到，或称在上有极限。与及相关。如果与无关，仅与相关，则称函数列在上一致收敛到或称在上一致收敛。
如果函数项级数
（3）
部分和序列，其中在上收敛，则称函数项级数在上收敛，记为，称为函数项级数的和。
由此可得，设任给，对任意，存在，使得当时，有成立，则称在上收敛到。如果仅与相关，与无关，则称级数在上一致收敛。
设，称为第项的余项，等价地有如果任给，存在只与相关，与无关，使得当时，对任意有成立，则称在上一致收敛。
上面的定义对其他区间，如等均成立。
级数的（绝对或一致）收敛域是使函数项级数（绝对或一致）收敛的的值的集合。
级数一致收敛的特殊判别法
1. 魏尔斯特拉斯M判别法. 设正常序列在某一区间上满足：
收敛，
则在该区间上一致且绝对收敛。
例 ：在上有：且收敛，所以一致且绝对收敛。
该判别法提供了判别一致收敛的一个充分但非必要条件，即该判别法的条件即使不成立，级数也有可能是一致收敛的。
由该判别法易造成这样的误解，认为一致收敛的级数一定绝对收敛，反之也成立。其实不然，即级数一致收敛但未必绝对收敛，反之也未必成立，见习题30.
2. 狄利克雷判别法. 设
是一单调递减且以零为极限的正常数序列；
存在一常数，使得当时，对一切，有
成立，
则级数
在上一致收敛。
级数一致敛散的定理
设一无穷函数项级数一致收敛，则其和函数有许多性质，如以下定理所示：
定理6 设在上连续，如果在上一致收敛到和函数，则在上连续。
简而言之，由一连续函数列构成的一致收敛级数其和函数仍是连续的。这个结论经常被用作通过检验一和函数在某些点(见习题30）处不连续，从而证明一给定级数不是一致收敛的。
特别地，如果在上，则定理可表示为
，
如果位于的端点处，分别取右极限和左极限。
定理7 设 在上连续，且在上一致收敛到和函数，则 （4）
或 (5)
简而言之，由连续函数列构成的一致收敛级数可以逐项积分。
定理8 设 在上连续且有连续偏导数，当在上一致收敛时，如果也收敛到，则在上有
(6)
或 （7）
这表明满足上述定理条件的级数是逐项可微的。
上述定理对序列也成立，如设 在上一致收敛，则
（8）
这与定理7类似。
幂级数
一级数具有形式
， （9）
其中是常数，称为的幂级数，通常将（9）简记为。
幂级数当时收敛，时发散，其中称为级数的收敛半径，当时，级数可能收敛，也可能发散。
区间或，也可能包括端点，称为级数的收敛区间，可以用比值判别法求收敛区间，一旦这种方法失效，可改用其他判别法。（见习题22）
有两种特殊情况：和。时，级数只在处收敛；时，在一切处均收敛，记为（见习题25）。下面讨论幂级数的收敛性，除非特别指出，一般假设。
如果用替换（9）中的，得到的幂级数有类似的结论。
关于幂级数的定理
定理9 幂级数在其收敛区间内的每一子区间上是一致且绝对收敛的。
定理10 幂级数在其收敛区间内的每一子区间上是逐项可积和逐项可微的，收敛幂级数的和函数在其收敛区间内的每一子区间上也是连续的。
这可根据级数的一致收敛定理以及定理9直接推得，这些结论也推广到包括收敛区间的端点，如以下定理：
定理11（阿贝尔定理）当一幂级数在其收敛区间的一端点处收敛时，其一致收敛区间也包括这个端点。（见习题42）
定理12（阿贝尔极限定理） 设在处收敛，是收敛区间内部的点或为端点，则
（10）
如果是端点，则根据是左端点，在(10)中分别取或。
这可以根据一致收敛级数和函数的连续性，从定理11和定理6推得。
幂级数运算
在以下定理中，假设所有幂级数在某个区间上是收敛的，
定理13 两个幂级数逐项相加或相减后所得幂级数在公共收敛区间内收敛。
定理14 两个幂级数和，相乘得到的在公共收敛区间内收敛，其中
，
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