Pre-Service Teachersrsquo; Perception about the Concept of
Limit
Adem DURU
Uşak University
Abstract
The purpose of this study was to investigate the preservice teachersrsquo; conceptions about the limit of same partial functions given in the form of both graphical and symbolic, the misconception that the preservice teachers have the concept of limit, and whether there were any differences between preservice teachersrsquo; algebraic per-
formance and their graphical performance. In this study, both qualitative and quantitative methods were used. In the collection of the data, the researcher employed the open-ended question test and interviews. The questionnaire was consisted of five items. Firstly symbolic representation of the questions was administered to 95
preservice teachers, later graphical representation of the same questions were given to preservice teachers. Finally, semi- structured interviews were done with eight preservice teachers. In the data analysis, descriptive analysis method was used and also independent samples t-test was employed with alpha; =0.05 in the analysis of
the differences of preservice teachersrsquo; algebraic and graphical performance. The result of current study showed that some students had some misconceptions and misunderstanding related to the concept of limit. It was also observed that there were significant differences found between preservice teachersrsquo; algebraic and graphical performances. The Preservice teachers had higher scores in graphical representation than symbolic.
Key Words
Limit, Misconception, Concept Image, Multiple Representations, Mathematics Education.
The function is one of the most fundamental and important concepts in all branches of mathematics including calculus, abstract algebra and geometry (Froelich, Bartkovich, amp; Foerrester, 1991), since the conceptions of modern mathematics were
founded on the function such as limit, derivative and integral. Therefore, a lot of research emphasizes the importance of the function (Artigue, 1992; Breidenbach, Dubinsky, Hawks, amp; Nichols, 1992; Leinhardt, Zaslavsky, amp; Stein 1990). The function has got multiple representations such as tables consisting of ordered pairs of values, graphs consisting of a pictorial presentation, and equations consisting of algebraic notation (Brenner et al., 1997). Research has shown that students generally prefer the symbolic representation of the function (Leinhardt et al., 1990; Romberg, Carpenter, amp; Fennema, 1993). However, the graphs are useful and
the most economical ways for summarizing large amounts of data (Latour, 1987) and, similarly, the graphs provide the shortest way to obtain information about the function (Kadıoğlu amp; Kamali, 2009). Therefore, interpreting graphs is important for all
the science and mathematicsrsquo; curriculums and some research emphasizes the importance of interpreting graphs (Fiel, Curcio, amp; Bright, 2001; Milli Eğitim Bakanlığı [MEB], 2005; National Council for Teachers of Mathematics [NCTM], 2000).For the last three decades, the mathematicsrsquo; educators have focused on the studentsrsquo; interpretations of graphs, the studentsrsquo; understanding of different
representations of functions and the studentsrsquo; preference for multiple representations (Bowen amp; Roth1998; Dreyfus amp; Eisenberg, 1982; Keller amp; Hirsch,1998; Knuth 2000; LaLomia, Coovert, amp; Salas,1988; Turner amp; Wheatley, 1980; Vinner, 1988;)Dreyfus and Eisenberg (1982) explored the stu-dentsrsquo; preference for function concepts presented in diagram, graph, and table settings. The results of their study indicated that the students with a high ability preferred the graphical setting throughout all the concepts, while the low ability students preferred the table setting. Keller and Hirsch (1998) conducted a study, whereby they researched into the studentsrsquo; preferences for the representations of the functions. The results indicated that the students had preferences for various representations of the functions and that these preferences varied between the ones, presented in a context and the others, given in a purely mathematical situation. Vinner (1988) examined which style of proof of theorems in calculus, symbolic or graphical solutions students preferred. He gave students two proofs of the mean value theorem. The first proof was the standard algebraic proof. The second was a visual (graphical) proof. Of 74 students, 29 stated that the graphical proof was more useful, 28 stated that the algebraic proof was more useful and 17 considered them both to be of equal value.
The other issue related to the function is the studentsrsquo; understanding of the concept of limit. The concept of limit is prerequisite for the important concepts in calculus such as the continuity, derivative and integral concepts. According to Altun, (2008) if students (male or female) do not under-stand the concept of prerequisite conditions, these students later have difficulties in understanding things related to the concepts.
Because of the importance of the concept of limit, a lot of research was conducted by mathematicsrsquo; educators relating to the studentsrsquo; understand-ing of the concepts of limit (Akbulut amp; Işık, 2005; Bezuidenhout, 2001; Bukova-Guuml;zel, 2007; Cornu 1991; Cotrill et al., 1996; Ccedil;etin 2009; Juter, 2006; Juter, 2009; Hardy, 2009; Szydlik, 2000; Tall amp; Vin-ner, 1981). The teaching of the concept of limits has been studied by some researchers from many different theoretical viewpoints, namely: concept im-age and concept definition (Tall amp; Vinner, 1981), APOS Theory (Cottriletal., 1996). On the one hand, Tall and Vinner conducted a study (1981), in which they used the term lsquo;concept imagersquo; to describe the total cognitive structure that is associated with a specific mathematical concept which includes all the mental pict
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附录A 译文
职前教师对于极限概念的认识
摘要
本文主要研究讨论职前教师对于以图像和代数两种形式给出的相同函数的极限的认识。但困惑的是，职前教师有对极限这一概念的认识，但对他们而言，极限的代数性能和图像性能之间是否存在差异就不得而知了。在这项研究中，我们用到了定性和定量的方法。在收集数据的过程中，研究者采用了开放式问题的测试和访问。问卷是由五项组成，首先用符号表示的问题安排给95名职前教师，再后来，用图像表示的相同的问题同样安排给职前教师。最后，与8名职前教师进行半结构化访谈。在数据分析中，对于职前教师在代数和图像中的不同表现，采用了描述性分析方法和独立样本t检验分析法（）。研究的结果表明,一些学生在极限概念的方面存在着一些误解。同时，职前教师在代数和图像的理解间也存在着显著的差异。我们还发现，职前教师在求函数极限是，在代数中获得的分数比象征性的图像中获得的要来的高。
关键字：极限，误解，概念形象，多元表征，数学教育
函数在所有的数学分支中，包括微积分、抽象代数和几何等，是其中最基本和重要的概念之一。因为现代数学的概念是建立在诸如函数极限，导数和积分之上。因此，大量的研究强调函数的重要性。函数有多种表示形式，例如：有序对值组成的表，图像组成的图案，代数符号组成的方程。研究表明,学生普遍喜欢用符号表示函数。然而，当总结大量数据时图时最行之有效的方式。图提供有关函数最直接的信息，同样，图表提供最短的途径获取信息的功能。因此,图表解读对是科学和数学的课程还有一些研究来说是相当重要的。在过去的三十年中，数学教育者关注学生对图表的认识能力，学生对不同函数表示形式的理解以及学生对多重表述的偏爱。德雷福斯和艾森伯格探索学生对于在图，图表和表格形式下提出的函数概念的偏爱程度。探讨了学生的偏好函数概念提出了图,图和表的设置。他们的研究结果表明,能力高的学生首选图像，而能力较低的学生选择表的形式。凯勒和赫希进行了一项研究，研究学生对于函数不同表现形式的偏好。结果表明，在纯数学的情况下，学生之间在函数表现形式上有不同的偏好，这种差异存在人与人之间，呈现在不同文章之间。维尼研究在微积分定理证明的过程中，学生更喜欢代数还是图像给出的证明。他给学生的中值定理的两种证明，一个证明是利用代数证明，还有一个是利用图像证明。74名学生中，29名表示图像证明比较有用；28名表示代数证明是更有价值。还有17名认为这两种证明具有同等的价值。
与函数相关的另一个问题就是学生对极限概念的理解。极限这一概念决定着微积分中的重要理念，如连续性、导数和积分等概念。根据阿尔金山，如果学生在不理解的概念的前提条件下，以后这些学生理解相关概念也是非常困难的。
因为限制概念的重要性，很多数学教育者研究学生关于极限概念理解的情况。极限概念的教学被一些研究者从许多不同的理论观点方面研究，即概念和概念定义。在一方面，托尔和维尼进行了一项研究，他们用“概念形象”这一术语来形容与某个特定的数学概念，它包括了所有的心理图片和相关特性以及过程相关的总认知结构。另一方面，托尔和维尼使用“概念定义”这个术语来表示特定的话语需要一个数学概念。一些研究人员调查了学生对于极限概念的表现和对于某一函数极限学生的误解，并探索了大一学生使用函数极限时的技巧。这项研究的结果表明，学生能够通过标准步骤计算极限值，但无法使用极限概念解决相关问题。乔达安调查了工科学生在极限的概念误解，她发现学生理解函数极限存在着一些误解。一些研究人员探索学习环境对学习极限概念的影响。布裤哇.居泽尔开展了一项研究，她研究了建构主义学习环境对学习极限概念的影响。这项研究的结果表明，建构主义学习环境对极限概念的学习起到了一个积极作用。
研究的重要性和目的
文献表明，解释图对所有人来说都是很重要的，而且极限是数学中的一个重要概念。然而，职前教师，包括本研究的参与者，被认为是未来教育的领导者。他们将成为新一代的老师，他们会把解释图教给一代又一代的学生。因此，重要的是要了解职前教师对极限概念的理解如何以及职前教师对极限是否存在误解还有图像和代数间的区别。具体地说，在此次调查中，以下问题被研究到了：
1、职前教师如何找到一个以图像和代数形式给出的局部函数极限？
2、职前教师在极限这个概念上存在着什么样的误解？
3、它能静态区分职前小学教师图像性能和代数性能吗？
方法
研究设计
在目前的研究中，使用的案例研究方法是一般性研究战略。两种不同的方法被用来为这项研究收集数据。一个是调查问卷，另一个是使用半结构化访谈。首先，是问题的代数式被给出，后来给职前教师同样问题的图像表示，最后，与八名职前教师进行半结构化访谈。
参与者
本研究的样本包括95名职前教师，分年龄在18至 23岁，并且参加教育培训。共有37名数学教学教师和58名科学教学教师。在这两组中，职前教师参加同样的基本数学课程。研究者随机抽样，参与者不是随机选择的。根据麦克米伦和舒马赫，便利样本在方便和适宜的基础上，是一组被选择的试受者，而且作为实验对象它是适当的。参加这项研究的都是自愿的，而且他们的答案会被保密。
工具和过程
为了获得职前教师对极限更详细的理解和一些误解，如果他们在图像和代数上有任何关于极限的不同，都被收集做成调查问卷，其中由三个开放式的问题组成。问卷包含两种形式的问题：极限的代数表示和图像表示。在问题的准备过程中，从相关文献那受益颇多。为了提高调查问卷的信度和效度，大部分问题都给两位专家看过。这些专家决定调查问卷中的问题对于获取职前教师极限概念的理解、误解还有代数和图像表示极限是否合适。调查问卷发放给了95名参与的职前教师。首先给出的是极限的代数形式。15天后给出极限的图像形式。在测试中没有时间的限制。然而大多数职前教师在30到35分钟内完成了问卷调查。为了探讨职前教师对极限概念更深一步的认识，8名职前教师接受了访谈。这些职前教师被要求自由思考，并解释他们对于开放式问题给出的思考和选择的原因。访谈采用笔记记录的方法。
数据分析
在数据分析中，定性和定量分析相结合。从根本上讲，定性的描述性分析被用来分析研究数据。首先，95名职前教师中的6名的反应和8名学生中1名的访谈被挑选出来，被研究者和研究者的同事们分别确认有效性。显而易见，研究人员即其同事们的分析是相似的。在此之后，开放式项目被研究人员仔细的阅读和检查。职前教师对于这些问题的回答被编码和分类然后再确定主题。学生对于每个开放式问题的回答都以表盒的形式给了出来。访谈的数据根据问卷的主题进行分析。采访中的数据只为问卷调查而服务。研究人员还采用独立样本t检验（当时），分析职前教师关于代数和图像性能间的差异。
结论
在这一部分，职前教师对特殊问题的回答根据他们对极限概念的理解进行了分析。更具体地说，在职前教师解决函数的过程中，图像和代数的方法都被用来以便更好的调查了解他们的误解。在这项研究中的职前教师被要求用代数和图像的方法来解决几个函数问题，以便清晰地获得他们对极限概念的理解。在第一个开放性问题上，参与的95名测试者的反应都被归类在表1上。我们发现，三分之二的人(69.3%)成功确定在一个代数给出的函数上，两个点没有限制。5.26%的职前教师认为函数只有在点时有极限，而3.1%的职前教师认为函数在点时有极限。或者说，在第一个图像表示的问题中，大多数的参与者(93.7或者说95个中的85个)成功地确定函数在两个点是否有极限。
在第二个开放性问题中，参与者被问道一下情况下是否存在。
95名职前教师的反应被分类归列在表2上。超过一半的职前教师(56.84%)认为，左右极限相等，也就是 。所以极限存在并且，而还有30.52%的职前教师认为，虽然 ，但是在处的极限还是不存在。例如，,而 ，所以限制不存在，如果等于0我们会说限制存在。
可以看出，其他的28名职前教师也给了类似的反应。因此可以说，这些职前教师有着相类似的误解。换句话说，他们认为定义一个函数在某处有极限，必须要在一个点连续并且在该点的函数值要等于该点的极限值。7.36%的参与者认为不存在，因为左右极限不相等，也就是 。
其中一个反馈如下：
“不存在，因为,，所以。”
可以看出，这些职前教师通常是程序性错误。再说，第二个图像表示的问题中，作为代数代表的职前教师，约一半认为，左右极限是相等的，因此极限存在并且。然而，约五分之一的参与者(21.05%)认为极限是存在的，并且，因为。 然而8.42%的人认为极限是不存在的，因为。可以说，这些职前教师在解释图像上存在一些困难，学生对极限的概念也有一些误解。最后12.63%的职前教师认为的极限是不存在的，因为。
第三个开放式问题和前两个问题一样，可以看出职前教师关于极限概念存在一些误解。然而，考虑到对职前教师访谈的分析，可以看出他们对极限概念确实有一些误解。以下是访谈时与一位职前教师的访谈内容。
以下摘录取自于与其他学生的访问：
研究员：你理解极限吗？你能解释吗？
职前教师：我看极限的左侧和右侧，如果左右极限相等，那么这个极限就存在的。
研究员：左右极限是什么？你能解释一下吗？
职前教师：数值已经给出了，我把值直接代入。
最后，调查的是对于职前教师而言代数和图像性能是否存在差异。职前教师对于代数和图像的反应被拿来比较。在表6可以看出，职前教师做极限题目时运用图像比运用符号获得的分数更高。这些差异的结论用独立样本t检验得出。2.35时t-calculated的值大于1.96时t-critical的值。可以说，职前教师在极限的图像表示上比代数表示要来的成功。
结论
当前这一研究表明，大多数的职前教师理解：“当极限的左右值相等时，函数极限往往是存在的。”当然，通过这我们也可以看出，一些职前教师对于极限还是存在一些错误认识的。第一个误解是，职前教师认为极限和函数值是相同意思的。当前研究的结果与其他相关研究相类似。正如bezuidenthout说：“这种误解可能主要是由于一个替代方法来求函数极限。”这一方法在微积分中已经教给学生，用这种方法在求函数极限。同时，在数学的教学方法中这是需要考虑的一个因素。教师通常采用传统的教学方法。在传统的教学方法中，大部分教师和学生更关注程序性技能。因此，大部分学生学习的规则、概念和算法之间没有关联。第二误区是，学生总认为如果函数连续，那么这个函数的极限就存在。”本研究的结果与先前一个研究的结果相类似。例如，乔达安的一个报道：“学生认为一个函数极限存在，那么这个函数应该是连续的。”最重要的发现就是，对于职前教师而言，极限的代数表示和图像表示之间存在着显著差异。职前教师在图像表示的极限中比代数表示的获得更高的分数。这种差异可能是由图像导致的。图像法为求极限提供了一种可视化方法。本研究的结果类似于先前发现学生偏好差异的研究成果。例如，凯勒和赫希发现学生对不同函数表示方式之间有不同的偏好，这个偏好于上下文还有纯粹的数学情景间存在关系。和这些首选项不同的概念提出了一个上下文和那些作为纯粹数学的情况。同样，维尼发现学生首选函数间的差异作为解决方案。
改善交通限制数学概念通过调查和复制
摘要
在这次的行动性研究学习中，主体是我们本科数学学生，我们试图调查数学对他们的沟通和成绩的影响。我们将战略性地实施复制到极限概念的学习上，每4个月一个周期，因此结论可以作用于数学的其余部分。学生通过口头讨论，评估活动以及讨论数学问题的解释。我们发现在我们收集分析数据的基础上，大部分学生对于数学概念的理解能力提高了。我们还发现，在一般情况下，学生数学词语定义的理解是很重要的，因为当他们明白作为一个整体的概念时它增加了他们的成就感。此外，学生在理解后能够更加精确的沟通。作为这项研究的成果，我们计划继续实施日常经验调查并且将其作为数学专业的特点保持沟通交流。
关键字：极限的概念、极限的定义
第一、文章的提纲
这篇文章由五个部分组成。首先，我们对内容和研究范式以及实用方面进行简要的介绍描述，我们称之为IOA-R模型图。接下来的部分是本文的核心，它包括的对于极限概念定义的理解，其次是在实际的解决问题过程中的理解和应用。最后,我们提出一些教学建议，涉及到如何学习极限概念与IOA-R相关性模型，希望这个IOA-R模型可以应用于数学的其他学习部分。
例如图2展示了如下定义的一个函数：
学生们通常会直接地解决，
,
无论单侧极限之间等不等，就算你在极限定义的情况下解决每一个问题，极限都不存在。而如果你去通过，同时解决每一个问题甚至是极限的定义，即使这种情况。这样对于落后的学生更容易理解数学。此外，这个策略还可以应用到数学的其他部分。
第二、目的
数学课堂上的沟通交流促进高层次思维。探究和代换可以替代今天的典型的课堂教学方法。我们的研究的目的之一就是要看有多少学生在接收到指令后使用数学调查。我们希望看到
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