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数学思维：如何在课堂中培养
数学思维：课程学习的主要研究课题
在日本的国家课程学习中，数学思维自1956年版以来不断得到提高。第二次世界大战前后的课程发展受到了几方面的影响，如1943年开发数学化教材的S·岛田的贡献，和Y·和田的贡献[池田，2010；松崎， 2010；沟口，2010]。自1956年版的课程设置以来，数学思维一直是国家教育课程的主要目标。
卡塔基里的数学思维理论始于20世纪60年代并且大部分是在20世纪80年代完成的，他的课程学习小组从60年代就开始使用他的想法，直到今天。如果你参与研究，你可能会觉得这是一个古老的理论供您参考，有必要参考最新的研究文章，但在课堂研究的背景下，它是已经被批准的理论，并且在过去的半个世纪被许多教师所使用。教师们都更喜欢这个理论因为他们在课堂上发展儿童数学思维的过程中所经历的许多证据。这一理论都很好地解释了这些经历。他为老师们出版了81本日文书籍，解释了如何培养数学思维。他仍然在写作。他的理论被翻译为韩文并且他也一直在和韩国教师合作。
直到20世纪70年代，日本的许多数学教育家分析了数学思维的外延方法，并在课程中规定了具体内容，即是国家课程更喜欢内涵解释的方式。大量研究人员解释了许多类型的数学思维。他的其中一项贡献导致了这一运动，他的创作基于教学的重要性，并且让即是不是数学专业的教师也能理解它。他的另一个贡献是他的写作方式。在第一部分中，他以“数学态度”、“思维方式”和“思想”为基础。他解释说：“数学态度是数学思维的驱动力，因为我们的目标是培养喜欢自己思考的孩子。”这意味着孩子有他或她自己探索数学的愿望。因此，培养思考数学的态度是非常有必要的。数学思想可以被打得更加深远。然而，他为小学数学选择了主要的数学思想。这与日本的数学教学传统有很深的关系，这提高了数学的鉴赏力[伊索达, 中村, 2010; 马凯纳, 2011]。用态度来解释数学思维是卡塔基里的另一个贡献。
第一章 以数学思维为目的的教育
1.1 培养为他们自己而学习数学的儿童
为实现教育目标，必须提供校本教育。当我们考虑到学校教育的目标时，“学术能力”，即目前被称为“数学素养”和“能力”就变得清晰起来。日本课程委员会的一份报告描述了这种教育的目的如下：
“...培养每个学校孩子的素质和能力，包括自己发现问题、自己学习、自己思考、独立决策和行动的能力。这样每个孩子或学生都能更熟练地解决问题，不管未来社会如何变化。”
这条指导方针直接了当的表达了教育的优先目标。
随着科学，社会和技术的不断进步，孩子们需要在目前和将来获得的最重要的能力不是能够准确且快速执行预定任务和命令，而是为自己的能力来确定他们应该做什么，或者他们应该自己做什么。
当然，能够正确且快速地执行必要的任务也是必须的，但从现在开始，以熟练的手法而不是模仿别人的技术或知识，能够提出自己的想法，无论多小，且执行自己的独立，更可取的行动（充满创造性聪明才智的能力）将是最重要的。这就是为什么现在教育的目的是灌输采取这类行动的能力（学术能力）。此外，这是必须灌输给每个孩子或学生的东西。从现在开始，对于每个学校的孩子来说，能够自主行动（而不是整个班级作为一个整体）将是特别重要的。当然，并不是每个孩子都能在同一水平上独立行动。为了达到这个目的，注重个人自学的教学方法是很重要的。
1.2 数学思维作为一种能力来思考并做出决定
为了灌输给孩子独立思考和做决定的能力，最需要培养的能力是数学思维。这就是为什么自1950年以来，培养数学思维一直是日本数学课程的主要目标。然而，不幸的是，数学思维的教学在现实中远远不够。
其中一个迹象是一些人断言“如果学生会计算，那就足够了。”下面的例子说明来这个论断是多么的错误。
“巴士的票价是4500日元每人。然而，如果一辆能坐60人的公共汽车被出租，每人的票价会降低20%。要想使得租一整辆公交车更为划算，需要有多少人乘坐？”
该问题的解决方法如下：
租用公交时：
1人的费用：
60人的费用：
卖个人票时可以乘坐的人数：
因此，如果乘坐人数超过48人，租公交车会更便宜。
六年级学生必须能解出这一水平的题目。然而，仅仅通过进行正式的计算（纸上计算或心算，或使用算盘或计算器）就可以解决这个问题嘛？不管一个学生在纸上的计算技巧有多熟练，也不管是否允许一个学生随意使用计算器，仅仅这些技能是不足以解决问题的。原因是在纸上或用计算器计算之前，必须能够判断：需要使用哪些数字，需要对这些数字进行哪些运算，以及这些运算应该以什么顺序执行？如果一个学生不能做出这些判断，那么在纸上或用计算器计算就没有多少意义了。正式计算是一种技能，只有在执行命令时才有用，比如“计算这个和这个”（计算公式），一旦这些命令被实际指定。执行这些命令被称为“决定行动”。因此，为自己“决定行动”是为了决定哪一个命令是有必要来“计算这个和这个”，这是解决问题必不可少的一种技能。
确定操作显然就决定了每一次计算的意义，并决定在此意义的基础上必须做什么。这就是为什么“弄清加、减、乘、除的含义，并根据这些含义确定运算的能力”是计算所需要的重要能力。
实际上，还有更多重要的东西——为了正确地以这种方式决定使用哪一个操作，他必须能够用以下方式思考：“我想确定正确的操作,这样做我需要回忆每个操作的意义,并基于这些含义进行思考。”这种思维过程是一种数学思维。
即使一个学生解决了上述的团购折扣问题，这可能不足以得出他或她真正理解这个问题的结论。这就是为什么“稍微改变一下问题的条件”和“考虑是否仍然有可能以同样的方式解决问题”是重要的。这种思维方式既不是知识，也不是技能。它们是“功能思维”和“类比思维”。
例如，让我们尝试改变其中一种情况，将巴士票价从4500日元改为4000日元。
如上所述的计算结果得出也是48个人（实际上，更好的思考方式是用4000日元取代4500日元——这是类比思维）。这样，一个人应该对自己解决问题的方法有信心，因为他意识到结果是一样的：48个人。
以上公式的表达方式对于四年级以上的学生来说是不够的。尽可能用一个公式来表示问题是必要的。
按照这种思路，将这些公式转换成一个公式，结果如下：
从这种形式上看，公式显然是。
这里重要的是“解读这个公式的意义”。“关于公式的数学思维”是重要的。阅读这个公式的含义，我们得到：
满容量times;比
因此，即使公交票价改为4000日元，公式也不会受影响。此外，如果满员人数为50人，团队折扣为30%，那么无论公交票价如何问题总是可以解决为“；团体费率（巴士租赁）对35人或更多的人更合适。”这大大简化了结果，也表明了对数学思维的欣赏，即“保存思维能量”和“寻求更漂亮的解决方案”。
孩子们应该有能力独立达成上述类型的解决方案。这是一种可取的学术能力，包括以下目标：
- 清楚地理解操作的含义，并在此基础上决定使用哪些操作；
- 功能思维；
- 类比思维；
- 用更好的表达重新表述问题；
- 解读一个表情的意思；
- 节约思想和精力（寻求更好的解决方案）。
虽然这只是一个单一的例子，但这种思维方式是普遍适用的。换句话说，为了能够独立解决问题，扩展问题和解决方法，使用“数学思维”的能力甚至比知识和技能更为重要，因为它能够驱动必要的知识和技能。
数学思维是数学课程中必须努力培养的“学究能力”。
1.3 能力与思维的层次
正如在前面的讨论中明确指出，学术能力是有等级的。与上述讨论相关并限于计算领域（这与其他领域相同，并可以普遍化），这些学术能力意味着（从低到高）：
- 能够记住形式计算的方法并进行这些计算；
- 能够理解计算规则并进行正式计算；
- 能够理解每个操作的含义，并在此基础上决定使用哪些操作，解决简单的问题；
- 能够考虑计算方法并找到更好的方法；
- 能够通过改变条件或抽象情境形成问题；
- 能够创造性的制造问题并解决问题。
层次越高，培养个体独立思考的能力就越重要。为此，数学思维变得越来越必要。
第二章 培养数学思维的重要性
2.1 数学思维教学的重要性
正如我们在前一章中发现的，思维方法是学术能力的中心。在数学课堂上，数学思维也是学术能力的核心。然而，在日本，尽管数学思维的发展是50多年前确立的目标，但数学思维的教学是远远不够的。
为什么没有进行培养数学思维的教学，其中一个原因是教师认为，即使他们不以培养学生数学思维的方式进行教学，学生仍然可以学到足够的算术。换句话说，老师不理解数学思维的重要性。
第二个原因是，尽管数学思维被确立为一个目标，但老师们并不理解它到底是什么。毋庸置疑，教师不能教他们自己也不懂的东西。
因此，我们首先要说明数学思维教学的重要性。
一个简单的总结如下：
数学思维能够：
（1）了解运用知识和技能的必要性；
（2）学会自学，具备自主学习的能力。
2.1.1 追求知识和技能的驱动力
数学涉及到许多不同领域的知识和技能的教学。如果孩子只是被教导“使用一些知识或技能”来解决问题，他们会使用这些知识或技能。然而，在这种情况下，孩子们不会意识到为什么他们被告知要使用这些知识或技能。此外，当解决问题需要新的知识或技能时，学生被教授使用什么技能，他们将能够使用该技能来解决问题，但他们不知道为什么必须使用该技能。因此，学生无法理解为什么新技能是好的。
重要的是“如何认识到”哪些以前学过的知识和技能应该被使用。“意识到和感知到使用”新知识和技能的“需要或可取性”也很重要。
因此，有必要让某样东西成为你获得所需知识和技能的动力。当孩子们拥有并利用这种动力时，他们首先要明白使用知识和技能的好处。这使他们完全掌握他们所使用的知识和技能。
数学思维就是这种动力。
2.1.2 具有独立思考和独立学习的能力
拥有这种驱动力，孩子们就会懂得如何自学。
培养独立思考的能力将是这个知识社会最重要的目标，就数学课程而言，数学思维将是独立思考最核心的能力。通过进一步掌握这一技能，孩子们将获得独立学习的能力。
第三章 思维模式和数学思维
3.1 数学思维
虽然我们已经研究了一个具体的例子，说明了在每一个小时的教学中培养数学思维的重要性，但教师要想以这种方式教学，他或她必须首先对数学思维的种类有一个坚实的把握。毕竟，一个人如果不先了解现有的数学思维，就不可能以培养数学思维的方式教学。
让我们考虑一下数学思维的特点。
3.1.1 关注心态：态度和性格
数学思维就像一种态度，因为它可以被表达为一种“试图做某事”或“努力做某事”的状态。它并不局限于行动所代表的结果，如“有能力做”、“能做”或“不能做”的事情。、
例如，“努力建立一个视角”和“试图类推，努力创建类推”的状态都是思维方式。另一方面，如果一个人没有任何意图创造一个类比，并被告知要“创造类比”，他或她可能会因为有能力这样做而成功，但这并不意味着他或她有意识地以类比的方式思考。
换句话说，数学思维意味着当一个人遇到一个问题时，他决定使用哪一套，或者心理套，来解决这个问题。
3.1.2 数学思维的三个变量
在这种情况下，思考的类型不是由问题或情况决定的。相反，思考的类型是由问题（情况），人，和方法（策略）所决定的。换句话说，思考的方式取决于三个变量：问题（情况），涉及的人，和策略。
其中两个变量涉及到对数学思维的内涵理解。还有外延性理解。
3.1.3 数学思维中外延性理解的重要性
概念由内涵成分和外延成分组成。澄清数学思维概念的一种方法是明确表达内涵“意义”的方法。即使数学思维的概念是用文字来表达的，比如“数学思维就是这样的东西”，这在教学上几乎是没有用的，因为即使一个人理解了表达这个意思的句子，这并不意味着一个人就能够进行数学思维。
数学思维不能用内涵的方式来描述，而要用具体的例子来说明。至少，这样做可以让教学的思维类型显示。换言之，如果数学思维被外延性地捕捉，教师就可以想象如何教授数学思维。
3.1.4 数学思维是知识和技能背后的驱动力
数学思维作为一种引导力量，通过帮助人们认识解决每一个问题所必需的知识或技能，从而获得知识和技能。它也应该被视为这些知识和技能背后的驱动力。
还有另一种数学思维，它是激发其他更为必要的类型的数学思维的驱动力。这被称为“数学态度”。
3.2 数学思维的结构
基于第3.1节所述的基本思维，实现对数学思维的具体（外延）掌握是很重要的。让我们列出数学思维的各种类型。
首先，数学思维可以分为以下几类：
（B）与数学方法相关的数学思维
（C）与数学内容（思想）相关的数学思维
此外，以下类别是上述类别背后的驱动力：
（A）数学态度
虽然前面已经提到了A类思维的必要性，但下面所述的进一步考虑表面，将数学思维分为B和C是合适的。
数学思维是在数学活动中运用的，与数学的内容和方法密切相关。更确切地说，在运用算术或数学进行数学活动时，运用了多种方法，以及各种类型的数学内容。准确地说，所有这些方法和内容类型都是数学思维的类型。正是因为思维方
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